初高中数学教学衔接内容.pdf
初中高中教材衔接内容 近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法, 掌握不好 , 现归纳如下 , 与同学们共享 . 第一讲十字相乘法 我们在前面研究了 22 2baba这样的二次三项式，那么对于65 2 xx， 10113 2 xx这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又 不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？ 我们来观察323232)32(65 222 xxxxxxx )3)(2()2(3)2(xxxxx 又有在我们学习乘法运算时有：abxbaxbxax)()( 2 因此在分解因式中有)()( 2 bxaxabxbax 注意观察上式的系数。 对于一个关于某个字母的二次项系数是1 的二次三项式qpxx 2 ，它的 常数项可看作两个数， a 与 b 的积，而一次项系数恰是a 与 b 的和，它就可以 分解为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab时， )()( 22 bxaxabxbaxqpxx 用此方法分解因式关键在于a 与 b 的值的确定。 例 1：分解因式： （1）65 2 xx （2）214 2 xx 分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后 利用来分系数， 使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常 数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。 解： （1）原式 =(x-2)(x-3) 523 61 2 3 1 1 （2）原式 =(x+3)(x-7) 473 211 3 7 1 1 例 2：分解因式 （1）82 24 xx （2）3)(4)( 2 baba 分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项 式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解， 如（1）可以看作关于 2 x的二次三项式（ 2）可以看作关于（ a+b）的二次三项 式。 解： （1）原式)4)(2( 22 xx )2)(2)(2( 2 xxx 242 81 2 4 1 1 （2）原式 =(a+b-1)(a+b-3) 431 31 1 3 1 1 例 3：分解因式 （1） 22 23yxyx （2） 22222 42153yaxyaxa 分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字 母，如（ 1）可以看作关于 x 的二次三项式，则y 就当作常数处理。（2）应先 进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。 解： （1）原式 =(x-2y)(x-y) yyy y y y 32 21 221 1 （2）原式)145(3 222 yxyxa )2)(7(3 2 yxyxa yyy y y y 527 141 27 2 1 1 例 4：分解因式： （1）372 2 xx（2） 22224 954yyxyx 分析：当二次项系数不是1 时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可 分的情况，同时注意符号的合理匹配。 解： （1）原式 =(x-3)(2x-1) 716 32 3 1 1 2 （2）原式)954( 242 xxy )94)(1( 222 xxy )32)(32)(1( 22 xxxy 594 94 1 9 1 4 例 5：分解因式 （1）8)2(7)2( 222 xxxx （2）aaxxx5152 2 分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十 字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式， 如五项可以三、二组合。 解： （1）原式)82)(12( 22 xxxx )4)(2() 1( 2 xxx 781 81 1 8 1 1 242 81 2 4 1 1 （2）原式)5()152( 2 aaxxx )5()5)(3(xaxx)3)(5(axx 253 151 3 5 1 1 注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。 第二讲 一元二次方程 一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不 等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本 解法 1、概念: 方程 ax 2+bx+c=0 (a 0) 称为一元二次方程 2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法 3、 对于方程 ax 2+bx+c=0 (a 0)， =b2-4ac 称为该方程的根的判别式 当 0 时，方程有两个不相等的实数根，即 当=0时，方程有两个相等的实数根，即 当 0 时，方程无实数根 练习： 1、 只含有 _个未知数，并且未知数的最高次数是_的 整式方程叫做一元二次方程，它的一般形式是_. 一元二次方程的二次项系数 是_实数. 方 程 ax 2+bx+c=0 ( a 0 ， b 2 4ac0) 的 两 个 根 ，x 2=_. 一元二次方程的解法有_, _, _, _等， 简捷求解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法. 应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0 (b24ac0)时，第一 步是把方程的常数项移到等号的右边，得ax 2+bx=c；第二步把方程 两边同除以 a，得 x 2+ ；紧接方程两边同时加上_，并配方 得_. 对于实系数的一元二次方程ax 2+bx+c=0 ( a 0) = b24ac 称为此方程根的判别式且有如下性质： (1) 0二次方程有两个 _实数根； (2) =0二次方程有两个 _实数根； (3) 0二次方程 _实数根 . 这些性质在解题中主要的应用如下：(1) 不解方程判断 _的情 况； (2) 求方程中的参数值、范围或相互关系； (3) 判定二次三项式在实数范围内_分解因式 . (1 ) 若一元二交方程ax 2+bx+c=0 （a 0）的两个根为 x1 , x 2，则 x1 +x 2=_，x1x2=_. （韦达定理） (2) 若 x1 , x 2是方程 x 2+px+q=0 的二根，则 p=_, q=_ ，以实 数 x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是_. 根与系数关系主要应用是： (1) 求作_方程； (2) 求含有根有关代数式的值； (3) 确定字母系数 _以及字母系数之间关系 . (4) 验根，求根式确定 _符号. (5) 解特殊方程式 _. 注意根与系数式关系与根的判别式配合使用. 【学法指要】 例 1. 解方程： x 23x+2=0 思路分析 1：此方程左边是二次三项式， 它引起我们联想二 次三项式的因式分解十字相乘法，可在这条道路上探索， 找到解题思路 . 思路分析 2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知 a=1, b=3, c=2，由此可知应用求根公式可解. 观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方 程的标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法， 求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉. “化陌生为 熟悉”这种重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当 你遇到新问题时，不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！ 一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆 一下，通过问题解决，我们学习了什么？如本例，我们学习了 用因式分解法， 求根公式法解一元二次方程， 又学习了“转化” 思想，继续探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我 们获取知识，提高数学素养的重要途径之一. 如本例，经过探索， 观察可发现 a+b+c=1+(3)+2=0，它的根是x1=1, x2=2 是不是 a+b+c=0它们必有一个根是 1呢？另一个根是常数项呢？再选几 例进行探索 . 解方程： （）x 2+5x6=0 （） 2x 23x+1=0 （） 199x 22000x+1=0 的方程解为 x1=1 x2=6 的方程解为 x1=1 x2= 的方程解为 x1=1 x2= 由以上可以发现，当a+b+c=0 x1=1, x2=，这一重要发 现给我们解所类方程提供十分简捷的方法观察法. 下面提 供几例，给读者练习 . 解方程： x 214x+13=0 1949x 21999x+50=0 x 2(4+ ) x+3+=0 x 22000x+1999=0 1. 已知 m,n 为整数，关于 x 的三个方程：x 2+(7m ) x+3+n=0 有两个不相等的实数根；x 2+(4+m ) x+n+6=0有两个相等实数根； x 2(m4)x+n+1=0 没有实数根 . 求 m,n 的值 。 依题意有：（答案学生写出） 由(3) 得 4 n=m 2+8m 8 代入(1),(2) 并化简，得 解得 m为整数， m =2 n=3 16 24n=40028 4n=116 , n=29 m =4，n=29 满足 m 44n0 m =4，n=29
