高中数学1.3《正弦定理、余弦定理的应用(2)》教案苏教版必修5.pdf

1 第 6 课时：§ 1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2） 【三维目标】： 一、知识与技能 1. 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际 问题 2. 能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问 题； 二、过程与方法 本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的 问题 三、情感、态度与价值观 1. 让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、 应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 2. 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神 【教学重点与难点】： 重点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题 难点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题 【学法与教学用具】 ： 1. 学法 ：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用， 这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借 助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。 2. 教学用具 ：直尺、多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1 课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 总结解斜三角形的要求和常用方法： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： 已知两角和任一边，求其它两边和一角； 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角. （2）应用余弦定理解以下两类三角形问题： 已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角. 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 （教材 21 P第 7 题）如图，有两条相交成60角的直线XX、YY，交点是O， 甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3千米，乙离O点1千米，后来两人同时 用每小时4千米的速度， XX Y B Q P OA 2 甲沿XX方向，乙沿YY方向步行， （1）起初，两人的距离是多少？ （2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解： （1）设甲、乙两人起初的位置是A、B， 则 222 2cos60ABOAOBOA OB 22 1 3123 17 2 ，起初，两人的距离是7 （2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是PQ、，则4APt，4BQt， 当 3 0 4 t时， 2222 (34 )(1 4 )2(34 )(14 )cos6048247PQtttttt； 当 3 4 t时， 2222 (43)(14 )2(43)(14 )cos12048247PQtttttt， 所以， 2 48247PQtt （3） 222 1 4824748()4 4 PQttt，当 1 4 t时，即在第15分钟末，PQ 最短。 答：在第15分钟末，两人的距离最短。 例 2（教材 19 P例 3）作用在同一点的三个力 123 ,FFF平衡 . 已知 1 30FN， 2 50FN， 1 F与 2 F之 间的夹角是60，求 3 F的大小与方向（精确到0.1）. 解： 3 F应和 12 ,FF合力F平衡，所以 3 F和F在同一直线上，并且 大小相等，方向相反. 如图 1-3-3 ，在 1 OF F中，由余弦定理，得 22 30502 30 50cos12070FN. 再由正弦定理，得 1 50sin1205 3 sin 7014 F OF，所以 1 38.2F OF，从而 13 141.8FOF. 答 3 F为70N， 3 F与 1 F之间的夹角是141.8. 本例是正弦定理、 余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出OF， 图 1-3-3 3 再根据正弦定理求出 1 FOF. 例 3（教材 19P例 4）如图1-3-4 ，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，2OA，B为半 圆上任意一点，以 AB为一边作等边三角形ABC. 问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 分析： 四边形的面积由点B的位置唯一确定，而点B由AOB唯一确定， 因此可设AOB，再用的 三角函数来表示四边形 OACB的面积 . 解：设AOB. 在AOB中，由余弦定理，得 222 122 1 2cos54cosAB. 于是，四边形OACB的面积为 AOBABC SSS 2 13 sin 24 OA OBAB 13 2 1 sin54cos 24 5 sin3 cos3 4 5 2sin3 34 . 因为0，所以当 32 时， 5 6 ，即 5 6 AOB时， 四边形OACB的面积最大 . 对于本例， 教学中可引导学生分析得到四边形 OACB的面积随着AOB 的变化而变化 . 这样将四 边形OACB的面积表示成的函数，利用三角形的有界性求出四边形OACB面积的最大值. 三、巩固深化，反馈矫正 教材 20 P第 1，2 题 四、归纳整理，整体认识 由学生总结本节课的内容 五、承上启下，留下悬念 六、板书设计（略） 七、课后记： 图 1-3-4