2010全国高中数学联赛试题及答案.pdf

1 2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：10 月 17 日上午 800920） 一、填空题：本大题共8 小题，每小题 8 分，共 64 分把答案填在横线上 1函数5243fxxx的值域是 2已知函数 2 co s3sinyaxx的最小值为3，则实数a的取值范围是 3双曲线 22 1xy的右半支与直线1 00x围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐 标均为整数的点）的个数是 4已知 n a是公差不为0 的等差数列， n b是等比数列，其中 1 3a， 1 1b， 22 ab， 53 3ab， 且 存 在 常 数，使 得 对 每 一 个 正 整 数n都 有l o g nn ab， 则 5函数 2 32 xx fxaa（0a，1a）在区间1,1x上的最大值为8，则它在 这个区间上的最小值是 6两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6 者为胜，否则 轮由另一人投掷先投掷人的获胜概率是 7 正三棱柱 111 ABCA B C的 9 条棱长都相等，P是 1 C C的中点，二面角 11 BA PB， 则sin 8方程2010xyz满足xyz的正整数解（x，y，z）的个数是 二、解答题：本大题共3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 9 （本小题满分16 分）已知函数 32 fxaxbxcxd（0a） ，当01x时， '1fx，试求a的最大值 10 （本小题满分20 分）已知抛物线 2 6yx上的两个动点A（ 1 x， 1 y）和B（ 2 x， 2 y） ， 其中 12 xx且 12 4xx线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大 值 11 （本小题满分20 分）证明：方程 3 2520xx恰有一个实数根r，且存在唯一的严 格递增正整数数列 n a，使得 312 2 5 aaa rrr 2 2010 年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷） （考试时间： 10 月 17 日上午 9401210） 一、 （本题满分40 分）如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线C D与AB交于点 M求证：若OKM N，则A，B，D，C四点共圆 二、 （本题满分40 分）设k是给定的正整数， 1 2 rk记 1 frfrrr， 1ll frffr，2l证明：存在正整数m， 使得 m fr为一个整数 这里x 表示不小于实数x的最小整数，例如： 1 1 2 ，11 三、 （本题满分50 分）给定整数2n， 设正实数 1 a， 2 a， ， n a满足1 k a，1k，2， ， n，记 12k k aaa A k ，1k，2，n求证： 11 1 2 nn kk kk n aA 四、 （本题满分50 分）一种密码锁的密码设置是在正n边形 12n A AA的每个顶点处赋值0 和 1 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶 点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ K M N O A B C D