2015年新苏教版六年级数学下册教材分析.pdf

苏教版六年级数学下册教材分析 一、主要的调整与变化 （一） 新增选择统计图的内容，删去众数和中位数 根据本套教材 “统计与概率” 部分教学内容的整体设计， 本册教材教学扇形 统计图和选择统计图。 与实验教材相比， 主要有两点变化： 一是考虑到在用统计 知识解决问题的过程中， 往往要根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统 计图，以准确、有效地表示数据。教材在扇形统计图教学之后，体会选择统计图 描述数据的过程与方法， 增强数据分析观念。 二是由于数学课程标准不再要求学 生认识众数和中位数， 且学生在现阶段很难弄清平均数、众数和中位数的联系与 区别，本次修订删去了实验教材中众数和中位数的内容。 （二）前移转化的策略，增设选择策略解决问题的内容 首先，转化的策略是数学学习中应用最为广泛的策略，且在六年级上册学习 分数、百分数实际问题时， 经常需要运用转化的策略解决问题。适当前置转化的 策略，可以为学生提供更多的运用策略的机会，促使他们在解决问题的过程中更 深刻地体验转化策略的实际价值， 提高运用策略的自觉性。 因此，本套教材把“转 化的策略”安排在五年级下册教学。其次，解决问题时，一般不会单纯、机械地 套用既有的经验和模式， 而要根据已知信息， 灵活运用已经积累起来的经验和方 法，尝试把新问题转化成熟悉的问题，或把复杂问题转化成简单问题，进而找到 解决问题的方法。为此，教材在六年级下册增设“选择策略解决问题”的内容， 引导学生在运用策略解决问题的过程中，感受解题策略的多样性以及选择策略的 灵活性，形成相应的策略意识。 （三）合理整合“综合与实践”部分的内容 本次修订，对实验教材中 “综合与实践” 部分的内容进行了精心筛选与重新 整合。全册共安排了三次活动， 分别是结合具体教学内容安排的 大树有多高 ， 以及在总复习单元安排的制订旅游计划和绘制平面图。其中，大 树有多高由实验教材六年级上册移来， 主要引导学生综合运用比例等有关知识 解决问题； 制订旅游计划由实验教材中的旅游费用的预算改编而成，主 要引导学生综合运用 “数与代数”“统计与概率” 部分知识，解决旅游行程规划、 旅游费用预算等问题； 绘制平面图是新编的内容，主要引导学生通过测量和 计算，绘制简单的平面图。 此外，教材还前移了实验教材中 百分数的应用 单元，安排在六年级上册； 增设了“探索规律”的活动面积的变化，主要引导学生探索和发现平面 图形按比例放大后，面积的变化规律。 各单元教材分析 一、扇形统计图 内容： 本单元主要教学扇形统计图和选择统计图， 变化： 删去众数和中位数，增设选择统计图描述数据 修订的重点在选择统计图描述数据上，主要有两点变化 第一，注重以现实问题为背景， 引导学生在具体的活动中体验各种统计图的 不同特点，体会选择统计图的实际意义， 教材呈现了一组反映同学们课外阅读兴 趣和习惯的统计图（见例2）同时设计了一组富有启发性的问题，引导学生体会 不同统计图的特点和作用， 感受到选择合适的统计图能更有效地描述数据，更便 于数据分析。数据分析时，要让学生透过现象本质，读出一些信息。 第二，引导学生在解决问题的过程中， 感受选择统计图描述数据的过程和方 法 。教材十分重视引导学生经历用统计知识和方法解决问题的过程，并在这一 过程中逐步认识到统计图的选择，既要清楚反映表示数据的特点， 又要有效说明 所要解决的问题，例如，教材第8 页的第 7 题，在提出问题的同时，呈现了四项 调查内容，让学生选择一项设计调查表，展开调查和统计活动。这一过程中，由 于所选择的调查内容不同，收集、整理、描述数据的过程也可能不同。这就为学 生自主经历数据分析的全过程提供了充裕的时间和空间，有利于学生体验选择合 适的统计图表示数据的过程， 感受合适的统计图在分析数据过程中的作用，发展 数据分析观念。 教学建议 小学数学不要求制作扇形统计图。因为制作扇形统计图需要扇形的知识，要 计算扇形的圆心角， 而小学数学只简单认识扇形，不教学画扇形， 所以小学生不 具备制作扇形统计图的知识与能力。 1. 看懂扇形图，利用数据解决问题。 例 1 教材采用直接呈现的方式，引出扇形统计图，是由于两点原因：一是不 教学制作扇形图， 没有必要呈现扇形图的形成过程。二是学生能够看懂扇形图里 的信息，不需要给予其他帮助。在呈现扇形统计图以后，教学分两步进行。 第一步，看图，交流 , 理解图里的信息。让学生说出图中的五个百分数，并 且根据五个百分数的大小关系以及扇形统计图里五个扇形的大小，看出山地面积 最大，丘陵面积最小。体会每一个百分数的意义， 明白我国陆地总面积是单位 “1” 的数量，整个圆表示我国陆地的总面积。 明白扇形统计图是分别表示每种地形的 面积占总面积的百分之几。 学生看到、 想到并说出上述内容， 就初步认识了扇形 统计图。 第二步，计算、填表，体会图的特点。例题告诉学生，我国国土总面积是 960 万平方千米，让他们算出各类地形的面积分别是多少。计算要利用图中的各 个百分数，从而体会扇形统计图表示的是各个部分数量与总数量的关系，知道它 与条形、折线统计图的不同。例1 的“练一练”前一个问题要分别说出扇形图给 出的两个百分数的含义， 属于知识范围的问题。 后一个问题要感受我国以世界耕 地的 9.9 ，供世界 19.6 的人口吃饭， 这是非常了不起的事情， 是对世界以及 全人类的贡献， 属于思想性的问题。 如果有可能， 还可以思考其他国家的总人口 占世界人口的百分之几，其他国家的耕地总面积占世界耕地的百分之几，通过 1-19.6 和 1-9.9 求出两个百分数。把世界人口作为单位“1”、世界耕地作 为单位“ 1”，体会整个扇形图所蕴含的各种信息，有利于学生深入体验扇形统 计图的特点。 2·根据实际需要，选择合适的统计图。例 2 是六 1 班同学课外阅读情况统 计，呈现了 3 幅统计图， 让学生比较统计图， 体会各类统计图表示数据的不同方 式和特点，提高用统计图表示数据的能力，进一步发展数据分析观念。“三幅 统计图分别表示什么？” 这个问题要回答每一幅统计图的内容，说出每一幅统计 图里的数据信息。通过这个问题，让学生看到三组数据采用了三种不同的统计图， 扇形图表示各个部分数量分别占总数量的百分比，折线图和条形图都表示一组数 据的各个具体数量。 这就了解到各种统计图在表达数据时的特点，初步体会到三 种统计图的联系和区别。 第二组问题分别指向三幅统计图里的内容，引导学生深入了解各幅统计图里 的数据信息，再次体验扇形统计图表达的是“各部分占整体的份额”，折线统计 图表达的是“一组数量的变化情况” ， 条形统计图表达的是 “一组数量各有多少” 。 这样，学生就能再次感悟统计图的使用是有选择的，应根据数据的内容特点， 合 理选用相应的统计图。 “你还能从统计图中获得哪些信息？”这个问题比较开放， 要鼓励学生说出 在三幅统计图里看到的、 想到的信息， 培养学生理解与解释数据， 分析与评价数 据，应用数据提出问题与解决问题的习惯和能力。 体会使用统计图是“有选择”的，应根据数据的内容特点，以及需要表达的 数据信息， 选择适当的统计图。 三个小卡通的交流， 代表学生分别说出了什么情 况适合使用扇形图，什么情况适合使用折线图，什么情况适合使用条形图。 配合例 2 的“练一练” 采用三种统计图表示李大伯家的收入情况。教学还可 以作如下的延伸： 一是比较条形图和扇形图， 它们都表示四项收入的情况，但表 示的方式不同，数据不同，从图中获取的信息既有一致的方面，也有显著的区别。 二是体验条形图里的数据， 适合用折线图表示吗？从条形图里的四个数据只表示 “各多少”，不存在“变化”状态和趋势，得出不适合使用折线图的结论。三是 折线图里的数据可以用条形图表示吗？从折线图里有六个年份的收入数量，体会 也能采用条形图表示。 但条形图不能像折线图这样清楚地表示出年收入的增加态 势。 3. 精心编排练习题，突出统计活动能力的培养 练习一第 1 题要求学生评价这两天的食物搭配“哪一天更合理些” 。编排这 道题的目的在于通过对两幅图里的数据的比较，获取扇形图传递的信息， 并引发 深入的思考。“哪一天合理”没有标准答案，如果从有利于身体健康角度评价， 也许第一天的搭配比较合理。因为现在提倡多吃些蔬菜、水果、谷物，少吃些动 物蛋白和油脂。但是，从个体的需要考虑，也许第二天的搭配更能满足。如参加 高强度的体育活动或生产劳动的人，一些需要补充营养的人， 应该适当多吃一些 动物蛋白。第 2 题把“估计”引进扇形统计图。 呈现的干果拼盘可以看作扇形图， 不要求估计得十分准确，能说出“（各）大约占百分之几”并对自己的估计作出 解释就可以了。 第 7 题是一个简单的实践活动。 要求以自己班级同学课外阅读习 惯为内容，进行一次统计活动。先确定课题和设计调查方案；接着开展调查，收 集信息、整理数据，制作统计图表；然后分析数据，评价自己班级同学的课外阅 读习惯；最后拓宽研究课题，重新设计调查方案，开展新的统计活动。这道题可 以作为一个长作业，在课内或课外完成。 本单元最后安排的“动手做”，是以“反应速度”为内容的游戏活动，是用 统计思想方法解决问题的数据活动。编排这次动手做的目的，是要让学生积极、 主动地参与一次数据活动，获得对数据的新体验。教材有以下三点安排。 图文结合，讲述了游戏方法 把长 20厘米左右的直尺竖直按在墙上， “0” 刻度在下，食指按在“ 0”刻度处；突然松开食指，让直尺下落，然后迅速用食 指按住下落的直尺； 食指按住刻度几， 表示直尺下落了几厘米， 随时记录这个数 据。教材一方面设计了有兴趣的游戏，另一方面引导学生把注意力集中到数据上 面。 组建小组，建议人数和次数4 人一组进行活动，每人轮流做6 次，根据 记录的数据，在方格纸上制作统计表或统计图。这样，小组内就可以比一比，看 谁的反应速度最快， 而且有较充分的数据来表明各人反应速度的快慢。把这些数 据用统计图表呈现出来，能方便比较，容易看出小组内各人的反应速度。 提出课题，设计实验方案 为比较男、女生的反应速度，讨论活动方案。 如，小组内的人数与性别如何安排？数据记录在怎样的表格里？每人做6 次，用 哪个数据来比较？如果每组的男、女生都不是 1 人，男生用什么数据与女生比？ 这一段应该是整个动手做的重点，讨论越充分，方案越成熟，游戏越顺利，对数 据活动的体验就越丰富。 二圆柱和圆锥 内容及变化 本单元主要教学圆柱和圆锥的特征，圆柱的侧面积和表面积， 圆柱和圆锥的 体积 。由于解决与圆柱、 圆锥有关的问题时， 经常会涉及一些比较复杂的计算， 教材一方面通过底注说明解决问题时可以用计算器计算，另一方面，通过示例明 确，可以用含有“ ”的式子表示计算的过程和结果。这样安排，既可以帮助学 生切实掌握相关的计算方法， 又降低了计算的难度， 可以有效防止学生因琐碎的 计算而引起的厌学情绪。 教学建议 本单元在学生认识了圆， 掌握了长方体和正方体的形状特征以及表面积 与体积计算方法的基础上编排，是小学数学最后教学的形体知识。 1按“整体部分整体”的线索，分别教学圆柱和圆锥的结构特点。 学生认识几何体一般先整体感知形状，再仔细研究结构与特征， 在此基础上 归纳描述，建立形体概念。 例 1 先教学圆柱的特征，再教学圆锥的特征。这是因为学生对圆柱已有直 观感， 学生在第一学段已经直观认识了圆柱， 对圆柱的形状有了一些粗浅的感受。 学习圆锥就没有这样的台阶。 相对于认识圆柱来说， 了解圆锥会稍难些。 圆柱和 圆锥的形状虽然有明显的区别， 但它们都有圆形底面、 弯曲的侧面。先认识圆柱， 有利于认识圆锥。 把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也体现了 它们既是不同的几何体，也有内在联系。它们的联系，一是“都有圆形底面、弯 曲的侧面”，二是“圆锥体积是等底等高圆柱的三分之一”。 ·在现实的情境中初步认识圆柱和圆锥。例题在图画里呈现许多圆柱、圆 锥形状的物体，让学生从中找出圆柱形状物体， 告诉他们有些物体的形状是圆锥， 还要回忆生活中的其他例子， 体会这两种形状的物体是比较常见的，为认识圆柱 和圆锥的特征搜集了丰富的材料。 ·观察交流，分别描述圆柱和圆锥的结构特点。教学圆柱的形状特点，要引 导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的讲解。因为圆柱的形状需要学生 充分感知，有关圆柱特点的数学术语和规范表述不是他们发现创造，而是意义接 受的。三个小卡通的交流，代表学生通过观察、操作，获得的有关圆柱的感性认 识，也是圆柱的最主要特点。 学生通常对圆柱“上下两个面是完全相同的两个圆” “有一个曲面”这两点比较关注，对圆柱“上下一样粗”容易疏忽，教学要注意 这一点。 在学生交流圆柱特征的过程中， 教师可以图文结合指出圆柱和圆锥的 “底 面”“侧面”和“高”。圆柱的“高”是一个数学概念，指的是圆柱两个底面之 间的距离。教学应该突出的是关于圆柱高的概念， 关于圆柱图形上表示高的方法， 以及测量圆柱形物体的高的方法。没有必要在“几条”上纠缠不清，特别不能造 成概念的含糊。 认识圆锥要引导学生把认识圆柱的学习活动经验迁移到认识圆锥上来，圆 锥的高是教学难点。 因为圆锥的高是圆锥内部一条线段的长。教材图文结合， 指 出从圆锥的顶点到底面的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出从 顶点到底面圆心的线段， 帮助学生理解圆锥高的含义。 还暗示了测量圆锥的高的 方法。 ·在练习里发展空间观念。练习二第2 题指出圆柱、圆锥的三视图，体会从 正面、侧面看到的形状要用平面图形来表示。第 3 题要求利用教科书附页里的图 形做一个圆柱和一个圆锥， 体会圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是扇形 卷成的，经历平面变成曲面的过程。 测量做出的圆柱和圆锥的底面半径与高，可 以再次巩固高的概念，也能为接下来教学表面积和体积作些准备。 2展开圆柱的侧面、表面、研究侧面积和表面积的计算方法。 例 2 教学圆柱的侧面积，例3 教学圆柱的表面积。这样安排，符合知识间 的关系，突出侧面积是认知的重点。 ·指导展开圆柱侧面的方法， 理解侧面展开后的形状。 例 2 计算圆柱形罐头 侧面的商标纸的面积， 一要组织学生讨论 “为什么沿着接缝剪？” 弄明白沿着其 他地方剪也能把商标纸展开， 但得到的不一定是长方形， 计算长方形的面积比计 算其他图形的面积方便。 还要组织学生讨论“商标纸的接缝相当于圆柱的什么？” 弄明白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，而这样做才能使侧面展开成一个 长方形。二要沟通长方形的长、宽和圆柱的直径、高之间的联系，为计算侧面积 创造条件。 三列式计算商标纸的面积， 要指导他们分步计算， 先算出圆柱的底面 周长，再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，比列综合算式方便。还 要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁琐的乘法笔算上。 教材还指出“（商标纸的面积）也可以这样计算：11×15=165”，省略 165 ×3.14 的笔算，用 165作为最后的得数。 这与中学数学是接轨的， 会受到教师 和学生的欢迎。 ·指点方向，探索侧面积的算法。 计算商标纸的面积， 要指导他们分步计算， 先算出圆柱的底面周长， 再计算圆柱的侧面积。 分步列式计算能减少错误， 比列 综合算式方便。 还要支持学生使用计算器， 没有必要把大量的时间和精力放在繁 琐的乘法笔算上。 教材还指出“ （商标纸的面积） 也可以这样计算： 11×15=165 ”，省略 165×3.14 的笔算，用 165作为最后的得数。这与中学数学是接轨 的，会受到教师和学生的欢迎。 ·画出表面展开图，研究表面积的算法。例3 教学圆柱的表面积，关键在 于建立表面积的概念。只要理解“求表面积”就是求什么，算法自然就产生了。 而且长方体与正方体表面积的概念和算法，对教学圆柱表面积有支持作用。 例题 要求在方格纸上画出一个圆柱的表面展开图。要求学生看着圆柱图形和标注的底 面直径与高，思考圆柱的侧面沿着高展开，得到的长方形长和宽各是多少厘米， 两个底面分别是多大的圆， 并在方格纸上画出一个长方形和两个圆，即这个圆柱 的表面展开图。 和长方体、 正方体的表面积计算一样， 圆柱的表面积计算也不给 出公式，让学生在理解表面积意义的基础上推理算法，以避免记忆公式的负担。 第二步计算例题呈现的圆柱的表面积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例2 教 学，计算两个底面圆的面积是旧知识，学生应该能独立计算圆柱的表面积。教师 仍然要提醒他们列分步算式解答，通常先算出侧面积，再算出一个底面的面积， 然后算侧面积与两个底面积的和。学生如果用4表示侧面积，用 2表示两个 底面圆的面积，用6表示表面积，应该加以肯定。 ·灵活应用侧面积、表面积知识，解决实际问题。练习二是圆柱侧面积、 表面积的实际应用， 解答问题要重视 “数学化”，把实际问题抽象成计算侧面积、 底面积或表面积的数学问题。如第4 题求铝皮面积是计算圆柱形队鼓的侧面积， 计算羊皮面积是求圆柱形队鼓的两个底面积。再如通风管是没有底面的， 彩纸糊 的灯笼只有下底和侧面。第10 题可以用（ 180+32）平方分米表示结果，也可 以算出来，第 11 题一共有多少朵花根据实际生活情境应该保留整数，所以要算 出具体结果。 3应用转化策略，教学圆柱的体积计算公式。 （三）通过猜想验证，探索圆柱和圆锥的体积计算公式 学生已经掌握了长方体和正方体的体积公式，而且知道它们的体积都可以用 “底面积×高”来计算。事实上，不仅是长方体与正方体，求各种直柱体的体积 都可以用“底面积×高”来计算，圆柱的体积也是这样。 ·建立“等底”“等高”概念，形成“等积”猜想。例4 教学圆柱的体积。 教材先呈现了长方体、 正方体和圆柱这三个立体图形，涂色突出它们的底面， 指 出这三个几何体的底面积相等，高也相等。要求先猜想圆柱体积与等底（面积） 等高的长方体、正方体体积是不是相等，再通过把圆柱“等积变形”证实猜想， 推导出圆柱的体积计算公式。 猜想与验证是人们解决问题经常采用的策略。教材 鼓励学生猜想并验证， 调动他们的积极性， 使圆柱体积的教学不是被动接受，而 是有意义的探索。 ·割、拼圆柱，转化成长方体。，教材把圆柱转化成等底（面积）等高，体 积不变的长方体， 并展示转化过程。 转化思路的形成， 借鉴了把圆转化成长方形 计算面积的经验。 转化的要领是保持圆柱与长方体等底（面积）、等高、等（体） 积。学生可以看教材里的插图， 明白怎样把圆柱切割与改拼。如果能亲自操作学 具，实践圆柱的等（体）积变形，就更好了。然后是渗透极限思想。把圆柱的底 面平均分成 16 份，切开后拼成的只是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底 面平均分的份数越多， 切开后拼成的物体越接近长方体。圆柱底面被平均分的份 数足够多，就能转化成等底（面积）、等高、等（体）积的长方体。 ·通过推理，得到圆柱体积计算公式。最后是推导圆柱的体积计算公式。由 于圆柱与转化成的长方体体积相等，所以求圆柱的体积只要计算长方体的体积； 由于长方体体积可以用底面积乘高计算，而长方体的底面积与圆柱底面积相等， 长方体的高与圆柱的高相等， “底面积×高”计算的既是长方体的体积，也是圆 柱的体积。由此得出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积底面积×高。 必须注意的是， 在得出圆柱体积计算公式以后，教材安排“回顾圆柱体积公 式的探索过程”，要求学生交流体会。“转化”是探索圆柱体积公式的策略，在 寻求圆柱体积计算方法的过程中，“转化成长方体”是关键。教学应通过回顾， 突出转化策略在这里的应用，联系实际加强策略意识。另外，用“底面积×高” 涵盖长方体、 正方体和圆柱的体积计算， 有利于优化认知结构， 这也应是回顾与 反思的一个重要内容。 练习三 P17第 5 题要求算出具体结果， P1练习三其中第 7 题，把一张长 5 厘米、宽 4 厘米的长方形纸分别绕其长或宽旋转，能形成两个不同的圆柱。 先估 计这两个圆柱的体积，指出哪一个大，再计算它们的体积，验证前面的估计。教 学这道题，要让学生体验“长方形绕其长（宽）旋转，能形成长方体”的现象。 如有必要，可以动手操作，实践一下。要识别形成的圆柱的底面半径和高，把已 知的长方形的长、 宽转化成圆柱的有关数据。 形成的两个圆柱， 一个的底面小一 些、高一些，另一个的底面大一些、矮一些。估计哪一个的体积比较大，其实是 猜一猜哪个的体积大。猜对和猜错，都要通过计算体积来验证。 P19思考题。读题，理解水面上升与钢材放入水中有关，水面下降与钢材拉 出水面有关。让学生独立思考，再交流。解法一：可以根据条件先求出8 厘米钢 材长的体积， 也就是下降了 4 厘米的水的体积； 再根据这个结果求出储水桶的底 面积；最后根据储水桶的底面积和水面上升9 厘米，求出上升部分水的体积， 也 就是钢材的体积。 解法二根据钢材竖着拉出水面8 厘米，水面下降 4 厘米，可以 知道水面每下降 1 厘米，对应钢材拉出水面2 厘米，水面上升 9 厘米，对应着放 入水中的钢材长 18 厘米，根据钢材的半径和长度就能求出钢材的体积。 练习三的后面是“动手做”，要求测量土豆的体积。土豆的形状不规则，求 它的体积没有现成的计算公式。 教材设计了利用圆柱形容器测量土豆体积的方法 进行这项活动要注意两点，一是在圆柱容器的里面测量它的底面直径和水面高 度，并算出底面积。 二是帮助学生理解水面高度变化与土豆体积的关系。教学应 在适当时候组织学生反思这次测量活动，体会其中的“转化”策略：把形状不规 则的土豆体积， 转化成形状规则的圆柱体积，通过计算圆柱体积， 得到土豆的体 积。 4“估计验证”探索圆锥的体积公式。 就小学生现有的知识， 把圆锥转化成体积相等的其他物体有些困难。因此， 教学圆锥体积公式采用的方法与圆柱不同 ·认识等底、等高的圆锥与圆柱，估计圆锥体积是圆柱的几分之几。例5 图示了一个圆柱和一个圆锥，指出它们的底面积相等，高也相等。从图画直观， 学生能确定圆锥的体积比圆柱小， 教材让学生估计这个圆锥的体积是圆柱的几分 之几。这里的估计是形成一个猜想， 学生不一定估计圆锥的体积是圆柱的三分之 一。不过，这并不要紧，后面的实验会得出这个关系。只要形成圆锥体积与等底 （面积）等高圆柱体积有关的心向，就能支持后面的操作验证。 ·通过实验，发现等底等高的圆柱与圆锥的体积关系。首先准备器材，找等 底等高的圆柱、 圆锥容器各一个， 教材图示了比较底面积和比较高的方法。然后 在圆锥容器里装满沙子，倒入空的圆柱容器里，从“3 次正好倒满”这个事实， 证实圆柱形容器的容积是等底等高圆锥形容器的3 倍， 也就是圆锥形容器的容积 是等底等高圆柱形容器的1/3 ，确认或者修正原来的估计。 ·利用圆柱体积算圆锥体积，推导圆锥的体积公式。如果不考虑容器壁的 厚度，圆锥容器里装满的沙子的体积可以看作圆锥的体积，圆柱容器里装满的沙 子的体积可以看作圆柱的体积。 从实验的结果先得出等底等高圆锥和圆柱的体积 关系：圆锥的体积圆柱的体积×1/3 ；再把圆柱的体积计算方法代入关系式， 得出圆锥体积计算公式：底面积×高×1/3 。 教材很重视引导学生体验数学思想和积累数学活动经验，在得出圆锥体积公 式以后，要求他们回顾圆锥体积公式的探索过程。要让学生说说自己的体会。 整 理学生的交流，应该突出两点：一是“转化”策略，圆锥体积可以转化成圆柱体 积来计算， 新知识可以转化成旧知识来认识。二是实现转化可以通过猜想、验证 来落实，猜想圆锥体积与圆柱体积有关，并验证这种关系确实存在， 就实现了圆 锥体积到圆柱体积的转化。 ·编排等底等高圆柱与圆锥的体积关系的专项练习。第 6 题根据图示的各个 立体图形的底面直径与高，寻找与圆锥体积相等的圆柱，其中的推理稍有难度。 可以从圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3 ，推理出体积相等的圆柱与圆锥，如 果底面积相等，圆锥的高是圆柱的3 倍圆柱的高是圆锥的1/3 ；如果高相等，圆 锥的底面积是圆柱的3 倍圆柱的底面积是圆锥的1/3 。还要注意到，大圆的直径 是小圆的 3 倍，小圆直径是大圆的1/3 ，大圆的面积则是小圆的9 倍，小圆的面 积是大圆的 1/9 。 过去的教学告诉我们， 这一单元的计算比较繁琐， 学生经常会算错。 对此提 出三点建议： 一是营造良好的计算环境。 每次作业的题量不宜过多， 给学生的时 间要充分，心理压力小些能减少计算错误。二是较复杂的计算可以使用计算器。 通常情况是， 三位数乘一位数、 三位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的乘法 应该用计算器算。 没有必要让学生进行繁琐的四则运算，消耗时间和精力。 三是 指导简便运算。在半径的长度数是5、15、25，高的长度数是 2、4、8 时，往往 可以利用乘法运算律使计算简便些。 要善于发现、及时利用可以简便计算的机会。 四是鼓励用含有 的式子作为计算的最后结果。 本单元的整理与练习仍然按“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践” “评价与反思”四个栏目编写。这里着重说说“探索与实践”栏目的习题。 第 12 题有培养推理能力的作用。学生中可能有两个水平的推理：一种水平 的推理比较具体，可以假设两个容器的高都是10 厘米，一个容器的底面半径1 厘米，另一个容器的底面半径2 厘米，就能算出这两个容器的体积分别是10 立方厘米和 40立方厘米，由此得到它们的体积比是14。另一种水平的推理 较抽象，由于两个容器的高相等， 所以它们的体积比决定于它们底面积的比。两 个容器的底面半径的比为12， 底面积的比应该是14， 由此得到体积比是1 4。对大多数学生而言，采用前一水平的推理比较适当，后一水平的推理，只会 有少数学生适应。 第 13 题是实践操作题。要求任选一个圆柱形饮料罐，计算它的容积。计算 圆柱容器的容积， 需要哪些长度？如何测量这些长度？都由学生拿主张。算出的 容积应该比饮料罐商标纸上标出的“净含量” 稍大一些， 否则饮料罐里装的饮料 不会达到净含量。 第 14 题是制作实验题。“怎样卷，圆柱的体积比较大？”解决这个问题可 以假设长方形纸长10 厘米、宽 6 厘米，一种卷法形成的圆柱体积大约15.36 （底面周长 10 厘米，半径 1.6 厘米，底面积 2.56 平方厘米）；另一种卷法形 成的圆柱体积大约10（底面周长 6 厘米，半径 1 厘米，底面积 平方厘米）， 怎样卷体积大就很清楚了。 这道题能发展空间观念。 学生识别长方形的长、 宽和 圆柱的底面周长、高之间的对应关系，需要动手操作，用一张长方形纸卷一卷、 看一看。 三、解决问题的策略 内容及变化 选择策略解决问题 把转化的策略安排在五年级下册 本单元是新编的教学内容， 主要教学选择策略解决问题， 重点是引导学生在 解决问题的过程中，初步学会从不同的角度分析数量关系， 提出不同的解题思路， 并集合自身的经验和习惯， 选择合适的策略解决问题， 从而起到整理策略、 灵活 运用策略的作用，使策略得到内化，思维品质得到提升。全单元编排两道例题， 例 1 把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样，例2 通过假设和调 整解决问题，体会假设与调整可以多样。 教学建议 1. 选择典型例题，为学生从不同角度分析数量关系创造条件。 亲历解决问题的过程是学生体验和感悟解决问题策略的必然途径。而选择结 构典型，难度适中的实际问题，又是有效组织学生学习活动的必要前提。为此， 教材精心选择能有效激活学生策略意识的实际问题作为例题，鼓励他们从不同的 角度分析数量关系，为解决问题方法的多样化创造条件。 例 1 是一道稍复杂的分数实际问题（见图3），这样的问题，看似简单，但 仅凭直觉和经验又难以找到解决问题的突破口，能自然引起学生的探索兴趣， 促 使他们积极、 主动地寻求解决问题的方法，进而呈现解决问题方法的多样性。再 如，教材的例 2 是“鸡兔同笼”问题的变式（见图4），由实验教材六年级上册 移来。这样的问题， 数量关系比较复杂， 能有效激活学生在例1 的学习中积累的 认识和经验， 促使他们积极展开探索与思考， 并在不断尝试中找到解决问题的方 法。这就为学生自主选择合适的策略解决问题提供了机会，有利于学生形成相应 的策略意识。 2. 合理安排解题活动线索，引导学生在自主探索和比较中体验选择策略解 决问题的过程。 为了让学生切实展开独立思考与合作交流，探寻解决问题的有效方法。 提出 问题后，两道例题都通过富有启发性的问题，引导学生尝试着分析数量关系，找 到解决问题的思路。 同时通过对不同思路的比较和交流，帮助学生体会不同方法 间的联系，找到切合自身实际的解题思路，感受选择策略解决问题的过程。 例 1 启发学生“先分析题目汇中数量之间的关系，再说说准备怎样解答”， 在激活旧知时，一方面通过从不同角度理解条件， 分析数量关系，进一步感受“转 化”，把复杂的问题通过转化变得简单，另一方面引导学生回顾已学策略，激活 已有经验，促使学生解决例题时，能主动、方便地提取可用的策略，感受可以根 据问题的特点应用不同策略解决问题。通过交流明确不同的解题思路： 可以用画 图策略，画线段图表示题意， 直接看出男、 女生人数各占总人数的几分之几再解 答；也可以用转化的策略， 把男女生人数的关系转化成用比表示，再按比例分配； 还可以运用假设策略，用x表示单位“ 1”的量，列方程解答。“选择一种方法 列式解答”是经过“问题转化”以后的“模式识别”。利用已有的模型解决转化 后的问题， 也就是解答原来的问题。 学生采用任何一种解法都可以，但不是要求 他们“一题多解”。 “检验”十分重要，应把得数放到原来的问题情境里检验是 否正确。即看一看得到的男、女生人数是不是一共35 人，男生人数是不是相当 于女生的 2/3 。如果得数能够同时满足这两个条件，就是原来问题的答案。 否则， 就不是原来问题的答案。 最后进行回顾反思， 体会在解决实际问题时， 根据题意 和数量间的联系， 灵活地选用策略分析问题、 能使解决问题的过程更直接、更清 楚，解题方法更简单，增强策略意识。 例 2 的问题情境是 42 人正好坐满 10 只船，求大船和小船各有几只。 这个问 题的题意并不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般的分析数量关 系的方法派不上用场。教材问学生“解决这个问题，你准备用什么策略”，不要 求说出解题思路和算法，而是鼓励他们从已经学过的列表、画图、枚举、假设和 转化策略里自主选择解题方法。正像“辣椒”卡通的画图、“萝卜”卡通的列举、 “番茄”卡通的假设那样， 每个学生都要有自己的选择，班集体里就会呈现策略 多样化。 提出的假设（或猜想）必须检验，看10只船上是不是正好坐42人。提出的 第一个假设往往不是问题的答案， 船上的总人数不是比42 人多， 就是比 42人少， 需要调整大、 小船的只数。 教材把替换留给学生进行， 一方面培养检验假设的意 识，另一方面体会替换的方向与方法。替换时，如果假设的大、小船上乘坐的人 数接近 42 人，可以一只一只地调整； 如果假设的船上人数与42 人相差较大， 可 以每几只一调。 例 2 没有列式计算， 主要是两个原因： 一是解决问题未必都要列式计算，画 图和列表也是解题的方法和形式。教学应该鼓励解题形式多样， 发展学生的个性 和创造性。 二是解答这道题的算式比较难列，算式蕴含的算理比较复杂。 如果列 式计算，不仅增加了教学的困难，还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。 3. 精心设计问题的呈现方式，逐步提升学生解决问题的策略水平。 策略的形成是一个渐进的过程，需要有目的、 有计划地进行训练和指导。 教 材十分注意安排一些有层次的练习，引导学生在解决问题的过程中， 不断积累选 择策略解决问题的经验，形成相应的策略意识。例如，配合例1 的教学，教材安 排了三道练习， 通过“看图填空”“把线段图补充完整” 等形式，由“扶”到“放” 地组织学生的解题活动，第1 题看图分析数量关系，分数与比相互转化；第2 题画图描述问题， 借助直观分析数量关系； 第 3 题选择策略解决问题。 促使他们 在解决问题的过程中体会选择策略的过程，感受策略的实用价值， 提升解决问题 的策略水平。 第 5 题在有序列举中发现规律， 第 7 题是一道相遇问题， 引导学生 根据“货车的速度是客车的 3 2 ”在图中画出客车和货车在相遇时行驶的路程和 相遇的位置，在交流中明确：根据“货车的速度是客车的 3 2 ”可以知道：货车 与客车行驶的速度比是2:3 ，由于两车行驶的时间相同，所以货车与客车行驶的 路程比是 2:3 。所以可以按比例分配解答，也可以用分数乘法计算，还可以根据 货车路程是客车的 3 2 ，用方程解答。通过比较发现，用分数乘法算比较方便。第 8 题关键在于理解第二堆的黑子与第三堆的白子同样多，让学生在图中试着画一 画第二、三堆的白子和黑子， 从图中可以清晰看出： 第二堆的白子和第三堆的白 子合起来正好是 60 枚。所以先求第一堆的白子：60× 3 1 20（枚），第二、三 堆的白子有 60 枚，所以这三堆棋子中一共有602080（枚）。应用画图的策 略，可以清楚看出直观表示的数量关系，方便找到不同的解题方法。 四、比例 内容及变化 本单元教学图形的放大和缩小，比例的意义和基本性质， 解比例，比例尺及 其应用 加强知识的综合应用 与实验教材相比， 本单元的变化较小， 教材在结合图形的放大和缩小，引导 学生通过具体的活动获取知识的同时，特别注重知识的综合与应用， 引导学生在 解决实际问题的过程中，感受知识的内在联系，加深对所学知识的理解。例如， 第 47 页第 7 题（见图 5），要求学生先根据题中的路线图算出小青家到梅花山 的路程，再根据小青骑车的速度， 计算小青从家到梅花山所需要的时间。这样的 问题，具有较强的现实性和综合性， 可以帮助学生深刻认识与体验比例尺的意义 及其应用价值， 感受综合应用所学知识解决问题的过程，提高分析和解决问题的 能力，增强应用意识。 教学建议 1在现实情境和画图活动中，教学图形放大与缩小的含义。 数学里图形放大与缩小的含义，和生活中的放大、 缩小不是完全相同的。 生 活中往往把图形由小变大视作放大，由大变小视作缩小。 数学里的图形放大与缩 小，它的每一条边都按相同的比变化，即所有边的长度都放大到原来的几倍或者 缩小到原来的几分之一。 所以，教学图形的放大与缩小， 必须选择数学含义鲜明 的素材，使学生形成正确的、图形放大与缩小的概念。 ·联系“倍”和“比”的知识，揭示图形放大的含义。例1 先利用给出的数 据，分别研究长方形放大后与放大前长的关系、宽的关系，从 “倍”的角度和“比” 的角度，描述图形的变化。然后联系长方形放大的事实，揭示图形放大的含义。 从教材讲述长方形放大的数学含义， 可以看到概念的关键是图形变化后与变化前 对应边的长度比。所以，安排学生研究两张照片的“长有什么关系”“宽有什么 关系”时，要提示他们说出第二张照片的长和宽分别是第一张照片的几倍，写出 第二张照片和第一张照片长的比、宽的比。不要鼓励学生把第一张照片的长度和 第二张照片比，以免对新概念产生干扰。 ·促进认知迁移，体会图形缩小的含义。在初步理解长方形按21 的比放 大以后，教材提问：如果把第一幅画按12 的比缩小，长和宽应是原来的几分 之几？各是多少厘米？引导学生感受图形的缩小，初步形成图形缩小的概念。 教 学时，可以把图形按 21 的比放大与图形按12 的比缩小进行比较。 突出比的 前项指变化后的图形，后项指原来的图形。21 的前项大于后项，表示图形放 大；12 的前项小于后项，表示图形缩小。 ·在方格纸上画图形， 进一步体会图形放大与缩小。例 2 在方格纸上按照规 定的比画出长方形放大后与缩小后的图形，教学这道例题，要把力量放在放大、 缩小后图形长多少、宽多少上，让学生说说自己的思考，实现例题的编写意图。 观察原来的长方形、 放大后的长方形、 缩小后的长方形三个图形， 发现它们的大 小