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    2019年北师大版八年级上册数学第1章《勾股定理》培优专题训练含答案.pdf

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    2019年北师大版八年级上册数学第1章《勾股定理》培优专题训练含答案.pdf

    2019 年北师大版八年级上册第1 章勾股定理培优专题训练 一选择题 1在 RtAOB中,AOB90°,若AB 10,AO6,则OB长为() A5 B6 C8 D10 2如图,在ABC中,CE平分ACB,CF平分ACD,且EFBC交AC于M,若CM3,则CE 2+CF2 的值为() A6 B9 C18 D36 3满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是() AA:B:C3:4:5 Ba:b:c 6:8:10 CCABDb2a2c2 4一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点,已知圆柱的底面半径为2cm,高为 8cm( 取 3),则蚂蚁所走过的最短路径是()c m A8 B9 C10 D12 5如图,在ABC中,A45°,B 30°,CDAB于D,CD2,则AB长为() A6 BC +2 D +2 6如图,分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形,面积分别记为S1、S2、S3,则S1、S2、 S3之间的关系是() AS 1 2+S 2 2S 3 2 BS1+S2S3 CS1+S2S3DS1+S2S3 7如图,ABC中,CD是AB边上的高,若AB1.5 ,BC0.9 ,AC1.2 ,则CD的值是() A0.72 B2.0 C1.125 D不能确定 8如图,在4×4 的正方形网格中,ABC的顶点都在格点上,下列结论错误的是() AAB5 BC90°CAC 2DA30° 9如图,在ABC中,点M是AC边上一个动点 若ABAC10,BC12,则BM的最小值为 () A8 B 9.6 C10 D4 5 10如图是由 “赵爽弦图” 变化得到的, 它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、 正 方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3若S1+S2+S360,则S2的值是() A12 B15 C20 D30 二填空题 11如图,在 RtABC中,C 90°,DE垂直平分AB,连结AD,若AC 6,BC 8,则CD的长 为 12禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示,现计划在空地上种草皮,经测量B90°,AB 3m,BC4m,CD13m,AD12m,若每种植1 平方米草皮需要300 元,总共需投入元 13如图,一个无盖的正方体,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,经过计算发 现,它的最短路径是20cm,则这个正方体的棱长为cm 14如图,在6×6 正方形网格(每个小正方形的边长为1cm)中,网格线的交点称为格点,ABC 的顶点都在格点处,则AC边上的高的长度为cm 15在ABC中,如果AB5cm,AC4cm,BC边上的高线AD3cm,那么BC的长为cm 16如图,在RtABC中,C90°,AC12cm,BC5cm,以顶点A为 圆心,适当长为半径画 弧,分别交AC、AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于 点P,作射线AP交边BC于点D,则ABD的面积为 17如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形B、C、D的面 积依次为4、3、9,则正方形A的面积为 18 如图,每个小正方形边长为1,A、B、C是小正方形的顶点, 则AB 2 , ABC° 三解答题 19如图,在ABC中,D是BC边上的一点,已知AB13,AD12,AC 15,BD5 (1)求证:ADBC; (2)求CD的长 20如图,一架长25 米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端离墙7 米 (1)此时梯子顶端离地面多少米? (2)若梯子顶端下滑4 米,那么梯子底端将向左滑动多少米? 21小明是一位善于思考的学生,在一次数学活动课上,他将一副直角三角板按如图所示的位置摆 放,A、B、D三点在同一直线上,EFAD,CABEDF90°,C 45°,E60°,量得 DE8 (1)试求点F到AD的距离 (2)试求BD的长 22如图,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以每小时30 海里的速度向北偏东35°方向航行, 乙船以每小时40 海里的速度向另一方向航行,1 小时后,甲船到达C岛,乙船达到B岛,若C、 B两岛相距50 海里,请你求出乙船的航行方向 23如图,AOB90°,OA9cm,OB3cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO 方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住 了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少? 24如图, 在 Rt ABC中,C90°,AC30cm,BC21cm,动点P从点C出发, 沿CA方向运动, 动点Q从点B出发,沿BC方向运动,如果点P,Q的运动速度均为1cm/s那么运动几秒时,它 们相距 15cm? 25 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用 面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为 地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言 定理表述 请你根据图1 中的直角三角形,写出勾股定理内容; 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以a+b为高的直角梯形(如图2), 请你利用图2,验证勾股定理 参考答案 一选择题 1解:在RtAOB中,AOB90°,AB10,AO6, OB, 故选:C 2解:CE平分ACB,CF平分ACD, ACEACB,ACFACD,即ECF(ACB+ACD) 90°, 又EFBC,CE平分ACB,CF平分ACD, ECBMECECM,DCFCFMMCF, CMEMMF3,EF6, 由勾股定理可知CE 2+CF2EF236, 故选:D 3解:A、A:B:C3:4:5,C,所以不是直角三 角形,正确; B、( 6x) 2+(8x)2( 10x)2,是直角三角形,错误; C、CAB, C+BA, A90°,是直角三角形,故本选项错误; D、b 2a2 c 2,是直角三角形,错误; 故选:A 4解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、B的最短距离为线段AB的长 在RTABC中,ACB90°,BC8cm,AC为底面半圆弧长,AC 2 6cm, 所以AB10cm 故选:C 5解:在RtACD中,A45°,CD2, 则ADCD2, 在 RtCDB中,B30°,CD2, 则BD2, 故ABAD+BD2+2 故选:D 6解:设直角三角形的三边从小到大是a,b,c 则S1b 2, S2a 2, S3c 2 又a 2+b2 c 2, 则S1+S2S3 故选:D 7解:AB1.5 ,BC0.9 ,AC1.2 , AB 21.522.25 , BC 2+AC20.92+1.222.25 , AB 2 BC 2+AC2, ACB90°, CD是AB边上的高, SABC, 1.5CD1.2 ×0.9 , CD0.72 , 故选:A 8解:A、由勾股定理得:AB5,故此选项正确; B、AC 222+4220, BC 212+22 5,AB25225, AB 2 BC 2+AC2, C90°, 故此选项正确; C、AC 2,故此选项正确; D、BC,AB5, A30°, 故此选项不正确; 本题选择错误的结论, 故选:D 9解:作ADBC于D,如图所示: 则ADB90°, ABAC, BDBC6, 由勾股定理得:AD8, 当BMAC时,BM最小, 此时,BMC90°, ABC的面积AC?BMBC?AD, 即×10×BM×12× 8, 解得:BM9.6 , 故选:B 10解:设每个小直角三角形的面积为m,则S1 4m+S2,S3S24m, 因为S1+S2+S3 60, 所以 4m+S2+S2+S24m60, 即 3S260, 解得S220 故选:C 二填空题(共8 小题) 11解:DE是AB的中垂线, DADB, 设ADx,则DBx,CDBCBD8x, 在 RtACD中,AC 2+CD2 AD 2, 6 2+(8 x) 2 x 2, 解得x, CD 8x, 故答案为: 12解:在RtABC中, AC 2 AB 2+BC2 32+4252, AC 5 在DAC中,CD 2132, AD 2 122, 而 12 2+52 132, 即AC 2+AD2 CD 2, DAC90°, S四边形ABCDSBAC+SDAC?BC?AB+DC?AC, ×4×3+× 12×5 36 所以需费用: 36×30010800(元) 故答案为: 10800 13解:如图,将正方体展开, 则线段AB即为最短的路线, 设这个正方体的棱长为xcm, ABx 20, x4, 这个正方体的棱长为4cm, 故答案为: 4 14解:如图,在RtABC中,AB4cm,BC4cm, 由勾股定理知,AC4 设AC边上的高的长度为hcm,则AB?BCAC?h, h2(cm) 故答案是: 2 15解:( 1)如图 1,当点D落在BC上时, AB 5,AD3,AC4, BD 4, CD, 则BCBD+CD4+; (2)如图 2,当点D落在BC延长线上时, AB 5,AD3, AC 4, BD 4, CD, 则BCBDCD4; 综上,BC的长的为( 4+)或( 4)cm 16解:作DEAB于E, C90°,AC12,BC5, AB13, 由基本作图可知,AD是CAB的平分线, 在ACD和AED中, , ACDAED(AAS), AEAC12,DEDC, BEABAE1,BD5CD5DE, 在 RtDEB中,DE 2+BE2BD2,即 DE 2+12( 5 DE) 2, 解得,DE, ABD的面积×AB×DE, 故答案为: 17解:由题意:S正方形 A+S正方形 BS正方形 E, S 正方形 DS正方形 CS正方形 E, S正方形A+S正方形BS正方形DS正方形C 正方形B,C,D的面积依次为4,3,9 S正方形A+493, S正方形 A2 故答案为2 18解:连接AC 根据勾股定理可以得到:AB 212+3210, AC 2 BC 212+225, 5+510,即AC 2+BC2AB2, ABC是等腰直角三角形, ABC45° 故答案为: 10,45 三解答题(共7 小题) 19解:( 1)在ABD中, AD 2+BD2122+52169, AB 2 132169, AD 2+BD2 AB 2, ABD是直角三角形,其中ADB90°, ADBC; (2)ADBC, ADC 90°, 在 RtACD中,AD 2+CD2AC2, 即 12 2+CD2152,解得: CD 9或CD 9(舍) 20解:( 1)AB25 米,BE 7 米, 梯子距离地面的高度AE 24 米 答:此时梯子顶端离地面24 米; (2)梯子下滑了4 米,即梯子距离地面的高度CE( 244) 20 米, BD+BEDE15, DE 1578(米),即下端滑行了8 米 答:梯子底端将向左滑动了8 米 21解:( 1)如图,过点F作FMAD于点M, 在EDF中,EDF90°,E60°,DE8, 则DFE30°, 故EF2DE16, DF8, ABEF, FDMDFE30°, 在 RtFMD中,MFDF8×4, 即点F与AD之间的距离为:4; (2)在 Rt FMD中,DM12, C45°,CAB90°, CBA45°, 又FMB90°, FMB是等腰直角三角形, MBFM4, BDMDFM124 22解:根据题意得;AC30 海里,AB 40 海里,BC50 海里; 30 2+402502, ABC是直角三角形,BAC90°, 180° 90° 35° 55°, 乙船的航行方向为南偏东55° 23解:小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等, BCCA 设AC为x,则OC9x, 由勾股定理得:OB 2+OC2BC2, 又OA9,OB3, 3 2+(9 x) 2 x 2, 解方程得出x5 机器人行走的路程BC是 5cm 24解:设运动x秒时,它们相距15cm,则CPxcm,CQ( 21x)cm,依题意有 x 2+(21x)2 152, 解得x19,x212 故运动 9 秒或 12 秒时,它们相距15cm 25定理表述: 直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方 证明:S四边形 ABCDSABE+SAED+SCDE, ×2+, 又S四边形 ABCD, ×2+, (a+b) 22ab+c2, a 2+2ab+b22ab+c2, a 2+b2 c 2

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