数学必修五选修21知识点总结归纳.pdf

必修五知识点总结归纳 （一）解三角形 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外 接圆的半径，则有2 sinsinsin abc R C 正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2 sincRC； sin 2 a R ，sin 2 b R ，sin 2 c C R ； :sin:sin:sina b cC； sinsinsinsinsinsin abcabc CC 2、三角形面积公式： 111 sinsinsin 222 C SbcabCac 3、余弦定理：在C中，有 222 2cosabcbc， 222 2cosbacac， 222 2coscababC 4、余弦定理的推论： 222 cos 2 bca bc ， 222 cos 2 acb ac ， 222 cos 2 abc C ab (二)数列 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 2、数列的项：数列中的每一个数 3、有穷数列：项数有限的数列 4、无穷数列：项数无限的数列 5、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列 1 0 nn aa 6、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列 1 0 nn aa 7、常数列：各项相等的数列 8、摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 9、数列的通项公式：表示数列 n a的第n项与序号n之间的关系的公式 10、数列的递推公式：表示任一项 n a与它的前一项 1n a （或前几项）间的关系的公式 11、如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称 为等差数列，这个常数称为等差数列的公差 12、由三个数 a， ，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的 等差中项若 2 ac b，则称b为a与c的等差中项 13、若等差数列 n a的首项是 1 a，公差是d，则 1 1 n aand 14、通项公式的变形： nm aanm d； 1 1 n aand； 1 1 n aa d n ； 1 1 n aa n d ； nm aa d nm 15、若 n a是等差数列， 且mnpq（m、n、p、 * q） ，则 mnpq aaaa； 若 n a是等差数列，且2npq（n、p、 * q） ，则2 npq aaa 16、等差数列的前n项和的公式： 1 2 n n n aa S； 1 1 2 n n n Snad 17、等差数列的前n项和的性质：若项数为 * 2n n，则 21nnn Sn aa，且 SSnd 偶奇 ， 1 n n S a Sa 奇 偶 若项数为 * 21nn，则 21 21 nn Sna，且 n SSa 奇偶 ， 1 S n Sn 奇 偶 （其中 n Sna 奇 ，1 n Sna 偶 ） 18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称 为等比数列，这个常数称为等比数列的公比 19、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比项 若 2 Gab，则称G为a与b的等比中项注意：a与b的等比中项可能是G 20、若等比数列 n a的首项是 1 a，公比是q，则 1 1 n n aa q 21、通项公式的变形： n m nm aa q nm n m a q a 22、若 n a是等比数列，且mnpq（m、n、p、 * q） ，则mnpqaaaa； 若 n a是等比数列，且2npq（n、p、 * q） ，则 2 npq aaa 23、等比数列 n a的前n项和的公式： 1 1 1 1 1 1 11 n n n naq S aq aa q q qq 24、等比数列的前n项和的性质：若项数为 * 2n n，则 S q S 偶 奇 n n mnm SSqS n S， 2nn SS， 32nn SS成等比数列（0 n S） （三）不等式 1、0abab；0abab；0abab 2、不等式的性质：abba； ,ab bcac；abacbc； ,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd； 0,0abcdacbd；0,1 nn ababnn； 0,1 nn abab nn 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式 2 4bac000 二次函数 2 yaxbxc 0a的图象 一元二次方程 2 axbx 0c0a的根 有两个相异实数根 1,2 2 b x a 12 x x 有两个相等实数根 12 2 b xx a 没有实数根 一元二次 不等式的 解集 2 0axbxc 0a 12 x xxxx或 2 b x x a R 2 0axbxc 0a 12 x xxx 若二次项系数为负，先变为正 5、设a、b是两个正数，则 2 ab 称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的 几何平均数 6、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即 2 ab ab 7、常用的基本不等式： 22 2,abab a bR； 22 , 2 ab aba bR； 2 0,0 2 ab abab ； 2 22 , 22 abab a bR 8、极值定理：设x、y都为正数，则有 若xys（和为定值） ，则当xy时，积xy取得最大值 2 4 s 若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p 知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、 “若 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两 个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ，则 q ” ，它的逆命题为“若 q ，则 p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的 否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ，则 q ” ，则它的否命题为“若 p ，则 q ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的 否定， 则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆 否命题 . 若原命题为“若 p ，则 q ” ，则它的否命题为“若 q ，则 p ”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的 真假性之间 的关系： 1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 7、若 pq ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 若 pq，则p 是 q 的充要条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 pq 当 p 、 q 都是真命题时， pq 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， pq 是假命题 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 pq 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时， pq 是真命题；当 p 、q两个命题都是假 命题时， pq是假命题 对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作 p 若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真真 假假假假 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题“对中任意一个 x，有 p x 成立” ，记作“ x ， p x ” 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在中的一个 x，使 p x 成立” ，记作“ x ， p x ” 10、全称命题 p ： x ， p x ，它的否定 p ： x ， p x 全称命题的否定 是特称命题 11、平面内与两个定点 1 F ， 2 F 的距离之和等于常数（大于 12 F F ）的点的轨迹称为椭 圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围 axa且 byb bxb且 aya 顶点 1 ,0a 、 2 ,0a 1 0, b 、 2 0,b 1 0, a 、 2 0,a 1 ,0b 、 2 ,0b 轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点 1 ,0Fc 、 2 ,0Fc 1 0,Fc 、 2 0,Fc 焦距 222 12 2F Fc cab 对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 离心率 2 2 101 cb ee aa 14、平面内与两个定点 1 F ， 2 F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 12 F F ）的点的轨 迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距 15、双曲线的几何性质： 焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 22 22 10,0 xy ab ab 22 22 10,0 yx ab ab 范围 xa或xa， yRya 或 ya ，xR 顶点 1 ,0a 、 2 ,0a 1 0, a 、 2 0,a 轴长 虚轴的长 2b 实轴的长 2a 焦点 1 ,0Fc 、 2 ,0Fc 1 0,Fc 、 2 0,Fc 焦距 222 12 2F Fc cab 对称性 关于 x轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa 渐近线方程 b yx a a yx b 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 18、平面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称 为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、两点的线段，称为抛物线的 “通径”，即 2p 20 、 焦 半 径 公 式 ： 若 点 00 ,xy 在 抛 物 线 2 20ypx p 上 ， 焦 点 为F， 则 0 2 p Fx ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20ypx p 上，焦点为F，则 0 2 p Fx ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20xpy p 上，焦点为 F，则 0 2 p Fy ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20xpy p 上，焦点为 F ，则 0 2 p Fy 21、抛物线的几何性质： 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点0,0 对称轴x 轴 y 轴 焦点, 0 2 p F, 0 2 p F0, 2 p F0, 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率 1e 范围 0x0x0y0y 23、空间向量的加法和减法： 1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行 四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已 知向量 a、b 为邻边作平行四边形 C ， 则以起 点的对角线 C就是a与b的和，这种求向量和的方法， 称为向量加法的平行四边形法则 2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角 形法则 即：在空间任取一点， 作 a ， b ， 则 ab 24、实数 与空间向量 a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a 与a方向相同；当 0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0 a 的长度是 a的长度的 倍 25、设 ，为实数， a，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分配律： abab ；结合律： aa 26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平 行向量，并规定零向量与任何向量都共线 27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a， 0b b ， /ab的充要条件是存 在实数，使 ab 28、平行于同一个平面的向量称为共面向量 29、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对x ， y ， 使 xyC ；或对空间任一定点，有 xy C ；或若四点， ，C共面，则 1xyz C xyz 30、已知两个非零向量 a和b ，在空间任取一点，作 a ， b ，则称 为向量 a，b的夹角，记作 ,a b 两个向量夹角的取值范围是： ,0,a b 31、对于两个非零向量 a和b，若 , 2 a b ，则向量 a，b互相垂直，记作ab 32、已知两个非零向量 a和b ，则 cos,a ba b 称为 a，b 的数量积，记作 a b 即 cos,a ba ba b 零向量与任何向量的数量积为 0 33、 a b 等于 a的长度 a 与b在 a的方向上的投影 cos,ba b 的乘积 34、若 a，b 为非零向量， e为单位向量，则有 1cos,e aa eaa e ； 2 0aba b ； 3 a bab a b a bab 与 同向 与 反向 ， 2 a aa ， aa a ； 4 cos, a b a b a b ； 5 a ba b 35、向量数乘积的运算律： 1 a bb a； 2 aba bab ； 3 abca cb c 36、若 i ， j ，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量 p ，存在有序实数组 , ,x y z ，使得 pxiyjzk ，称 xi ， yj ， zk 为向量 p 在i， j ，k上的分量 37、空间向量基本定理：若三个向量 a，b，c不共面，则对空间任一向量 p ，存在实数 组 , ,x y z ，使得 pxaybzc 38、若三个向量 a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是 , ,p pxaybzc x y zR 这个集合可看作是由向量 a，b ，c生成的， , ,a b c 称为空间的一个基底， a，b ，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可 以构成空间的一个基底 39、设 1 e ， 2 e ， 3 e 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底）， 以 1 e ， 2 e ， 3 e 的公共起点为原点，分别以 1 e ， 2 e ， 3 e 的方向为 x 轴， y 轴， z轴的正 方向建立空间直角坐标系 xyz 则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移，使它 的 起 点 与 原 点重 合 ， 得 到 向 量 p 存 在 有 序 实 数 组 , ,x y z ， 使 得 123 pxeyeze 把 x ， y ，z称作向量 p 在单位正交基底 1 e ， 2 e ， 3 e 下的坐标， 记作 , ,px y z 此时，向量 p 的坐标是点在空间直角坐标系 xyz中的坐标 , ,x y z 40、设 111 ,ax y z ， 222 ,bxyz ，则 1 121212 ,abxxyyzz 2 121212 ,abxxyy zz 3 111 ,axyz 4 121212 a bx xy yz z 5 若 a 、 b 为非零向量，则 1212 00aba bx xy yz z 6 若 0b ，则 121212 /,ababxxyy zz 7 222 111 aa axyz 8 121212 222222 111222 cos, x xy yz za b a b a b xyzxyz 9 111 ,xy z ， 222 ,xyz ，则 222 212121 dxxyyz 41、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表 示向量称为点的位置向量 42、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点以及一个定方向确定点是直 线l上一点，向量 a表示直线l 的方向向量，则对于直线 l上的任意一点 ，有 ta ， 这样点和向量 a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点 43、空间中平面 的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 a，b 为平面上任意一点，存在有序实数对 , x y ，使 得 xayb ，这样点与向量 a，b就确定了平面 的位置 44、直线 l垂直 ，取直线 l的方向向量a，则向量a称为平面 的法向量 45、若空间不重合两条直线 a ，b的方向向量分别为 a，b ，则 /abab abR ， 0ababa b 46、若直线 a的方向向量为a，平面 的法向量为 n，且a ，则 /aa 0ana n ， /aaanan 47、若空间不重合的两个平面 ，的法向量分别为 a，b ，则 /ab ab， 0aba b 48、设异面直线 a ，b的夹角为，方向向量为 a，b，其夹角为 ，则有 coscos a b a b 49、设直线 l的方向向量为l ，平面的法向量为 n，l与 所成的角为，l与n的夹角 为，则有 sincos ln l n 50、设 1 n ， 2 n 是二面角 l 的两个面，的法向量，则向量 1 n ， 2 n 的夹角（或 其 补 角 ） 就 是 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 若 二 面 角 l 的 平 面 角 为， 则 12 12 cos n n n n 51、点 与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算 53、点是平面外一点，是平面内的一定点， n为平面 的一个法向量， 则点 到平面的距离为 cos, n dn n