专十年高考江苏省数学试题分类解析汇编题2：函数与导数.pdf

第 1 页 共 28 页 2003 年-2012 年江苏省高考数学试题分类解析汇编 专题 2：函数与导数 一、选择填空题 1.（江苏 2003 年 5 分） 设函数 00 2 1, 1)( 0, , 0, 12 )(xxf xx x xf x 则若 的取值范围是【】 A （ 1，1）B （ 1， ） C （ ， 2）（ 0， ）D （ ， 1）（ 1， ） 【答案】 D。 【考点】 分段函数已知函数值求自变量的范围问题，指数不等式的解法。 【分析】 将变量 0 x按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进 行合并： 当 0 x0 时， 0 21 x 1，则 0 x 1；当 0 x0 时， 1 2 0 x1 则 0 x1， 故 0 x的取值范围是（， 1）（ 1， ） 。故选 D。 2.（江苏 2003 年 5 分） 函数 1 ln,(1,) 1 x yx x 的反函数为【】 A 1 ,(0,) 1 x x e yx e B 1 ,(0,) 1 x x e yx e C 1 ,(,0) 1 x x e yx e D 1 ,(,0) 1 x x e yx e 【答案】 B。 【考点】 反函数。指数式与对数式的互化，求函数的值域。 【分析】 将 1 ln 1 x y x ，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x（ 1，+）求出原函数的值 域，即为反函数的定义域： 由已知 1 ln 1 x y x ，解x得 1 1 y y e x e 。 又当 x（ 1，+）时， 12 11 11 x xx ， 1 ln0 1 x y x 。 第 2 页 共 28 页 函数 1 ln,(1,) 1 x yx x 的反函数为； 1 , 0, + 1 x x e yx e 。故选 B。 3.（江苏2003年 5 分） 设 2 0,( )af xaxbxc，曲线( )yfx 在点 00 (,()P xf x 处切线的倾斜 角的取值范围为0, 4 P 则到曲线( )yf x对称轴距离的取值范围为【】 A 1 0, a B 1 0, 2a C0, 2 b a D 1 0, 2 b a 【答案】 B。 【考点】 导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离。 【分析】 由导数的几何意义，得到 0 x 的范围，再求出其到对称轴的范围： 过 00 (,()P xf x的切线的倾斜角的取值范围是0, 4 00 ()2fxaxb0，1。 0 1 , 22 bb x aa 。 又点P到曲线( )yf x对称轴 2 b x a 的距离 00 22 bb dxx aa ， 0 1 0, 22 b dx aa 。故选 B。 4.（江苏 2004 年 5 分） 若函数)1, 0)(logaabxy a 的图象过两点( 1，0)和(0， 1)，则【】 (A) a=2， b =2 (B)a=2 ， b =2 (C)a=2， b =1 (D)a=2 ， b =2 【答案】 A。 【考点】 对数函数的单调性与特殊点。 【分析】 将两点代入即可得到答案： 函数 y=log a （x+ b ） （a0，a1 ）的图象过两点（1，0）和（ 0，1） ， log a （ 1+ b ）=0，log a （0+b ）=1。 a=2， b =2。故选 A。 5.（江苏 2004 年 5 分） 函数13)( 3 xxxf在闭区间 3， 0上的最大值、最小值分别是【】 第 3 页 共 28 页 (A)1， 1 (B)1， 17 (C)3， 17 (D)9 ， 19 【答案】 C。 【考点】 函数的最值及其几何意义。 【分析】 用导研究函数13)( 3 xxxf在闭区间 3，0上的单调性，利用单调性求函数的最值： 2 ( )330, 1fxxx，且在 3， 1）上( )0fx ，在（ 1，0上( )0fx ， 则 222 (1)(1)1fxx， 2 (2 )(2 )1fxx。 由 2 (1)(2 )fxfx 得， 22 (1)1x 2 (2 )1x ，解得021x 时， 2 10x ，则 2 ( 1)1fx ， 2 (2 )(2 )1fxx 。由 2 (1)(2 )fxfx 得 1 2 (2 )1x ，无解。 综上所述，满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的x的范围是( 1,21)x。 21.（江苏2010 年 5 分） 将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块 是梯形，记 2 ( S 梯形的周长） 梯形的面积 ,则 S 的最小值是。 【答案】 32 3 3 。 【考点】 求闭区间上函数的最值。 【分析】 设剪成的小正三角形的边长为x，则： 22 2 (3)4(3) (01) 1133 (1)(1) 22 xx Sx x xx 令 11 1 3,(2,3),(,) 3 2 xt t t ，则： 第 9 页 共 28 页 2 22 2 44141 86 68 333131 1 8 88 t S tt tt t 。 当 13 8t 时， 2 131 8 88t 有最大值，其倒数有最小值。 当 13 8t ，即 1 3 x 时， S 的最小值是 32 3 3 。 本题还可以对函数S进行求导，令导函数等于0 求出x的值，根据导函数的正负判断函数的 单调性进而确定最小值。 22.（江苏 2011年 5 分） 函数 ) 12(log)( 5 xxf 的单调增区间是_ 【答案】 , 2 1 。 【考点】 对数函数图象和性质。 【分析】 由012x，得 2 1 x，所以函数的单调增区间是, 2 1 。 23.（江苏2011年 5 分） 已知实数0a，函数 1,2 1,2 )( xax xax xf，若)1()1(afaf，则 a 的值为 【答案】 3 4 。 【考点】 函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。 【分析】 根据题意对a分类： 当0a时，11 , 11aa，aaaa2)1()1 (2，解之得 2 3 a，不合舍去； 当0a时，11 , 11aa，aaaa2)1()1(2，解之得 4 3 a。 14.（江苏 2011年 5 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点P 是函数)0()(xexf x 的图象上的动 点，该图象在P 处的切线l交 y 轴于点 M，过点 P 作l的垂线交y 轴于点 N，设线段MN 的中点的纵 坐标为t，则t的最大值是 【答案】)( 2 1 1 ee。 第 10 页 共 28 页 【考点】 指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。 【分析】 设 P 点坐标为 )0)(,(mem m ， 由 x exf)( 得，l的方程为 )(mxeey mm ，令0x得， mm meey 。 过点 P 的l的垂线方程为 )(mxeey mm ，令0x得， mm meey 。 )( 2 1mmmm meemeet。 对函数t( m)求导，得 1 ()(1) 2 xx teex ， t在(0,1)上单调增，在(1,)单调减，当1m时，函数t( m)的最大值为)( 2 1 1 ee。 15. （ 2012年江苏省5 分） 函数xxf 6 log21)(的定义域为 【答案】06，。 【考点】 函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】 根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 1 266 00 0 6 1 12log0log 6 =6 2 0x x x xx x 。 16. （ 2012 年江苏省5 分） 已知函数 2 ( )()f xxaxb a bR，的值域为0)，若关于x 的不等 式 ( )f xc的解集为(6)mm，则实数 c 的值为 【答案】 9。 【考点】 函数的值域，不等式的解集。 【解析】 由值域为0)，当 2 =0xaxb时有 2 40abV，即 2 4 a b， 2 2 22 ( ) 42 aa f xxaxbxaxx。 2 ( ) 2 a f xxc解得 2 a cxc， 22 aa cxc。 第 11 页 共 28 页 不等式( )f xc的解集为(6)mm，()()26 22 aa ccc ，解得9c。 二、解答题 1.（江苏 2003 年 12 分） 已知0,an为正整数 （）设 () n yxa ，证明 1 '() n yn xa ； （）设( )() nn n fxxxa，对任意na，证明 1'( 1)(1)'( ) nn fnnfn 【答案】 证明：（） n k k n n Cax 0 )( kkn xa)( ， 1 0 )( kkn n k k n xakCy n k n 0 111 1( )() knkkn n Caxn xa 。 （）对函数 nn n axxxf)()( 求导数： 11 11 ( )(), ( )(). 0,( )0. ,( )(). ,(1)(1)() nn n nn n n nn n nnnn fxnxx xa fnn nna xafx xafxxxax nannanna 所以 是于 的增函 因此 )()(1()1()1)(1() 1( 1 nnnn n annnannnnf 1 (1) ()(1)() nn n nnn nanfn 。 即对任意 1 ,(1)(1)( ) nn na fnnfn 【考点】 导数的运算，不等式的证明。 【分析】（ I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积。 （II ）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数，再求x用x+1 代替求出导函数值，易比 较出两者的大小。 2.（江苏 2005 年 12 分） 已知Ra，函数|)( 2 axxxf 当2a时，求使xxf)(成立的x的集合；（ 4 分） 求函数)(xfy在区间2, 1上的最小值（10 分） 第 12 页 共 28 页 【答案】 解： （1）由题意， |2|)( 2 xxxf 当2x时，由 xxxxf)2()( 2 ，解得0x或1x； 当2x时，由 xxxxf)2()( 2 ，解得 21x 综上，所求解集为0, 1, 12。 （2）设此最小值为 m 当1a时，在区间 1，2上， 23 )(axxxf ， 0) 3 2 (323)( ' 2 axxaxxxf，)2, 1(x， )(xf是区间 1，2上的增函数，所以afm1)1(。 当21a时 ， 在 区 间 1 ， 2 上 ， 0|)( 2 axxxf ， 由0)(af知 ， 0)(afm。 当2a时，在区间 1，2上， 32 )(xaxxf ， ) 3 2 (332)( ' 2 xaxxaxxf 若3a，在区间（ 1，2）上，0)( ' xf，则)(xf是区间 1，2上的增函数， 1)1(afm。 若 32a ，则2 3 2 1a， 当ax 3 2 1时，0)( ' xf，则)(xf是区间 1，a 3 2 上的增函数， 当2 3 2 xa时，0)( ' xf，则)(xf是区间 a 3 2 ，2上的减函数， 当32a时，1)1(afm或)2(4)2(afm。 当 3 7 2a时，1)2(4aa，故)2(4)2(afm。 当3 3 7 a时，1)2(4aa，故1)1 (afm。 第 13 页 共 28 页 综上所述，所求函数的最小值 3 7 1 3 7 2)2(4 210 11 aa aa a aa m 。 【考点】 函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。 【分析】（ 1）把2a代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即2x和2x分别求解 对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。 （ 2）根据区间 1，2和绝对值内的式子进行分类讨论，即1a、21a和2a三种情况， 分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值； 当3a时 最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函 数的最小值。 3.（江苏 2006 年 14 分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱， 上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面 中心 1 O的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 【答案】 解：设 OO1为xm， 则由题设可得正六棱锥底面边长为 222 3(1)82xxx 底面正六边形的面积为 22222 33 3 3(1)6( 82)(82) 42 xxxxx 帐篷的体积为 233 313 V( )(82)(1)1(1612) 232 xxxxxx。 求导数，得 2 3 V ( )(123) 2 ' xx。 令V ( )0' x解得x=2(不合题意，舍去)，x=2。 当 1时，函数ym t, 2,2t的图象是开口向上的抛物线的一段，由 1 0t时， 1 0 a ，此时( )2g aa, 11 ()2g aa 。由 1 22a a 解得 1a，由0a 得1a。 综上所述，满足 1 ( )( )g ag a 的所有实数a为 2 2 2 a或1a。 【考点】 函数最值的应用 【分析】（ I）由txx11先求定义域，再求值域。由 22 1 11 2 xt转化。 （ II）求( )g a的最大值， 即求函数 21 , 2, 2 2 m tattat的最大值 严格按照二次函 数求最值的方法进行。 （III ）要求满足 1 ( )()g ag a 的所有实数a，则必须应用( )g a的解析式，它是分段函数，必 须分情况选择解析式进行求解。 第 16 页 共 28 页 5.（江苏 2007 年 16 分） 已知, , ,a b c d是不全为0的实数，函数 2 ( )f xbxcxd， 32 ( )g xaxbxcxd ，方程( )0f x有实根，且( )0f x的实数根都是( )0g f x的根， 反之，( )0g f x的实数根都是( )0f x的根， （ 1）求d的值；（3 分） （ 2）若0a，求c的取值范围； （6 分） （ 3）若1,(1)0af，求c的取值范围。 （7 分） 【答案】 解： （1）设 0 x是0fx的根，那么 0 0fx， 则 0 x是( )0g f x的根，则 0 0,gfx即00g， 0d。 （2）0a， 22 ,fxbxcx g xbxcx， 则( )g f xfxbfxc= 222 bxcxb xbcxc=0的根也是 0fxxb xc 的根。 （a） 当 0b ， 0c 时， 此时0fx的根为 0， 而( () ) 0g f x的根也是0， 0c 。 （b）当0b，0c时，0fx的根为 0，而( )0g f x的根也是0。 （c）当0b，0c时，0fx的根为 0 和 c b ，而 0bfxc 的根不可能为 0 和 c b ， 0bfxc必无实数根， 2 2 40bcb c，由0b解得04c。 综上所述，当0b时，0c；当0b时，04c。 （3）1,(1)0af，0bc，即0fx的根为 0 和 1。 2 22 cxcxccxcxc=0 必无实数根。 （a）当0c时，t= 2 cxcx= 2 1 244 cc c x ，即函数 2 h ttctc在 第 17 页 共 28 页 4 c t， 0h t 恒成立。 又 2 2 2 24 cc h ttctctc ， min 0 4 c h th ，即 22 0, 164 cc c 16 0 3 c。 （b）当0c时，t= 2 cxcx= 2 1 244 cc c x ，即函数 2 h ttctc 在 4 c t，0h t恒成立。 又 2 2 2 24 cc h ttctctc ， min 0 2 c h th ，即 2 4 c c0， 而0c， 2 4 c c0，c不可能小于0。 （c）0,c则0,b这时0fx的根为一切实数，而0gfx，0,c符 合要求。 综上所述， 16 0 3 c。 【考点】 函数与方程的综合运用。 【分析】 （1）不妨设 0 x为方程的一个根， 即 0 0fx， 则由题设得 0 0gfx， 从而由0gd 求解。 （ 2）由（ 1）知 22 ,fxbxcx g xbxcx所以有( )g f xfxbfxc = 222 bxcxb xbcxc=0。而方程0fxx bxc。最后按方程的类型，分（）0b， 0c， （）0b，0c， （）0b，0c讨论。 （ 3）由1,(1)0af得0bc，将函数的系数都用c表示，分0c，0c，0c三 种情况讨论。 6.（江苏 2008年 16分） 已知函数 1 1( ) 3 xp f x， 2 2( ) 2 3 xp fx（ 12 ,xR pp为常数）函数( )f x 第 18 页 共 28 页 O y x (a,f(a) (b,f(b) 图 1 定义为：对每个给定的实数x， 112 212 (),()() () (),()() fxfxfx fx fxfxfx 若 若 （ 1）求 1 ( )( )f xfx 对所有实数 x成立的充分必要条件（用 12 ,p p 表示） ； （ 2）设,a b是两个实数， 满足ab，且 12 ,( , )p pa b若( )( )f af b，求证： 函数( )f x在区间 , a b 上的单调增区间的长度之和为 2 ba （闭区间, m n的长度定义为nm） 【答案】 解： （1）由( )f x的定义可知， 1 ( )( )f xfx （对所有实数 x）等价于 12 fxfx（对所有实数x）这又等价于 12 32 3 xpxp ，即 12 3 log2 332 xpxp 对所有实数 x均成立 . （* ） 由于 121212 ()()()xpxpxpxpppxR 的最大值为 12 pp ， 故（ * ）等价于 12 32 pp ，即 123 log 2pp，这就是所求的充分必要条件。 （2）分两种情形讨论： （i）当 1232pplog 时，由（ 1）知 1 ( )( )f xfx （对所有实数 , xa b） 则由fafb及 1 apb易知 1 2 ab p， 再由 1 1 1 1 1 3, ( ) 3, px xp xp fx xp 的单调性可知， 函数( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度 为 22 abba b（参见示意图1） （ii） 1232 pplog时，不妨设 12, pp，则 213 log 2pp，于是 当 1 xp时，有 12 12 ( )33( ) pxpx fxfx，从而 1 ( )( )f xf x； 当 2 xp时，有 312122122 log 2 12 ( )333333( ) xpppxpppxpxp fxfx 从而 2 ( )( )f xfx； 当 12 pxp时， 1 1( ) 3 xp fx，及 2 2( ) 2 3 px fx，由方程 12 32 3 xppx 解得 12 ( )( )fxfx与图象交点的横坐标为 第 19 页 共 28 页 O y x (a,f(a) (b,f(b) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) 图 2 12 03 1 log 2 22 pp x 显然 1022132 1 ()log 2 2 pxpppp， 这表明 0 x 在 1 p 与 2 p 之间。由易知 101 022 ( ), ( ) ( ) , pxxfx f x xxpfx 。 综上可知， 在区间 , a b上， 01 02 ( ) , ( ) ( ) , axxfx f x xxbfx （参见 示 意图 2） 故由函数 1( ) fx及 2( ) fx的单调性可知，( )fx在区间 , a b上的单调增区间的长度之和为 012 ()()xpbp，由于( )( )f af b，即 12 32 3 pabp ，得 123 log 2ppab 故由、得 012123 1 ()()l o g2 22 ba xpbpbpp。 综合（ i） （ ii）可知，( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度和为 2 ab 。 【考点】 指数函数综合题。 【分析】（1）根据题意，先证充分性：由( )f x的定义可知， 1 ( )( )f xfx对所有实数成立，等价于 12 fxfx对所有实数x成立，等价于 12 32 3 xpxp ，即 12 3 log2 332 xpxp 对所有实数 x均成立，分析容易得证。 再证必要性： 12 3 log2 332 xpxp 对所有实数x均成立等价于 12 32 pp ， 即 123 l o g2pp。 （ 2）分两种情形讨论 （i）当 123 2pplog时，由中值定理及函数的单调性得到函数( )f x 在区间 , a b上的单调增区间的长度；（ii） 1232 pplog时，,a b是两个实数，满足ab，且 12 ,( , )p pa b，根据图象和 函数的单调性得到函数( )fx在区间 , a b上的单调增区间的长度。 7.（江苏 2009 年 16 分） 设a为实数，函数 2 ( )2f xxxa xa.学科网 第 20 页 共 28 页 (1)若(0)1f，求a的取值范围；学科网 (2)求( )f x的最小值； 学科网 (3)设函数( )( ), +h xf xxa，直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式( )1h x的解集 . 【答案】 解（ 1）若(0)1f，则| 1a a 当0a时， 2 1a，1a； 当0a时， 2 1a无解。 a的取值范围为1a。 （2）当x a时， 22 ( )32,f xxaxa 2 2 min ( )20 ( ) 2 ()0 33 f aaa f x aa fa ； 当x a时， 22 ( )2,f xxaxa 2 min 2 ()20 ( ) ( )20 faaa f x f aaa 综上 2 2 min 20 ( ) 2 0 3 aa f x a a 。 （3）当 26 (,) 22 a时，解集为( ,)a; 当 62 (,) 22 a时，解集为 22 3232 ( ,) 33 aaaa a; 当 22 , 22 a时，解集为 2 32 ,) 3 aa 。 【考点】 二次函数的性质，一元二次不等式的解法。 【分析】（ 1）(0)1| 1fa a再去绝对值求a的取值范围。 （ 2）分xa和xa两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，最后综合即可。 （ 3）( )1h x转化为 22 3210xaxa，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对 其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。 ( ,)xa时，由( )1h x得 22 3210xaxa， 222 412(1)128aaa 当 66 22 aa或时，0,( ,)xa； 第 21 页 共 28 页 当 66 22 a时， 0,得： 22 3232 ()()0 33 aaaa xx xa 。因此，讨论得： 当 26 (,) 22 a 时，解集为 ( ,)a ; 当 62 (,) 22 a时，解集为 22 3232 ( ,) 33 aaaa a; 当 22 , 22 a时，解集为 2 32 ,) 3 aa 。 8.（江苏 2010 年 16 分） 设)(xf是定义在区间), 1(上的函数， 其导函数为)( ' xf。如果存在实数 a 和函数)(xh，其中)(xh对任意的), 1(x都有)(xh0，使得 ) 1)()( ' 2 axxxhxf ，则称函 数)(xf具有性质)(aP。 (1)设函数)(xf 2 ln(1) 1 b xx x ，其中b为实数。 (i)求证：函数)(xf具有性质)(bP；(ii)求函数)(xf的单调区间。 (2)已知函数)(xg具有性质)2(P。给定 1212 ,(1,),x xxx设m为实数， 21 )1(xmmx ， 21 )1 (mxxm ，且1, 1， 若 |)()(gg|0， 对任意的), 1(x都有( )0g x，( )g x在(1,)上递增。 又 1212 ,(21)()xxmxx， 当 1 ,1 2 mm时，且 112 (1)(1),(1xmxmxxmxm， 第 23 页 共 28 页 综上所述，所求m的取值范围是（0，1） 。 【考点】 利用导数研究函数的单调性。 【分析】 （1）(i) 先求出函数)(xf的导函数'( )fx，然后将其配凑成 2 1f '( x)h( x)( xbx)这种形 式，再说明h( x)对任意的x（ 1，+）都有h( x)0，即可证明函数)(xf具有性质)(bP； (ii)设 2 ( )1xxbx，分2b和2b两种情况讨论：根据(i)令 2 ( )1xxbx，讨论 对称轴与2 的大小， 当2b时，对于1x，( )x0，所以'( )fx0，可得)(xf）在区间 （1，+） 上单调性，当2b时，( )x图象开口向上，对称轴1 2 b x，可求出方程( )x=0 的两根，判定两 根的范围，从而确定( )x的符号，得到'( )fx的符号，求出单调区间。 （2）对)(xg求导，由已知条件，应用不等式的性质求解。 9.（江苏2011 年 14 分） 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起， 使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点， 设 AE=FB=xcm. （ 1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm 2 ）最大，试问x应取何值？ （ 2）若广告商要求包装盒容积V（cm 3）最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值 . A 60 E F B x x CD P 第 24 页 共 28 页 【答案】 解：设包装盒的高为 )(cmh ，底面边长为 )(cma 。 由已知得 602 22 30 030 2 x ax, h(x),x。 （1） 1800)15(8)30(84 2 xxxahS ， 当15x时， S 取得最大值。 （2） 22 2 (2 )(602 )22(30)(030) 2 Vxxxxx，6 220Vxx。 由0V得，0x(舍)或20x。 当0 20x,时0V；当20 30x,时0V， 当20x时取得极大值，也是最大值，此时 2 x 1 2 2 h ax （602 ） 2 ， 即包装盒的高与底面边长的比值为 2 1 。 【考点】 建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用 【分析】 （1）可设包装盒的高为)(cmh，底面边长为)(cma，写出a， h 与x的关系式，并注明x的 取值范围再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S 关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大 值即可。 （ 2）利用体积公式表示出包装盒容积V 关于x的函数解析式， 利用导数知识求出何时它取得 的最大值即可。 10.（江苏2011年 16 分） 已知a， b 是实数，函数 32 f ( x)xax, g( x)xbx,)(xf和)(xg是 )(),(xgxf的导函数，若0)()(xgxf在区间 I 上恒成立，则称)(xf和)(xg在区间 I 上单调性一 致 . （ 1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间), 1上单调性一致,求实数 b 的取值范围； （ 2）设,0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以a， b为端点的开区间上单调性一致，求|a b | 的最大值 . 【答案】 解：由 32 f( x )xax,g( x)xbx得 2 32f ( x)xa,g ( x)xb。 第 25 页 共 28 页 （1）由题意得 0)()(xgxf ，在 , 1 上恒成立。 0a， 2 30f ( x)xa 。 20g ( x)xb ，即xb2在区间 , 1 上恒成立。 2b，b的取值范围是 ,2 。 （2）令0)(xf，解得 3 a x。 若0b，由0a得),(0ba。 又0)0()0(abgf，函数)(xf和)(xg在),(ba上不是单调性一致的。 0b。 当 3 , a x 时，0)(xg，0)(xf。函数)(xf和)(xg在),(ba上不是单 调性一致的。 当 0 3 a x,时，0)(xg，0f ( x)， =2x是( )g x的极值点。 当21时，( )0gx ，=1x不是( )g x的极值点。 ( )g x的极值点是2。 （3）令( )=f xt，则( )( )h xf tc。 先讨论关于x的方程( )=f xd根的情况：2, 2d 当=2d时，由（ 2 ）可知，( )=2f x的两个不同的根为I 和一 2 ，注意到( )f x是 奇函数，( )=2f x的两个不同的根为一和2。 当2d ，(1)= ( 2)=20fdfdd ，于是( )f x是单调增函数，从而( )(2)=2f x f。 此时( )=f xd在2，无实根。 当1 2x，时( )0f' x ，于是( )f x是单调增函数。 又(1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断， ( )=f xd在（ 1 , 2 ）内有唯一实根。 同理， ( )=f xd在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。 当1 1x，时，( )0f' x ，(1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断， ( )=f xd在（一 1，1 ）内有唯一实根。 因此， 当=2d时，( )=f xd有两个不同的根 12 xx，满足 12 =1=2xx，；当2d 时 ( )=f xd有三个不同的根 315 xxx， ，满足2=3, 4, 5 i x i，。 现考虑函数( )yh x的零点： ( i ）当=2c时，( )=f tc有两个根 12 tt，满足 12 =2tt1，。 而 1 ( )=f xt有三个不同的根， 2 ( )=f xt有两个不同的根，故( )yh x有 5 个零点。 ( 11 ）当2c 时，( )=f tc有三个不同的根 345 ttt， ，满足2=3, 4, 5 i t i，。 而=3,( ) 4, = 5 i f xti有三个不同的根，故( )yh x有 9 个零点。 综上所述， 当=2c时，函数( )yh x有 5 个零点； 当2c 时，函数( )yh x有 9 个 零点。 【考点】 函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】（ 1）求出)(xfy的导数，根据1 和1是函数)(xfy的两个极值点代入列方程组求解即 可。 （ 2）由（ 1）得， 3 ( )3f xxx，求出( )g x，令( )=0g x，求解讨论即可。 （ 3）比较复杂，先分=2d和2d 讨论关于x的方程( )=f xd根的情况；再考虑函数 ( )yh x的零点。 第 28 页 共 28 页