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二次函数的平移问题 我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律. 一. 当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a 0) 时 1. 向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c+n 将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c-n 两式比较 : 可得抛物线向上平移n 个单位 , 常数项上加 n，即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax 2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位 , 常数项上减去 n，即解析 式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax2+bx+c-n 2. 向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 . 将 抛 物 线 向 左 平 移m 个 单 位长 度 后 , 得 到 的 新 抛 物 线 的解 析 式 为y= a(x+m) 2+b(x+m)+c 将 抛 物 线 向 右 平 移m 个 单 位长 度 后 , 得 到 的 新 抛 物 线 的解 析 式 为y= a(x-m) 2+b(x-m)+c 两式比较 , 可得出抛物线向左平移m 个单位 , 自变量上减去m ，即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=a(x+m)2+b(x+m)+c; 同理可推出抛物线向右平移 m个单位, 自变量 上加上 m,即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=a(x-m)2+b(x-m)+c 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 再将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y= a(x+m) 2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 再将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y= a(x+m) 2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 再将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y= a(x-m) 2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 再将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y= a(x-m) 2+b(x-m)+c-n 二. 当解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k（a0）时 1. 向上或向下平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为 （h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为 （h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n. 即抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a（x+m-h)2+k-n 2. 向右或向左平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m) 2+k 将抛物线向左平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k) 变为 (h-m,k) ，所以抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=ax-(h-m)2+k=a（x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k) 变为 (h+m,k) ，所以抛物线解析式由y=a(x-h) 2 +k 变为 y=ax-(h+m) 2+k=a（x-h-m)2+k 两解析式比较可得出图像向左平移m个单位，括号内加上 m ，即抛物线解析式由 y=a(x-h) 2+k 变为 y=a（x-h+m)2+k；同理可推出向右平移 m个单位括号内减去m ，即 抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为 y=a（x-h-m)2+k 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加 右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减 常数项 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 再将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y=a（x-h+m) 2+k+n 将抛物线向左平移m个单位长度后 , 再将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y=a（x-h+m) 2 +k-n 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 再将抛物线向上平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y=a（x-h-m) 2+k+n 将抛物线向右平移m个单位长度后 , 再将抛物线向下平移n 个单位长度后 , 得到 的新抛物线的解析式为y=a（x-h-m) 2+k-n 二次函数的平移练习题 1. 把抛物线y=-x 2 向左平移一个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. y=-（x-1 ） 2+3 B. y=- （x+1） 2+3 C. y=- （x-1 ） 2-3 D. y=- （x+1） 2-3 2. 抛物线 y=x 2+bx+c 图像向右平 移 2 个单位再向下平移3 个单位 ，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3 ，则 b、c 的 值为（） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2 3. 将函数 y=x 2+x 的图像向右平移 a（ a0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2 的图像，则 a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知二次函数y=x 2-bx+1 （-1 b1） ，当 b 从-1 逐渐变化到 1 的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动， 下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 5. 已知抛物线C：y=x 2+3x-10 ，将抛物线 C平移得到抛物线C. 若两条抛物线C、C关于直线x=1 对称，则下列 平移方法正确的是（）A. 将抛物线C向右平移 2.5 个单位 B.将抛物线C向右平移 3 个单位 C. 将抛物线C 向右平移5 个单位 D. 将抛物线 C向右平移6 个单位 6. 把二次函数y=- 4 1 x 2-x+3 用配方法化成 y=a(x-h) 2+k 的形式 A. y=- 4 1 (x-2) 2+2 B. y= 4 1 (x-2) 2+4 C. y=- 4 1 (x+2) 2+4 D. y= ( 2 1 x- 2 1 ) 2+3 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2 的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为 Ay=2x 2-2 B y=2x 2+2 C y=2(x-2) 2 D y=2(x+2) 2 8. 将抛物线y=2x 2 向下平移1 个单位，得到的抛物线是（） A y=2(x+1) 2 By=2(x-1) 2 C y=2x 2+1 Dy=2x 2-1 9. 将函数 y=x 2+x 的图象向右平移 a(a 0) 个单位，得到函数y=x 2-x+2 的图象，则 a 的值为（） A1 B 2 C3 D4 10. 把抛物线y=-2x 2 向右平移2 个单位，然后向上平移5 个单位 ，则平移后抛物线的解析式为（） A. y=-2（x-2 ） 2+5 B. y=-2 （x+2） 2+5 C. y=-2 （x-2 ） 2-5 D. y=-2 （x+2） 2-5 11. 在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2+x-2 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变 换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（） A y=-x 2-x+2 By=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 Dy=x 2+x+2 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3 绕着它与 y 轴的交点旋转180 0，所得抛物线的解析式是（ ） Ay=- （x+1） 2+2 B y=- （x-1 ）2+4 C y=- （x-1 ） 2+2 D y=- （x+1）2+4 13. 要得到二次函数y=-x 2+2x-2 的图象，需将 y=-x 2 的图象（） A向左平移2 个单位，再向下平移2 个单位 B 向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位 C向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位 D 向右平移1 个单位，再向下平移1 个单位 14. 若二次函数y=(x-m) 2-1 ，当 xl 时， y 随 x 的增大而减小，则 m的取值范围是（） A m 1 Bm 1 C m 1 Dm 1 15. 如图，点A ，B的坐标分别为（1，4）和（ 4，4） ，抛物线 y=a（x-m）2+n 的顶点在线段AB上运动，与x 轴交 于 C、D两点（ C在 D的左侧），点 C的横坐标最小值为-3，则点 D的横坐标最大值为（） A13 B7 C5 D8 16. 抛物线 y=ax 2 向左平移5 个单位 , 再向下移动2 个单位得到抛物线 17. 二次函数y=-2 （x+3） 2-1 由 y=-2 （x-1 ）2+1 向_平移 _个单位，再向 _平移 _个单位得到 18. 抛物线 y=3（x+2） 2-3 可由抛物线 y=3（x+2） 2+2 向 平移个单位得到 19. 将抛物线y= 5 3 （x-3 ） 2 +5向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位，得到的抛物线是 20. 把抛物线y=-（x-1 ） 2-2 是由抛物线 y=-（x+2） 2-3 向 平移个单位，再向 _平移 _个单位得到 21. 把抛物线yax 2+bx+c 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位，所得的图象的解析式是y x 2-3x+5 ， 则 a+b+c=_ 22. 抛物线 yx 2-5x+4 的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 23. 已知二次函数的图像过点（0，3） ，图像向左平移2 个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1 个单位后与x 轴只 有一个交点，则此二次函数的解析式为 24. 已知 a+b+c=0， a0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移 1个单位，再向左平移5 个单位所得到的新抛物线的顶 点是（ 2，0），求原抛物线的解析式 25. 已 知 二 次 函 数y -x 2-4x-5. 指 出 这 个 二 次 函 数 图 象 的 开 口 方 向 、 对 称 轴 和 顶 点 坐 标 ； 把 这 个 二 次 函 数 的 图 象 上 、下 平 移 ，使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y -x的 图 象 上 ，求 此 时 二 次 函 数 的 解 析 式 ； 把 这 个 二 次 函 数 的 图 象 左 、右 平 移 ，使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y -x 的 图 象 上 ，求 此 时 二 次 函 数 的 解 析 式 。 26. 把抛物线y 2x 2 向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点(1 ，3)，(4 ，9)，求 p、q 的值 27. 拋物线 y1 ax 26x 8 与直线 y 2 3x 相交于 A（1，m ） ， （1）求 y1的解析式；（2）拋物线y1经过怎样的平 移可以就可以得到拋物线yax 2 28. 已知函数y=2x 2，y=2（x-1 ）2，y=2（x-1 ）2+1(1) 在同一直角坐标系中画出三个函数的图象； (2) 分别说出这 三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3) 试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=2x 2 得到抛 物线 y=2（x-1 ） 2 和抛物线y=2（ x-1 ） 2+1；(4) 试讨论函数 y=2（x-1 ） 2+1的性质 29. 已知二次函数yax 2 bxc(a 0)的图像 C1经过 A(-1 ，0)，B(2，0)，顶点为P。若二次函数的图像C1 向右平移2 个单位恰好经过点(3 ，-2) ，求平移后的图像解析式。直线y2x 先向右平移3 个单位，再向下平 移 1 个单位得到直线与图像C1恰好有一个交点，求a 的值；若将二次函数图像C1向上平移b 个单位得到图像 C2，C1和 C2的组合图像与x 轴恰有 3 个交点； 若将二次函数图像C1向右平移b 个单位得到图像C3，C1和 C3的组合 图像与 x 轴也恰有3个交点，求a 的值 30. 已知二次函数y=- 4 1 x 2+ 2 3 x 的图象如图 . （1）求它的对称轴与x 轴交点 D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对 称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴， y 轴的交点分别为A 、B、C三点，若 ACB=90 0，求此时抛物线的解析 式； （3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以 AB为直径， D为圆心作 D，试判断直线CM与 D 的位置关 系，并说明理由