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高中均值不等式讲解及习题 一均值不等式 1.（1）若Rba,，则abba2 22 (2)若Rba,，则 2 22 ba ab（当且仅当 ba时取“ = ”） 2. (1)若 * ,Rba，则ab ba 2 (2)若 * ,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“ = ” ） (3)若 * ,Rba，则 2 2 ba ab(当且仅当 ba时取“= ” ） 3.若 0x，则 1 2x x (当且仅当1x时取“= ” ）;若0x，则 1 2x x (当且仅当1x时取“ = ” ） 若0x，则 111 22-2xxx xxx 即或(当且仅当 ba时取“ = ” ） 3.若 0ab，则 2 a b b a (当且仅当 ba时取“ = ” ） 若 0ab，则 22-2 ababab bababa 即或(当且仅当ba时取“ = ” ） 4.若Rba,，则 2 ) 2 ( 22 2 baba （当且仅当 ba时取“= ” ） 注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小 值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1）y3x 2 1 2x 2（2）yx 1 x 解： （1）y3x 2 1 2x 223x 2 1 2x 26 ?值域为6 ，+） （2）当 x0 时，yx 1 x 2x 1 x 2； 当 x0 时， yx 1 x = （x 1 x ） 2x 1 x = 2 ?值域为（，22，+） 解题技巧： 技巧一：凑项 例 1：已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值。 解：因4 50x，所以首先要“调整”符号，又 1 (42) 45 x x 不是常数，所以对 42x要进行拆、凑项， 5 ,540 4 xx， 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x ，即 1x时，上式等号成立，故当1x时， max 1y。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。 解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但 其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值，故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。 当，即 x2 时取等号当 x2 时，(82 )yxx的最大值为 8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设 2 3 0x，求函数)23(4xxy的最大值。 解： 2 3 0x?023x? 2 9 2 232 2)23(22)23(4 2 xx xxxxy 当且仅当,232xx即 2 3 ,0 4 3 x时等号成立。 技巧三：分离 例 3. 求 2 710 (1) 1 xx yx x 的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。 当,即时, 4 21)59 1 yx x （当且仅当 x1时取“”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ） 当,即 t=时, 4 259yt t （当 t=2 即 x1时取“”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化 为 ( )(0,0) ( ) A ymg xB AB g x ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( ) a f xx x 的单调性。 例：求函数 2 2 5 4 x y x 的值域。 解：令 2 4(2)xt t，则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ，但 1 t t 解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 yt t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 5 2 y。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 。 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） 2 31,( 0) xx yx x （2） 1 2,3 3 yxx x (3) 1 2sin,(0,) sin yxx x 2已知0 1x，求函数(1)yxx 的最大值 .；3 2 0 3 x，求函数(2 3 )yxx 的最大值 . 条件求最值 1.若实数满足 2ba，则 ba 33的最小值是. 分析： “和”到“积”是一个缩小的过程，而且 ba 33定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： ba 33 和都是正数， ba 33 632332 baba 当 ba 33时等号成立，由2ba及 ba 33得1ba即当1ba时， ba 33的最小值是 6 变式：若 44 loglog2xy，求 11 xy 的最小值 .并求 x,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 2：已知0,0xy，且 19 1 xy ，求xy的最小值。 错解 ：0,0xy，且 19 1 xy ， 199 2212xyxyxy xyxy 故 min 12xy。 错因： 解法中两次连用均值不等式， 在2xyxy等号成立条件是xy， 在 1 99 2 x yx y 等号成立条件是 19 xy 即9yx, 取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤， 而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解： 19 0,0,1xy xy ， 199 1061016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时，上式等号成立，又 19 1 xy ，可得4,12xy时， min 16xy。 变式： （1）若Ryx,且12yx，求 yx 11 的最小值 (2)已知Ryxba,且 1 y b x a ，求 yx 的最小值 技巧七、已知x，y为正实数，且x 2y 2 2 1，求x1y 2 的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab a 2 b 2 2 。 同时还应化简1y 2 中y 2 前面的系数为 1 2 ，x1y 2 x2 1y 2 2 2 x 1 2 y 2 2 下面将x， 1 2 y 2 2 分别看成两个因式： x 1 2 y 2 2 x 2( 1 2 y 2 2 ) 2 2 x 2y 2 2 1 2 2 3 4 即x1y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4 2 技巧八：已知a，b为正实数， 2baba30，求函数y 1 ab 的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本 不等式求解， 对本题来说， 这种途径是可行的； 二是直接用基本 不等式，对本题来说， 因已知条件中既有和的形式， 又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a302b b1 ，ab302b b1 b 2 b 230 b b1 由a0 得，0b15 令tb+1，1t16，ab2 t 234t 31 t 2（t16 t ）34t 16 t 2t 16 t 8 ?ab18 ?y 1 18 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。 法二：由已知得： 30aba2ba2b22 ab?30ab22 ab 令uab则u 2 22 u300， 52 u32 ?ab32 ，ab18，?y 1 18 点 评 ： 本 题 考查 不等 式ab ba 2 ）（Rba,的 应 用、 不 等 式的 解 法 及运 算 能 力； 如何 由 已 知不 等 式 230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式ab ba 2 ）（Rba,， 这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围 . 变式： 1.已知a0 ，b0 ，ab(ab)1，求ab的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数， 3x2y10，求函数 W3x2y的最值 . 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ab 2 a 2b 2 2 ，本题很简单 3x2y2 （3x） 2（ 2y） 2 2 3x2y25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值” 条件靠拢。 W0，W 2 3x2y23x2y1023x2y10(3x) 2 (2y) 2 10(3x2y)20 ?W20 25 变式: 求函数 15 2152 () 22 yxxx的最大值。 解析：注意到 21x 与5 2x的和为定值。 22 (2152 )42(21)(52 )4(21)(52 )8yxxxxxx 又0y，所以02 2y 当且仅当21x=52x，即 3 2 x时取等号。故 max 2 2y。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条 件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1已知 cba, 为两两不相等的实数，求证：cabcabcba 222 1）正数a，b，c满足abc1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc 例 6：已知 a、b、c R，且1abc。求证： 111 1118 abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 112 1 abcbc aaaa ， 可由此变形入手。 解：a、b、cR，1abc。 112 1 abcbc aaaa 。同理 12 1 ac bb ， 12 1 ab cc 。上述三个不等式两边均为正， 分别相乘，得 111222 1118 bcacab abcabc 。当且仅当 1 3 abc时取等号。 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0xy且 19 1 xy ，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 解：令,0,0,xyk xy 19 1 xy ， 99 1. xyxy kxky 109 1 yx kkxky 103 12 kk 。16k，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若) 2 lg(),lg(lg 2 1 ,lglg, 1 ba RbaQbaPba，则RQP,的大小关系是. 分析： 1ba?0lg,0lgba 2 1 Q（ pbabalglg)lglg Qabab ba Rlg 2 1 lg) 2 lg(? RQP 。 2010 年高考均值不等式求最值聚焦 最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用十分广泛的方法 之一下面笔者以 2010年高考试题为题材， 对高考中考查利用均值不等式求最值问题的基本特征和基本类型作一些 分类解析，供参考。 一、基础题型。 1.直接利用均值不等式求解最值。 例 1： （2010 年高考山东文科卷第14 题）已知 ,x yR，且满足1 34 xy ，则xy的最大值为_。 解：因为x0 ，y0，所以2 343 43 xyx yxy (当且仅当 34 xy ，即x=6，y=8 时取等号 )，于是1 3 xy ， 3.xy，故 xy的最大值位 3. 2 通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。 例 2： （2010 年高考四川文科卷第11题）设0ab ，则 2 11 a aba ab 的最小值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解： 2 11 a aba ab w 2 11 () aabab aba ab 11 () () aba ab aba ab 224 当且仅当ab1，a(ab)1时等号成立，如取a 2,b 2 2 满足条件。 故选择答案D 二、转化题型 1.和积共存的等式，求解和或积的最值。 例 3：（2010 年高考重庆理科卷第7 题）已知x0 ，y0 ，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（） A. 3 B. 4 C. 9 2 D. 11 2 解： 因为x0 ，y0 ，所以 2 2 2 8)2(82 yx yxyx， 整理得032242 2 yxyx 即08242yxyx，又 02yx ， 42 yx 等号当且仅当 22xy 时成立，故选择答案B。 变式： 因为x0 ，y0 ，所以因为x0 ，y0 ，所以2822 2xyxyxy， 整理得24 0xyxy，即2 22xy，所以 2xy 等号当且仅当 22xy时成立，故xy的最大值为 2. 2.分式型函数（ 二次一次二次 、 一次二次二次 ）求解最值。 例 4： （2010 年高考江苏卷第 14题）将边长为 1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是 梯形，记S= 梯形的面积 梯形的周长） 2 ( ,则S的最小值是 _。 解：设剪成的小正三角形的边长为 x，则 22 2 (3)4(3) 1133 (1)(1) 22 xx S x xx 令 2 2 (3) ( )(01) 1 x f xx x ，则 2 22 69610 ( )1 11 xxx f x xx 令 35,(25)txt ，则 22 2 61021818 516 11016 1()()10 3 xtt t xtt t t 因为25t，所以 1616 28tt tt ，等号当且仅当t=4，即 1 3 x时成立。 所以 16 t t 最小值为 8 故 2 2 69 ( ) 1 xx fx x 的最小值为 8，S的最小值是 323 3 。 例 5：（2010 年高考全国卷第11题） 已知圆O的半径为 1，PA、 PB为该圆的两条切线，A、 B为两切点，那么PAPB 的最小值为（） (A) 42 (B) 32 (C) 42 2 (D) 32 2 解：如图所示：设PA=PB= x(0)x, APO=，则APB=2，PO= 2 1x ， 2 1 sin 1x ， | |cos2PA PBPAPB= 22 (1 2sin)x= 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ， 令PAPBy，则 42 2 1 xx y x ，令 2 1,0txt， 则 22 (1)(1)322 32 23 tttt yt ttt P A B O 例 5 图 等号当且仅当 2 t t ，即 2t时成立。 故 min()32 2PA PB .此时 21x .，选择答案 D。 练习： 2.（2010 年高考山东理科卷第14 题）若对任意0x， 2 31 x a xx 恒成立，则 a的取值范围是。 答案： 1 5 a 解：因为 0x，所以 1 2x x （当且仅当x=1时取等号），所以有 2 111 1 31235 3 x xx x x ，即 2 31 x xx 的最大值为 1 5 ，故 1 5 a。 3.（2010 年高考重庆文科卷第12 题）已知t o,则函数 2 t41t y t 的最小值为 答案： 2 解： 2 411 42(0) tt ytt tt ，当且仅当1t时， min 2y. 4.（2010 年高考浙江文科卷第15 题）若正实数x，y满足 26xyxy，则xy的最小值是。 （变式：求 2x+y的最小值为 _） 答案： 18 解：因为x0 ，y0 ，所以62262xyyxxy， 2 260xyxy，解得3 22xyxy或（舍） 等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故xy的最小值为 18。 变式答案： 12 解：因为x0 ，y0 ，所以 21 2 26() 22 xy xyxy 整理得 2 (2)8(2)480xyxy，解得21224(xyxy或舍） 等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x+y的最小值为 12。