2018年秋人教版七年级数学上思维特训(十七)含答案：线段上的动点问题.pdf

思维特训 (十七 )线段上的动点问题 方法点津· 所谓 “动点型问题 ”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、 射线或弧线上运动的 一类问题 解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题解题时要注意动点的起始 位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系 线段上的动点问题一般有两种类型： (1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求 解； (2)动点有速度型，主要利用路程时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解 典题精练· 类型一动点无速度型 1如图 17 S1 所示， A， B，C 是一条公路边的三个村庄，A，B 间的距离为100 km，A， C 间的距离为40 km，现要在A，B 之间设一个车站P，设 P， C 间的距离为x km. (1)用含 x 的式子表示车站到三个村庄的距离之和； (2)若车站到三个村庄的距离之和为105 km，则车站应设在何处？ (3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？ 图 17S 1 2如图 17S2，某公司有三个住宅小区A，B，C， A， B，C 各小区分别住有职工30 人、 15 人、 10 人，且这三个小区在一条大道上(即 A，B，C 三点共线 )，已知AB100 米， BC200 米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠 点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？ 图 17S 2 3已知数轴上A，B 两点对应的数分别为a 和 b，且 a，b 满足等式 (a9) 2|7b| 0，P 为 数轴上一动点，对应的数为x. (1)求线段 AB 的长 (2)数轴上是否存在点P，使 PA3PB？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若M，N 分别是线段AB ，PB 的中点，试求线段MN 的长 类型二动点有速度型 4如图 17S3，P是线段 AB 上任意一点，AB 12 cm，C，D 两点分别从点P，B 开始， 同时向点 A 运动，且点C 的运动速度为2 cm/s，点 D 的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s. (1)若 AP8 cm. 求运动1 s后， CD 的长； 当点 D 在线段 PB 上运动时，试说明AC2CD. (2)如果 t2，CD1 cm，试探索AP 的长 图 17S 3 5如图 17S4，B 是线段 AD 上一动点，沿AD 以 2 cm/s 的速度运动， C 是线段 BD 的 中点， AD 10 cm，设点 B 运动的时间为t s. (1)当 t2 时， AB _ cm； 求线段CD 的长 (2)在运动过程中，若AB 的中点为E，则 EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生 变化，请说明理由 图 17S 4 6如图 17S5 甲， O 是线段 AB 上一点， C，D 两点分别从O，B 同时出发，以2 cm/s，4 cm/s 的速度在直线AB 上运动，点C 在 O，A 之间，点D 在 O，B 之间 (1)设 C， D 两点同时沿直线AB 向左运动t s 时， AC OD1 2，求 OA OB的值； (2)在(1)的条件下，若C，D 两点运动 5 2s 后都停止运动，此时恰有 ODAC 1 2BD ，求 CD 的 长； (3)在(2)的条件下， 将线段 CD 在线段 AB 上左右滑动如图17S5 乙(点 C 在 O，A 之间， 点 D 在 O，B 之间 )，若 M， N 分别为 AC ，BD 的中点，试说明线段MN 的长度始终不发生变化 图 17S 5 详解详析 1 解： (1)如图，当点P在线段 BC 上时， 车站到三个村庄的距离之和为PA PBPC40x100 (40x)x(100x)km； 如图，当点P 在线段 AC 上时，车站到三个村庄的距离之和为PA PCPB 40x x60 x(100x)km. 综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100x)km. (2)由(1)得 100x105，解得 x5. 答：车站设在C 村左侧或右侧5 km 处 (3)当 x0 时， x100100，此值最小 答：车站设在C 村时到三个村庄的距离之和最小 2 解： 以 A 小区为停靠点，则所有人的路程之和为15× 10010×300 4500(米)， 以 B 小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×10010× 200 5000(米)， 以 C 小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×30015× 200 12000(米) 因为 4500500012000 ， 所以该停靠点的位置应设在A 小区 3 解： (1)由(a9) 2|7b|0，得 a 90，7b0.解得 a 9，b7. 所以线段AB 的长为 ba7(9)16. (2)当点 P在线段 AB 上时， PAPBAB， 即 3PBPBAB 16， PB4， 此时 7x4，解得 x3； 当点 P 在线段 AB 的延长线上时， PAPBAB ， 即 3PBPBAB 16，PB 8， 此时 x78 15. 综上所述， x 的值为 3 或 15. (3)当点 P在线段 AB 上时， 由 M，N 分别是线段AB，PB 的中点，得 MB 1 2AB 8，NB 1 2PB2. 由线段的和差，得 MN MB NB 826； 当点 P 在线段 AB 的延长线上时， 由 M，N 分别是线段AB，PB 的中点，得 MB 1 2AB 8，NB 1 2PB4. 由线段的和差，得MN MB NB 8412. 综上所述， MN 的长为 6 或 12. 4 解：(1)由题意可知： CP2× 12(cm)， DB 3×13(cm)，因为 AP8 cm，AB 12 cm， 所以 PBAB AP4 cm， 所以 CDCPPBDB 2433(cm) 因为 AP8 cm， AB12 cm， 所以 PB4 cm，AC (82t)cm， 所以 DP(43t)cm， 所以 CDCPDP2t43t(4t)cm， 所以 AC 2CD. (2)当 t2 时， CP2× 24(cm)，DB 3× 26(cm) 当点 D 在点 C 的右边时，如图所示： 因为 CD1 cm，所以 CBCD DB7 cm， 所以 AC AB CB 5 cm， 所以 APAC CP9 cm； 当点 D 在点 C 的左边时，如图所示： 因为 AD AB DB 6 cm， 所以 APAD CDCP11 cm. 综上所述， AP9 cm 或 11 cm. 5 解： (1)因为 B 是线段 AD 上一动点，沿AD 以 2 cm/s 的速度运动， 所以当 t2 时， AB 2×24(cm) 因为 AD 10 cm，AB 4 cm， 所以 BD 10 46(cm) 因为 C 是线段 BD 的中点， 所以 CD 1 2BD 1 2×63(cm) (2)不变 因为 AB 的中点为E，C 是线段 BD 的中点， 所以 EB 1 2AB，BC 1 2BD， 所以 ECEBBC 1 2(AB BD) 1 2AD 1 2×10 5(cm) 6 解： (1)设 ACx cm，则 OD2x cm， 又因为 OC2t cm，BD 4t cm， 所以 OA (x2t)cm，OB(2x 4t)cm， 所以 OA OB 1 2. (2)设 ACx cm，则 OD2x cm， 又 OC2× 5 2 5(cm)，BD 4× 5 2 10(cm)，由 ODAC 1 2BD ，得 2xx 1 2×10， 解得 x5， 所以 OD2×510(cm)， 所以 CDODOC10515(cm) (3)在(2)中有 AC 5 cm，BD 10 cm， CD 15 cm，所以 AB AC BDCD30 cm. 设 AM CMm cm，BN DNy cm， 因为 2m152y 30，所以 m y7.5， 所以 MN CM CDDN m15y22.5(cm)即线段MN 的长度始终是22.5 cm.