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初中数学平面几何题20 道_学习辅助线的添加 1、 三角形 ABC中,AD 为中线 ,P 为 AD上任意一点 , 过 p 的直线交 AB于 M.交 ac 于 N,若 AN=AM ， 求证 PM/PN=AC/AB 证明：过 P 点作 BC 的平行线交AB,AC 分别于 M',N' 点；再分别过M,M'两点分别作AC 的 平行线分别交AD( 或延长线）于P',A' 两点。 由 M'N' 平行 BC 得： AC/AN'=AB/AM',即 AC/AB=AN'/AM'.且 M'P=N'P 由三角形 AN'P 全等三角形A'M'P 得： M'A'=AN'. 所以， AC/AB=A'M'/AM' 由三角形 AM'A' 相似三角形AMP' 得： AM/AM'=MP'/A'M',即 A'M'/AM'=MP'/AM 所以： AC/AB=MP'/AM 由三角形MP'P 相似三角形ANP 得： MP'/AN=MP/PN 而 AN=AM 所以： MP'/AM=MP/PN 所以： AC/AB=MP/PN 1 题图2 题图 2、在三角形BCD中,BC=BD,延长 BC至 A, 延长 BD至 E,使 AC=BE,连接 AD,AE,AD=AE,求 BCD 为等边 证明：过点A 作 CD 的平行线交BE 的延长线于F 点。则 BDC= F= BCD= A，即 A=F. 又因为：四边形AFDC 是梯形 所以： AC=DF=FE+DE 而 AC=BD+DE 所以： BD=FE 又因为： AD=AE, BDA= FEA 所以：三角形ABD 和三角形AFE 全等 所以： B=F 所以： B=BCD= BDC=60 ° 所以：三角形BCD 是等边三角形。 3、 三角形 ABC中若圆 O在变化过程中都落在三角形ABC内( 含相切 ), A 为 60 度 ,AC 为 8,AB 为 10,X 为未知数 ,是 AE 的长 .圆 O 与 AB,AC 相切 ,圆 O 与 AB 的切点为E, X 的范围是？ 解：如图，当元O 与三角形ABC 三条边都相切时，x 的值最大。此时： 过 B 作 BD 垂直 AC,则可求得 BD=5(3),DC=3 根据勾股定理求得BC=2(21) 设元 O 与边 AB,BC,CA 的切点分别为E,F,G, 且 AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组： x+y=10,x+z=8,y+z=2(21), 解这个方程组得：x=9- ( 21) 因此： x 的范围是（ 0，9-21 4、已知三角形ABE中 C 、D分别为 AB 、BE上的点，且AD=AE ，三角形BCD为等边三角形， 求证 BC+DE=AC 证明 :过 D 点作 BE 的垂线 DF, 交 AB 于 F 点，过 A 点作 BE 的垂线 AH,H 是垂足，再过F 点作 AH 的垂线 FG,G 是垂足。 则：四边形DHGF 是矩形，有FG=DH. 而由 ADE 是等腰三角形得知DH=HE, 所以： FG=(1/2)DE. 又由于角 B=60 °， 所以： BAH=30 ° 所以： FG=(1/2)AF 所以： AF=DE 而在直角 BDF 中，由于 B=BDC=60 ° 所以： CDF= CFD=30 ° 所以： CF=CD=BC 所以： BC+DE=CF+AF 即： BC+DE=AC 5、已知在三角形ABC中,AD 是 BC边上的中线 ,E 是 AD上的一点 , 且 BE=AC,延长 BE交 AC与 F,求证 AF=EF 证明：如图，连接EC,取 EC 的中点 G,AE 的中点 H，连接 DG,HG 则： GH=DG 所以：角1= 2， 而 1=4， 2=3=5 所以； 4=5 所以： AF=EF. 6、在 ABC 中，D 是 BC 边中点， O 是 AD 上一点， BO,CO 的延长线分别交AC,AB 于 E,F 求证： EF 平行 BC 。 证明：分别过B,C 两点作 AD 的平行线分别交CF,BE 的延长线于M,N 两点。则： 四边形 MBCN 是平行四边形。 由 MB AOCN, 得： OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例） 而 BM=CN 所以： OF/FM=OE/EN 所以： MN EF 而 MN BC 所以： EFBC. 7、已知：在ABC 和 A'B'C' 中， AB=A'B', AC=A'C'.AD，A'D' 分别是 ABC 和 A'B'C' 的中线，且AD=A'D'. 求证： ABC A'B'C' 证明：分别过B,B' 点作 BEAC,B'E' A'C'. 交 AD,A'D' 的延长线于E,E'点。 则： ADC EDB, A'D'C' E'D'B' 所以： AC=EB,A'C'=E'B'； AD=DE, A'D'=D'E'. 所以： BE=B'E', AE=A'E' 所以： ABE A'B'E' 所以：角 E= E' 角 BAD= 角 B'A'D' 所以：角 BAC= 角 B'A'C' 所以： ABC A'B'C' 8、四边形 ABCD 为菱形， E,F 为 AB,BC的中点， EP CD ， BAD 110o，求 FPC 的 度数 解： 连接 BD,交 AC 于 O 点，过 A 作 CD 的垂线，垂足为G,过 O 作 BC 的平行线交CD 于 H. 因为：角 DAB=110 ° ， GAB=90 ° 所以： DAG=20 ° 。 由 AOD= AGD=90 ° 知 AOGD 四点共元，所以DOG= DAG=20 ° 由 OH BCAD 知： HOC= DAC=(1/2) BAD=55 ° 所以： GOH=90 ° -20° -55° =15° 而： OHG= BCD=110 ° 所以： OGH=180 °-15° -110° =55° 由于：不难证明FPC= OGH (过程略） 所以： FPC=55 ° 9、已知： E 是正方形ABCD 内的一点，且DAE= ADE=15°， 求证： EBC 是等边三角形 证明：过 E 点作 AB 的平行线 EP,交 BC 于 P 点，交 AD 于 Q 点，以 D 为角顶点， DA 为角 的一边，向正方形ABCD 内作 ADF=30 ° ，角的一边交EP 于 F 点。 设 DQ= 3 ，则： FQ=1, DF=2, AD=23 ， PC=PB=AQ=3, 由角平分线定理得：QE/EF=QD/DF, 即： QE/(1- QE)=(3)/2 解得： QE=2( 3) -3 所以： PE=PQ- QE=2( 3) -2( 3) -3=3 在 EPC 中由勾股定理得：EC= （PE2+PC2）=23 而： BE=CE 所以 :BC=BE=CE=23 即： EBC 是等边三角形。 10、在三角形ABC中, 经过 BC的中点 M,有垂直相交于M的两条直线 , 它们与 AB,AC分别交于 D、E，求证， BD+CE DE 证明： 如图，延长EM 到 E',使 E'M=ME, 则： DE=DE', 由 BE'M CEM 得： CE=BE' 在 BE'D 中，有 BD+BE'DE' 等量代换得： BD+CEDE 11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点 M在边 AC上， 点 N在边 BC上， 沿直线 MN把MCN 翻折，使点C落在 AB上设其落点 （1）.如图一，当是AB 的中点时，求证：PA/PB=CM/CN （2）.如图二当 P 不是 AB 中点时，结论PA/PB=CM/CN是否成立？若成立，请给出证明 （1）、证明：因为P 是 AB 中点， 所以： AP/PB=1, 因为： P 点是 C 点沿直线MN 折叠的落点， 所以： MN 垂直平分PC, 所以： CM=MP, 由 AP=BP 得 ACP= BCP=45 ° 所以： CM=MN 所以： CM/CN=1 所以： PA/PB=CM/CN （2）、结论仍然成立。 证明： 过 P 点分别作AC,BC 的垂线 PE,PD.E,D是垂足。过C 作 CF 垂直 AB,F 是垂足。则： SAPC=(1/2)AC*PE=（1/2)AP*CF SBPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF 而 AC=BC 所以： PE/PD=AP/BP 由 MCN= MPN=90 ° 知 MCNP 四点共元 所以： PME= PND 所以： RTPEM RT PDN 所以： PE/PD=PM/PN 而 PM=MC,PN=NC 所以： PE/PD=MC/NC 所以： AP/BP=MC/NC 12、 三角形 ABC中，BC=5 ， M和 I 分别是三角形ABC的重心和内心， 若 MI 平行于 BC,则 AB+AC 的值是多少？ 解： 设内心到三边的距离为r， BC 边上的高为AE=h, 如图。因为MI BC,AM=2MD 所以： h=3r 而： SABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)r SABC=S ABI+S BCI+S ACE=(1/2)r(AB+AC+5) 所以： (15/2)r=(1/2)r(AB+AC+5) 解得： AB+AC=10 13、已知圆 O 是三角形 ABC 的外接圆CD 是 AB 边上的高， AE 是圆 O 的直径。求证： AC*BC=AE*CD 证明： 以 E 为圆心，以BC 长为半径画弧交元O 于 F 点。连接EF,FA. 则： EF=BC, AFE=90 ° 所以： EAF= DAC （弦相等，弦所对的圆周角相等） 所以： RTADC RT EFA 所以： AC/AE=CD/EF 即 AC*EF=AE*CD 而： EF=BC 所以： AC*BC=AE*CD 14、已知： D.E 位 ABC 内的两点 求证： AB+ACBD+DE+EC 证明：设直线DE 交 AB 于 F,交 AC 于 G,则： 在 AFG 中，有 AF+AGFD+DE+EG 在 BFD 中，有 BF+FDBD 在 EGC 中，有 EG+GCEC 所以：三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC 即： AB+ACDE+BD+EC 15、在三角形ABC 中,BD,CE 是边 AC,AB 上的中点 ,BD 与 CE 相交于点O,BO 与 OD 的长 度有什么关系 ?BC 边上的中线是否一定过点O？为什么？ 答： BO=2DO,BC边上的中线过O 点。 证明：连接AO, 设 M,N 分别是 BO,CO 的中点，连接EM,DN, 则： EM 平行并等于AO 的一半， DN 平行并等于AO 的一半 所以： EM 平行并等于DN 所以：四边形EMND 是平行四边形 所以： MO=OD 所以： BM=MO=OD 所以： BO=2DO 延长 AO 交 BC 于 G,延长 DN 交 BC 于 H,延长 EM 交 BC 于 Q,则： 由 AG EQDH,BM=MO=OD得知 BQ=QG=GH=HC 所以； BG=GC 所以； BC 边上的中线过O 点。 16、在 ABC 中， AB,BE 是 ABC 的高，交于点H，边 BC,AC 的垂直平分线FO,GO 相 交于点 O 求证： OF=1/2AH,OG=1/2BH 证明：连接CO 并延长交 ABC 的外接圆于M 点。则： OC 是元的直径。 OF=(1/2)BM, MBC= MAC= ADB= BEA=90 ° 所以： BM AD,AM BE 所以：四边形MBHA 是平行四边形 所以： BM=AH 所以： OF=(1/2 ）AH. 同理可证： OG=(1/2)BH. 17、三角形中线分别为9 12 15 求三角形面积 解：过 F 点作 AE 的平行线，交DC 于 H 点， 则： FH= （1/2)AM=5, MH=3, （三角形中位线定理，三中线交点分中线性质） 而： MF=4 所以：三角形FMH 是直角三角形，即BMDC. 所以： S BCD=(1/2)*9*8=36, 所以： S ADC=S BCD=36 (同高等底的两个三角形面积相等） 所以： S ABC=72 18、在 ABC中 A=90°， ADBC 于 D， M 是 AD 的中点，延长BM 交 AC 于 E，过 E 作 EFBC 于 F。求证： EF2=AE*CE 证明：如图，延长BA,FE 交于 N. 因为： ADFN 所以： AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE 所以： AM/NE=MD/EF 而： AM=DM 所以： NE=EF 由于：角 NAC= NFC=90 ° 所以： AFCN 四点共圆 所以： AE*EC=EF*EN 所以： EF2=AE*EC 19、已知E 为平行四边形ABCD的边BC 上的任一点， DE 延长线交AB 延长线与F，求证 SABE=S CEF 。 证明 :分别过 C,E 两点作 AB 的垂线 CH,EG,H,G是垂足。设BE=m,EC=n 由 BFE CDE 得： BF/CD=m/n. 即 BF/(BF+CD)=m/(m+n) 也就是 BF/AF=m/(m+n) (因为 AB=CD ，有 AF=BF+CD) 由 RTBEG RT BCH 得： HC/GE=(m+n)/m 所以： (BF/CD)*(HC/GE)=1 而： SAFE=(1/2)AF*GE SBFC=(1/2)BF*CH 所以： S BFC/S AFE=BF*HC/AF*GE=1 所以： S BFC=S AFE 两边同时减去SBFE 得： SABE=S CEF 。 20、等腰直角三角形，角A 为 90° ，D，E 两点为斜边上的动点，角DAE=45 ° ，当 D 合 B 重合或 E 和 C 重合时，线段DE 的长度等于BD+EC 当不重合时， DEBD+CE. 证明：不重合时。 以 A 点为顶点， AC 为一边向 ABC 的外侧作 CAB' ，使 CAB'= DAB. 截取 AB'=AD. 又因为： AC=AB. 所以： CAB' BAD 所以： B'C=DB 因为 :BAC=90 ° ， DAE=45 ° 。 所以： BAD+ CAE=45 ° 。 所以： B'AE= B'AC+ CAE=45 ° =EAD. 又 AD=AB',AE=AE 所以： B'AE DAE 所以 :DE=EB' 在 ECB' 中，有 EB'EC+CB' 而 EB'=DE,CB'=BD 所以： DECE+BD 重合时，证明（略）