人教版八年级数学下册《特殊平行四边形》专题训练习题(含答案).pdf

1 人教版八年级数学下册特殊平行四边形专题训练习题（含答案） 一、选择题 1. 如图 , 在菱形 ABCD 中,AB=5, BCD=120 °, 则 ABC的周长等于 ( ) A.20 B.15 C.10 D.5 答案B 四边形ABCD是菱形 , AB=BC,AB CD, B+BCD=180 °, B=180 ° - BCD=180 ° - 120°=60°, ABC是等边三角形 , 故 ABC的周长 =3AB=15. 2. 如图 , 四边形 ABCD 的对角线互相平分, 要使它变为矩形, 需要添加的条件是( ) A.AB=CD B.AD=BCC.AC=BD D.AB=BC 答案C 可添加 AC=BD, 四边形ABCD的对角线互相平分, 四边形ABCD是平行四边形 , AC=BD, 平行四边形ABCD 是矩形 , 故选 C. 3. 已知 : 如图 , 菱形 ABCD 中 , 对角线 AC与 BD相交于点O,OE DC交 BC于点 E,AD=6 cm,则 OE 的长为 ( ) 2 A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2cm 答案C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分, 所以可以由OE DC证得点 E是 BC 的中点 , 此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE 的长为3 cm. 4. 如图 , 在菱形 ABCD 中,AB=8, 点 E、F 分别在 AB 、AD上 , 且 AE=AF,过点 E作 EG AD交 CD于 点 G,过点 F 作 FHAB交 BC于点 H,EG与 FH交于点 O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长 之差为 12 时 ,AE 的值为 ( ) A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 答案C 设 AE=x,则 EB=8-x, 四边形ABCD是菱形 ,AE=AF,EG AD,FH AB, 四边形AEOF和四边形OHCG 都是菱形 . 四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12, 4x -4(8-x)=12,解得 x=5.5. 故选 C. 5. 如图 , 将一个长为10 cm,宽为 8 cm的矩形纸片先按照从左向右对折, 再按照从下向上的方 向对折两次后, 沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线 ) 剪下 ( 如图1-4- 5), 再打开 , 得到如图 1-4- 5所示的小菱形的面积为( ) A.10 cm 2 B.20 cm 2 C.40 cm 2 D.80 cm 2 答案A 由题意可得AC=5cm, BD=4 cm,故小菱形的面积为×4×5=10(cm 2). 故选 A. 6. 如图 , 正方形ABCD中,E 、F 是对角线AC 上两点 , 连接BE 、BF、 DE 、DF,则添加下列条 3 件 : ABE= CBF;AE=CF; AB=AF; BE=BF. 可 以判 定 四 边 形BEDF 是 菱形 的 条 件 有 ( ) A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个 答案C 连接 BD,交 AC于点 O, 在正方形ABCD中,AB=BC,BAC= ACB,AC BD,OB=OD, 在 ABE与CBF中, ABE CBF(ASA), AE=CF, OA=OC, OE=OF, 又AC BD,四边形BEDF是菱形 , 故正确 . 正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,AE=CF, OE=OF, 又EFBD,BO=OD, 四边形BEDF 是菱形 , 故正确 . 由 AB=AF不能推出四边形BEDF 其他边的关系, 故不能判定它是菱形, 故错误 . 在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,ACBD,BE=BF,EF BD,OE=OF, 四边形BEDF是菱形 , 故正确 . 故选 C. 7. 如图所示 , 在菱形 ABCD中,BEAD,BFCD,E、F 为垂足 ,AE=ED,则 EBF等于 ( ) A.75°B.60°C.50°D.45° 答案B 连接 BD.因为 BE AD,AE=ED,所以 AB=BD.又因为 AB=AD,所以 ABD是等边三角形 , 所以A=60 °,所以ADC=120 °.在四边形BEDF 中, EBF=360 ° - BED-BFD-ADC=360 ° - 90°- 90°- 120°=60°, 故选B. 8. 如图所示 , 矩形纸片 ABCD中,AB=6 cm, BC=8 cm,现将其沿EF对折 , 使得点 C与点 A重合 , 则 AF长为 ( ) 4 A . cm B.cm C.cm D.8 cm 答案B 设 AF=xcm,则 D'F=DF=(8-x)cm, 在 RtAFD'中,(8-x) 2+62=x2, 解得 x= . 9. 如图所示 , 把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角, 为了得到一个钝角为120°的 菱形 , 剪口与第二次折痕所成角的度数应为( ) A.15°或 30°B.30°或 45°C.45°或 60°D.30°或 60° 答案D 画出所剪的图形示意图如图. 四边形ABCD是菱形 , ABD= ABC,BAC=BAD,AD BC, BAD=120 °, ABC=180 °- BAD=180 ° - 120°=60°, ABD=30 °, BAC=60 °. 剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或 60°. 故选 D. 10. 如图 ,E、 F分别是正方形ABCD 的边 CD 、AD上的点 , 且 CE=DF,AE 、BF相交于点O,下列结 论:(1)AE=BF;(2)AEBF;(3)AO=OE;(4)S AOB=S四边形 DEOF, 其中正确的有 ( ) 5 A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 答案B 四边形ABCD为正方形 , AB=AD=DC, D=BAD=90 °, CE=DF, DE=AF, DEA AFB,AE=BF, DEA= AFB, 又 DEA+ DAE=90 °, AFB+DAE=90 °, AOF=90 °, 即AE BF. 由 DEA AFB得 SDEA=SAFB, S DEA-SAOF=SAFB-SAOF, SAOB=S 四边形 DEOF, 所以正确的是(1)(2)(4),共 3 个, 故选 B. 二、填空题 11. 如图 , 菱形ABCD中 , 对角线AC 、 BD 相交于点O,不添加任何辅助线, 请添加一个条 件, 使四边形 ABCD 是正方形 ( 填一个即可 ). 答案AC=BD( 答案不唯一 ) 12. 如图 ,O 是矩形 ABCD的对角线AC的中点 ,M 是 AD的中点 , 若 AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为. 答案20 解析在 Rt ABC中, 由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=AC= , 而 OM是ACD 的中位线 ,所以 OM=CD=, 所以四边形ABOM 的周长为 AB+BO+OM+AM=5+ + +6=20. 6 13. 如图 , 已知矩形 ABCD 的对角线AC与 BD相交于点 O,若 AO=1,那么 BD= . 答案2 解析在矩形ABCD 中,AC 与 BD相交于点O,AO=1,AO=CO=BO=DO=1,BD=2. 14. 如图 , 在矩形 ABCD 中,AB=3, 对角线 AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点 E,则 AD的长 为. 答案3 解析AE垂直平分OB,AB=3, AB=AO=3, 四边形ABCD是矩形 , BO=AO=3, BD=2BO=6, AD=-=-=3. 15. 如图 , 两个完全相同的三角尺ABC和 DEF在直线 l 上滑动 . 要使四边形CBFE 为菱形 ,还需 添加的一个条件是( 写出一个即可). 答案CB=BF( 或 BE CF或EBF=60 °或BD=BF等, 答案不唯一 ) 解 析由 已 知 得CB EF,CB=EF, 四 边 形CBFE 是 平 行 四 边 形 . 因 此 可 以 添 加 CB=BF;BE CF;EBF=60 °BD=BF 等, 都能说明四边形CBFE是菱形 . 16. 如图 , 正方形ABCO的顶点C,A 分别在x 轴,y轴上 ,BC 是菱形BDCE的对角线, 若 D=60 °,BC=2,则点D的坐标是. 7 答案(2+,1) 解析过点 D作 DF x 轴, 垂足为 F, 在正方形 ABCO 中, BCO=90 °, 所以 BCF=90 °, 在菱形 BDCE 中 ,BD=DC,又因为 D=60 °, 所以 BCD 是等边三角形, 因为BC=2,所以CD=2,又 BCD=60 °, 所以 DCF=30 °, 在RtDCF中, 因为 DCF=30 °,CD=2,所以DF= CD=1,由勾股 定理得 CF=, 所以 OF=OC+CF=2+ , 所以点 D的坐标为 (2+,1). 17. 如图，菱形ABCD的面积为120 cm 2, 正方形 AECF的面积为50 cm 2, 则菱形的边长为 cm. 答案13 解析连接 BE,EF,FD,AC, 菱形、正方形为轴对称图形, 对角线所在直线是其对称轴, B,E,F,D在同一条直线上, S正方形 AECF= AC · EF= AC 2=50 cm2, AC=10cm, S 菱形 ABCD= AC · BD=120cm 2, BD=24cm. 设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得ACBD,AO=5cm,OB=12 cm,AB=13 cm. 18. 如图 , 在菱形 ABCD 中, BAD=120 °, 点 E、F 分别在边 AB、 BC上, BEF与GEF关于直线 8 EF对称 , 点 B的对称点是点G,且点 G在边 AD上. 若 EG AC,AB=6, 则 FG的长为. 答案3 解析设 AC与 EG相交于点 O, 四边形ABCD是菱形 , BAD=120 °, EAC= DAC=60 °, B=60 °,AB=BC. ABC是等边三角形 . 又AB=6, ABC的面积为18. 菱形 ABCD 的面积为 36, EG AC, AOE= AOG=90 °. AGE=90 ° - 60°=30°. BEF与GEF关于直线EF对称 , 点 B的对称点是点G, EGF= B=60 °, AGF= EGF+ AGE=90 °. FG AD, FG= 菱形 =3. 三、解答题 19. 如图 , 在菱形 ABCD 中, 对角线 AC 、BD相交于点O,过点 D作对角线 BD的垂线交BA的延长 线于点 E. (1) 证明 : 四边形 ACDE 是平行四边形; (2) 若 AC=8,BD=6,求ADE的周长 . 9 答案(1) 证明: 四边形ABCD 是菱形 , AB CD,AC BD, AE CD,AOB=90 °, 又DE BD,即EDB=90 °, AOB= EDB. DE AC. 四边形ACDE是平行四边形 . (2) 四边形ABCD是菱形 ,AC=8,BD=6, AO=4,DO=3, AD=CD=5. 又四边形ACDE是平行四边形 , AE=CD=5,DE=AC=8. ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18. 20. 如图 , 在ABC中, BAC=90 °,AD 是中线 ,E 是 AD的中点 , 过点 A作 AF BC交 BE的延长 线于 F, 连接 CF. (1) 求证 :AD=AF; (2) 如果 AB=AC, 试判断四边形ADCF的形状 , 并证明你的结论. 答案(1) 证明: AF BC, EAF= EDB, E 是 AD的中点 , AE=DE, 在 AEF和DEB中, 10 AEF DEB(ASA), AF=BD, 在 ABC中, BAC=90 °,AD 是中线 , AD=BD=DC= BC,AD=AF. (2) 四边形 ADCF是正方形 . AF=BD=DC,AF BC, 四边形ADCF是平行四边形 , AB=AC,AD是中线 , AD BC, AD=AF, 四边形ADCF是正方形 . 21. 如图 , 在正方形 ABCD 中, 点 E、F 分别在边AB 、BC上, ADE= CDF. (1) 求证 :AE=CF; (2) 连接 DB交 EF于点 O,延长 OB至点 G,使 OG=OD, 连接 EG 、 FG,判断四边形DEGF 是否为菱形 , 并说明理由 . 答案(1) 证明 : 在正方形ABCD 中,AD=CD,A=C=90 °, 在 ADE和CDF中, ADE CDF(ASA), AE=CF. (2) 四边形 DEGF 是菱形 . 理由如下 :在正方形ABCD中,AB=BC, AE=CF, 11 AB-AE=BC-CF,即 BE=BF, BD垂直平分EF, OE=OF, 又OG=OD, 四边形DEGF为平行四边形 , ADE CDF, DE=DF, 四边形DEGF是菱形 . 22. 如图 ,ABCD,点 E、F 分别在 AB、CD上, 连接 EF.AEF 、CFE的平分线交于点G,BEF 、 DFE的平分线交于点H. (1) 求证 : 四边形 EGFH 是矩形 ; (2) 小明在完成 (1) 的证明后继续进行了探索. 过 G作 MN EF,分别交 AB 、 CD于点 M 、N, 过 H 作 PQ EF,分别交 AB 、CD于点 P、Q,得到四边形MNQP. 此时 , 他猜想四边形MNQP 是菱形 . 请 在下列框图中补全他的证明思路. 答案(1) 证明: EH 平分 BEF, FEH= BEF. FH 平分 DFE, EFH= DFE. 12 AB CD, BEF+ DFE=180 °, FEH+ EFH=( BEF+ DFE)= ×180°=90°, 又 FEH+ EFH+ EHF=180 °, EHF=180 ° -( FEH+ EFH)=180 ° - 90°=90°. 同理可证 ,EGF=90 °. EG平分 AEF, FEG=AEF. EH平分 BEF, FEH=BEF. 点 A、 E 、B在同一条直线上, AEB=180 °, 即 AEF+ BEF=180 °. FEG+ FEH=( AEF+ BEF)= ×180°=90°, 即GEH=90 °. 四边形EGFH是矩形 . (2) 本题答案不唯一, 下面答案供参考. 例如 ,FG 平分 CFE;GE=FH; GME= FQH;GEF= EFH. 23. 已知 E,F 分别为正方形ABCD 的边 BC,CD上的点 ,AF,DE 相交于点 G,当 E,F 分别为边BC,CD 的中点时 ,有: AF=DE; AF DE成立 . 试探究下列问题: (1) 如图 , 若点E不是边 BC的中点 ,F 不是边 CD的中点 , 且 CE=DF,上述结论 , 是否仍然 成立 ?( 请直接回答 “ 成立 ” 或“ 不成立 ” , 不需要证明 ) (2) 如图 , 若点 E,F 分别在 CB的延长线和DC的延长线上 , 且 CE=DF, 此时 , 上述结论 , 是 否仍然成立 ?若成立 , 请写出证明过程,若不成立 , 请说明理由 ; (3) 如图 , 在 (2) 的基础上 , 连接 AE和 EF,若点 M,N,P,Q 分别为 AE,EF,FD,AD 的中点 , 请判断 四边形 MNPQ 是“ 矩形、菱形、正方形” 中的哪一种 , 并证明你的结论. 13 答案(1) 成立 . (2) 仍然成立 . 证明: 四边形ABCD 为正方形 , AD=DC, BCD= ADC=90 °. 在 ADF和DCE中, ADF DCE(SAS), AF=DE, FAD= EDC, ADG+ EDC=90 °, ADG+ DAF=90 °, AGD=90 °, 即AF DE. (3) 四边形 MNPQ 是正方形 . 证明 : 如图 , 设 MQ,DE分别交 AF于点 G,O,PQ交 DE于点 H, 点 M,N,P,Q 分别为 AE,EF,FD,AD 的中点 , MQ=PN= DE,PQ=MN= AF,MQ DE,PQ AF, 14 四边形OHQG 是平行四边形 , AF=DE, MQ=PQ=PN=MN, 四边形MNPQ 是菱形 , AF DE, AOD=90 °, HQG= AOD=90 °, 四边形MNPQ 是正方形 .