2[1].3.1离散型随机变量的均值(第一课时).ppt
离散型随机变量的均值(一),一、引入,1.离散型随机变量的分布列：,一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x1，x2，xi，xn X取每一个xi (i=1，2，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：,为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.,分布列的性质:,2.几种常见的分布列：,(1)两点分布： 在一次试验中，如果事件A只有发生与不发生两种 结果，则称事件A发生的次数X服从两点分布.,p,1-p,(2)超几何分布： 一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品数，则称随机变量X服从超几何分布.,（3）二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.,记作XB(n,p),如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少？,算术平均数,加权平均数,你的期中数学考试成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？,加权平均数,权：称棰，权衡轻重的数值； 加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。,练习,某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,18×1/2+24×1/3+36×1/6,=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)=23,而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？,随机变量均值（概率意义下的均值）,样本平均值,你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗？,将按3：2：1混合的糖果看作总体； 任取的1kg糖果看作一个样本； 样本中的每个糖果看成一个个体； 设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果大约各占： 在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪个价位的概率。,分布列,现在混合糖果中任取一个，它的实际价格用表示，的取值分别为： ,合理价格=18× +24× +36× =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36),代表X的平均取值,数学期望,若离散型随机变量X的分布列为：,则称： EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,随机变量的均值是常数，而样本的均值随 着样本的不同而变化，因而样本的均值是 随机变量； 对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的均值越来越接近总体的平均值，因 此，我们常用样本的均值来估计总体的平 均值。,离散型随机变量的分布完全描述了随机现象的规律，他确定了随机变量的均值等数字特征。但反过来，知道随机变量的均值是无法确定分布的，因为两个不同的分布可以有相同的均值。,在实际生活中，人们往往不关心知道随机变量的分布，我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征（均值）。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。,2：某射手射击所得环数X的分布列如下：,你能估计该射手进行n次射击，平均每次能打的环数吗？,分析：在n次射击中， 中4环的大约有0.02n次 中5环的大约有0.04n次 中10环的大约有0.22n次 故平均每次能打的环数为,=4×0.025×0.0410×0.228.32.,二、基础知识讲解,1.离散型随机变量的均值,一般地，若离散型随机变量X的分布列为,则称 EXx1 p1x2 p2xi pi 为X的均值或数学期望，数学期望又简称为期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,三、例题分析,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球 一次的得分X的期望.,解：依题意，P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，, EX=1×P(X=1)0×P(X=0),=1×0.70×0.3 =0.7,一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有,若X服从两点分布，则EX=p,则X的分布列为：,3.两点分布的均值：,若X服从两点分布，则EX=p,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚 2次球的得分X的期望.,解：依题意可知，XB(2，0.7),该运动员得分的期望为,思考：你能找出该期望值1.4与这个二项分布XB(2,0.7) 之间的规律吗？,2×0.7=1.4,二项分布的数学期望：,=np(p+q)n-1=np,若XB(n，p)，则EXnp,4.二项分布的均值：,若X服从二项分布，则EX= np,例2,一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。,解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布： X1B(20，0.9) X2B(20，0.25) 所以：EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5 甲所得分数的均值为：18×5=90 乙所得分数的均值为： 5×5=25,解：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数 则Y1=5X1 Y2=5X2 所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90 EY2=E(5X2)=5EX2=25,随机变量的均值 样本的平均值？ 例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。,思考,甲同学一定会得90分吗？ 90表示随机变量X的均值； 具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；,探究：设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 (1) Y分布列是什么？ (2) EY=？,ax1+b,ax2+b,设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 其分布列为,探究：设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量(2) EY=？,EXx1p1x2p2xi pi,EY(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi a(x1p1x2p2xi pi)b(p1p2+pi) aEXb,即E(aXb)aEXb,ax1+b,ax2+b,2.离散型随机变量的均值的性质：,E(aXb)aEXb,29,30,31,分析 首先确定随机变量X所有可能的取值，X可取0,1,2，然后分别求出它们对应的概率，再利用求期望的公式计算,练习：,点评 解此类题的一般步骤是：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变量取各个值的概率；列出分布列；利用期望公式进行计算,35,已知随机变量X的分布列为 求：(1)E(X)； (2)若Y5X4，求E(Y),练习：,解析 (1)由随机变量分布列的性质， 得 0.4m0.31. m0.3，E(X)0×0.42×0.34×0.31.8. (2)方法一：Y5X4， 随机变量Y的分布列为：,E(Y)4×0.414×0.324×0.3 1.64.27.213. 方法二：Y5X4， E(Y)E(5X4)5E(X)45×1.8413. 点评 (1)求期望关键是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)对于aXb型的随机变量，利用期望的性质E(aXb)aE(X)b求解较简捷,五、小结巩固,掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:,1.离散型随机变量的均值,一般地，若离散型随机变量X的分布列为,则称 EXx1 p1x2 p2xi pi 为X的均值或数学期望，数学期望又简称为期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.离散型随机变量的均值的性质：,E(aXb)aEXb,3.两点分布的均值：,若X服从两点分布，则EX=p,4.二项分布的均值：,若X服从二项分布，则EX= np,数学期望小结,EX表示X所表示的随机变量的均值； E(aX+b)=aEX+b 两点分布：EX= p 二项分布：EX= n p 求数学期望时： 已知是两点分布或二项分布，直接代用公式； 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。,
