等差数列及其前n项和习题与参考答案.pdf
精心整理 第六章第二节 1an 为等差数列， a1033，a21，Sn为数列 an的前 n 项和，则 S202S10等于() A40B200 C400D20 解析： 选 CS202S102× 10(a20a10)100d.又 a10a28d，3318d. d4. S202S10400.故选 C. 2已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 1，则数列 an的公差是 () A.B1 C2D3 解析： 选 C因为 Sn，所以 .由 1，得 1，即 a3a22，所以数列 an的公差为 2. 故选 C. 3(2014 ·临川一中质检 )已知数列 an ，bn 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为a1，b1， 且 a1b15，a1，b1N*.设 cnabn(nN*)，则数列 cn的前 10 项和等于 () A55B70 C85D100 解析： 选 C由题知 a1b15，a1，b1N*.设 cnabn(nN*)，则数列 cn 的前 10 项和等于 ab1ab2ab10ab1ab1 1 ab1 9 ，ab1a1(b11)4，ab1ab1 1 ab1 9 45 61385，选 C. 4(2014 ·中原名校联盟摸底考试 )若数列 an通项为anan，则“数列 an为递增数列”的一 个充分不必要条件是 () Aa0Ba1 Ca0Da0 解析： 选 B数列 an为递增数列，则a0，反之 a0，则数列 an为递增数列， a0 是数 列 an 为递增数列的充要条件， “数列an为递增数列的一个充分不必要条件是a 的范围比a0 小，即包含于 a0 中，故选 B. 精心整理 5(2012 ·浙江高考 )设 Sn是公差为 d(d0)的无穷等差数列 an 的前 n 项和，则下列命题错误的 是() A若 d0 D若对任意 nN * ，均有 Sn0，则数列 Sn是递增数列 解析：选 C设数列 an的首项为 a1，则 Snna1n(n1)dn 2n.由二次函数性质知 Sn有最 大值时，则 d0，不妨设 a11，d2，显然 Sn 是递增数列，但 S110，d0，Sn 必是递增 数列， D 正确 6 设等差数列 an ， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn， 若对任意自然数 n 都有，则的值为 () A.B. C.D. 解析： 选 A an ，bn为等差数列， . ， .故选 A. 7(2011 ·广东高考 )等差数列 an前 9 项的和等于前4 项的和若 a11，aka40，则 k _. 解析： 10由题意 S9S4得 a5a6a7a8a90. 5a70，即 a70. 又 aka402a7，a10a42a7，k10. 8(2014 ·阜宁中学调研 )在等差数列 an中，a26，a515，bna2n，则数列 bn 的前 5 项和 S5_. 解析： 90在等差数列 an中，由 a26，a515 易知公差 d3， ana2(n2)d3n，bna2n6n， 所以数列 bn为公差为 6 的等差数列， 精心整理 所以前 5 项和 S5(b1b5)， 又易知 b16，b530，所以 S590. 9(2014 ·江苏调研 )对于数列 an ，定义数列 an1an为数列 an的差数列若a12，an 的“差数列”的通项公式为2n，则数列 an的前 n 项和 Sn_. 解析： 2n12 由已知 an1an2 n，a 12 得 a2a12,02 2，a nan12 n1，由累 加法得 an222 22n12n，从而 S n2 n12. 10(2014 ·哈尔滨联考 )已知各项为正数的等差数列an 的前 20 项和为 100，那么 a7a14的最大 值为_ 解析： 25因为 an为各项为正数的等差数列，且前20 项和为 100，所以 100，即 a1a20 10， 所以 a7a1410.所以 a7· a14225， 当且仅当 a7a145 时等号成立 11(2013 ·新课标全国高考 )已知等差数列 an 的公差不为零， a125，且 a1，a11，a13成等 比数列 (1)求an 的通项公式； (2)求 a1a4a7 a3n2. 解：(1)设 an 的公差为 d. 由题意得 aa1a13， 即(a110d) 2a 1(a112d) 于是 d(2a125d)0. 又 a125，所以 d2 或 d0(舍去) 故 an2n27. (2)令 Sna1a4a7a3n2. 由(1)知 a3n26n31， 所以数列 a3n2 是首项为 25，公差为 6 的等差数列 从而 Sn(a1a3n2)(6n56)3n 228n. 精心整理 12(2014 ·黑龙江联考 )已知各项都不相等的等差数列 an的前 6 项和为 60，且 a6为 a1和 a21 的等比中项 (1)求数列 an 的通项公式； (2)若数列 bn 满足 bn1bnan(nN *)，且 b 13，求数列的前 n 项和 Tn. 解：(1)设等差数列 an 的公差为 d(d0)， 则解得 an2n3. (2)由 bn1bnan，得 bnbn1an1(n2，nN *)， bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1 an1an2a1b1 (n1)(n14)3n(n2)， bnn(n2)，nN * . . Tn . 13 (2014 ·济宁模拟 )已知数列 an的前 n 项和 Snan n12(nN*)， 数列 b n 满足 bn2 n· a n. (1)求证：数列 bn是等差数列，并求数列 an 的通项公式； (2)设 cnlog2，数列的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn，f(n)单调递减， f(3)，f(4)，f(5)， n 的最大值为 4. 1.(2014 ·石家庄模拟 )已知数列 an( nN * )中， a1，an2(n2，nN * )，数列 bn满足 bn (nN*)，则关于数列 bn的判断正确的是 () A数列 bn 一定是等差数列 B数列 bn 一定是等比数列 C数列 bn 可以是等差数列，也可以是等比数列 D数列 bn 既不是等差数列，也不是等比数列 解析：选 A因为 an2(n2，nN*)，bn，所以当 n2 时，bnbn1 1， 又 b1，所以数列 bn 是以为首项， 1 为公差的等差数列，选A. 2已知an是等差数列， Sn为其前 n 项和，若 S21S4000，O 为坐标原点， 点 P(1，an)，Q(2011， a2011)，则· 等于() A2011B2011 C0D1 解析： 选 A方法一：由已知 S21S4000，则 a22a23a40000，设数列 an的公差为 d， 则0，又 a22a40002a2011，所以 a20110， · 2011an· a20112011 方法二：设等差数列 an 的公差为 d，因为 S21S4000，且等差数列前 n 项和公式可看成二次函 精心整理 数，所以由对称性可得S1S4020，则有 a14020a1d，整理得 a20110，所以 · 2011an· a2011 2011. 3(2014 ·孝感高中调研 )已知函数 f(x)是 R 上的单调递增函数且为奇函数，数列an 是等差数 列，a30，则 f(a1)f(a3)f(a5)的值() A恒为正数B恒为负数 C恒为 0D可以为正数也可以为负数 解析：选 A因为函数 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(0)f(0)得 f(0)0，又 f(x)是 R 上的单 调递增函数，所以当x0 时有 f(x)f(0)0，当 x0 时有 f(x)f(0)0，因为 a30，所以有 f(a3) 0.因为数列 an是等差数列， 所以 a30 从而 a1a50，所以 a1a5，所以 f(a1)f(a5)又 f(a5)f(a5)，所以 f(a1)f(a5)0，从而有 f(a1)f(a3)f(a5)f(a1)f(a5)f(a3)0.故选 A. 4(2014 ·西北工大附中月考 )若有穷数列 a1，a2，an(n 是正整数 )满足 a1an，a2an1， ana1，即 aiani1(i 是正整数，且 1in)，就称该数列为“对称数列”已知数列bn 是项数 为 7 的“对称数列”，且b1，b2，b3，b4成等差数列， b12，b411，则数列 bn 的项为 _ 解析： 2,5,8,11,8,5,2设数列 b1，b2，b3，b4的公差为 d，则 b4b13d23d11，解得 d 3，所以数列 bn 的项为 2,5,8,11,8,5,2. 5(2014 ·湛江检测 )已知各项为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意正整数n 有 a2an S2Sn. (1)求 a1的值； (2)求数列 an 的通项公式； (3)若数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn的最大值 解：(1)取 n1，a2a1S2S12a1a2， 取 n2，a2a12a2， 得， a2(a2a1)a2，a20， a2a11， 由组成方程组解得， a11或 a11. an0，a11不合题意，舍去 a11. (2)由(1)可得 a22， 当 n2 时，(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1， 精心整理 两式相减，得 (2)an(2)an1an， (1)an(2)an1， anan1(n2) 数列an是以 a11为首项，公比 q的等比数列 an(1)() n1. (3)设 bnlog81log8() n11(n1)log8 1(n1) 数列bn为单调递减的等差数列，公差为. 由 bn1(n1)0，解得 n7， b1b2b6b70,0b8b9， 当n6 或 n7 时，Tn有最大值且最大值为T6T7.
