高二数学上学期期末考试试题理(及答案).pdf
第 1 页 共 11 页 高二数学上学期期末考试试题理 试卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟 题号一二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20 分数 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1. 双曲线 2 2 1 3 x y的一个焦点坐标为（） （A）(2,0)（B）(0,2) （C）(2,0)（D）(0, 2) 2. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（） （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 1 5 （D） 5 5 3. 设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（） （ A ）若/ ， /l，则l（B）若/ ，l ，则l （C）若 ，l ，则l（D）若 ， /l，则l 4. 设mR, 命题“若0m，则方程 2 xm有实根”的逆否命题是（） （ A）若方程 2 xm有实根，则0m （ B）若方程 2 xm有实根，则0m （ C）若方程 2 xm没有实根，则0m （D）若方程 2 xm没有实根，则0m 第 2 页 共 11 页 5. 已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线， 则“” 是“m” 的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2 5， 且双曲线的一条渐近线与直线210xy 平行，则双曲线的标准方程为（） （A） 2 2 1 4 x y（B） 2 2 1 4 y x（C） 22 33 1 205 xy （D） 22 33 1 520 xy 7. 已知(3,0)A，(0,4)B，动点( , )P x y在线段AB上运动，则xy的最大值为（） （A）5（B）4（C）3（D）2 8. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论： 正方体的截面不可能是直角三角形； 正四面体的截面不可能是直角三角形； 正方体的截面可能是直角梯形； 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形. 其中，所有正确结论的序号是（） （A）（B）（C）（D） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9. 命题“xR ，使得 2 250xx”的否定是 _. 10. 已知点)1, 0(M,)3 ,2(N. 如果直线MN垂直于直线032yax，那么 a等于 _. 11. 在正方体 1111 ABCDABC D中，异面直线 1 ,AD BD所成角 第 3 页 共 11 页 的余弦值为 _. 12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_. 13. 设O为坐标原点，抛物线 2 4yx的焦点为 F，P为抛物 线上一点 . 若3PF，则OPF的面积为 _. 14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线 围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方 程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确 定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但 是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过 对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程. 你需要测量的数 据是 _（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线 标准方程为 _ 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分13 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点 . ( ) 求证：/PC平面BDE； ( ) 证明：BDCE. A B C D P E 正 （主）视图 俯视图 2 4 2 第 4 页 共 11 页 16 （本小题满分13 分） 如图 , PA平面ABC,ABBC,22ABPABC, M 为 PB 的中点 . ( ) 求证 : AM平面PBC； ( ) 求二面角APCB的余弦值 . 17 （本小题满分13 分） 已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为 22 640xyy. ( ) 当直线l的斜率为2时，求l与圆C相交所得的弦长； ( ) 设直线l与圆C交于两点,A B，且A为OB的中点，求直线l的方程 . 18 （本小题满分13 分） 已知 1 F为椭圆 22 1 43 xy 的左焦点，过 1 F的直线l与椭圆交于两点,P Q. （）若直线l的倾斜角为45，求PQ； （） 设直线l的斜率为k(0)k，点 P 关于原点的对称点为P ，点Q关于x轴的对称点 为Q，P Q所在直线的斜率为k. 若2k，求k的值 . A B C P M 第 5 页 共 11 页 y 1 A 1 B 2 B 2 A O x 19 （本小题满分14 分） 如图，四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD,/DCAB ，BCCD， EAED，且4AB,2BCCDEAED. （）求证 :BD平面ADE； （）求 BE 和平面 CDE所成角的正弦值； （）在线段CE上是否存在一点F，使得 平面 BDF平 面 CDE ，请说明理由 . 20 （本小题满分14 分） 如图， 过原点O引两条直线 12 ,l l与抛物线 2 1: 2Wypx和 2 2: 4Wypx（其中 p 为常 数，0p）分别交于四个点 1122 ,A B A B. （）求抛物线 12 ,W W准线间的距离； （）证明： 1122 /A BA B； （）若 12 ll，求梯形 1221 A A B B面积的最小值. E A B C D 第 6 页 共 11 页 第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1.C； 2.D ； 3. B ； 4. D； 5. B； 6. A； 7. C ； 8. D. 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 对任意xR, 都有052 2 xx； 10. 1； 11. 3 3 ； 12. 8 3； 13. 2 ； 14. 碗底的直径m，碗口的直径n，碗的高度h； 22 2 4 nm yx h . 注：一题两空的题目，第一空2 分，第二空3 分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 15. （本小题满分13 分） 解: ( ) 连结AC交BD于O，连结OE， 因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点 . 又因为E是PA的中点，所以/PCOE， 3 分 因为PC平面BDE，OE平面BDE， 所以/PC平面BDE. 6 分 ( ) 因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC. 8分 因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD， A B C D P E O 第 7 页 共 11 页 所以PABD. 10 分 又因为ACPAAI，所以BD平面PAC， 12 分 又CE平面PAC， 所以BDCE. 13 分 16. （本小题满分13 分） 解: ( ) 因为 PA平面ABC，BC平面ABC，所 以PABC. 因为BCAB，PAABA， 所以BC平面 PAB . 2分 所以AMBC. 3 分 因为 PAAB ， M 为 PB 的中点， 所以 AMPB . 4 分 所以 AM 平面PBC. 5 分 ( ) 如图，在平面ABC内，作/AzBC， 则,AP AB AZ两两互相垂直， 建立空间直角坐标系Axyz. 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)APBCM. (2,0,0)AP，(0,2,1)AC，(1,1,0)AM . 8 分 设平面APC的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0, AP AC n n 即 0, 20. x yz 令1y， 则2z. 所以(0,1, 2)n. 10 分 由( ) 可知 (1,1,0)AM 为平面BPC的法向量， 设,AMn的夹角为， 则 110 cos 1052 AM AM n n . 12 分 因为二面角APCB为锐角， A B C P M x y z 第 8 页 共 11 页 所以二面角APCB的余弦值为 10 10 . 13 分 17. （本小题满分13 分） 解：( ) 由已知，直线l的方程为2yx，圆C圆心为(0,3) ，半径为 5 ， 3 分 所以，圆心到直线l的距离为 3 3 3 . 5 分 所以，所求弦长为2 2. 6 分 ( ) 设 11 (,)A x y ，因为 A为OB的中点， 则 11 (2,2)Bxy. 8 分 又,A B圆C上， 所以 22 111 640xyy ， 22 111 441240xyy， 即 22 111 310xyy. 10 分 解得 11y，11x， 11 分 即(1,1)A或( 1,1)A. 12 分 所以，直线l的方程为yx或yx. 13 分 18. （本小题满分13 分） 解： （）设 1122 (,),(,)P x yQ xy，由已知，椭圆的左焦点为( 1,0)， 又直线l的倾斜角为45，所以直线l的方程为1yx， 1 分 由 22 1, 3412 yx xy 得 2 7880xx， 3分 所以 12 8 7 xx， 12 8 7 x x. 4 分 222 1212 8824 |1()42 ()4 777 PQkxxx x. 5 分 （）由 22 (1), 3412 yk x xy 得 2222 (34)84120kxk xk， 6 分 所以 2 122 8 34 k xx k ， 2 122 412 34 k x x k . 8 分 依题意 1122 (,),(,)PxyQ xy，且 11 (1)yk x， 22 (1)yk x，
