比例线段知识点及练习题.pdf
第十八章 相似形比例线段及相似知识点讲解 【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比 ：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b 的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n， 或写成 n m b a ,其中 a 叫做比的前项 ;b 叫做比的后项。 2.成比例线段 ：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段 3.比例的项 ：已知四条线段，如果 d c b a ，那么，叫做组成比例的项，线段，d 叫做比例外项，线段，叫做比例内项，线段还叫做，的第四比例项 4.比例中项： 如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 c b b a ，那么线段叫做线段和的 比例中项 二、 比例的性质： (1)比例的基本性质：bcad d c b a acb c b b a2 (2)反比性质： c d a b d c b a (3)更比性质 : 或 d b c a d c b a 或 a c b d (4)合比性质 : d dc b ba d c b a (5)等比性质 : n m f e d c b a .且 b a nfdb meca nfdb . . 0. 比例线段练习 a=2， b=5,c=15，d=23； a= 2，b=3, c=2，d=3； a=4， b=6, c=5，d=10； a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知： ad=bc （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a，d 为内项的比例式； （3） 写出使 b 作为第四项比例项的比例式； （4）若 d b c a ；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算 . (1)已知： xy=5 4，yz=37.求 xyz. (2)已知： a，b， c为三角形三边长，(a-c) (c+b) (c-b)=27(-1)，周长为 24.求三边长 . 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m， 那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB ，AB=10cm， AD=2cm，BC=7.2cm， E为 BC中点 .求 EF ， BF的长 . 6.(1)已知： x： (x+1)=(1 x)： 3，求 x。 (2) 若 2 132 yx yx ，求 x y (3) 若 5 6 b ba ，求 b a ， b ba (4) 若 x 2-3xy+2y2=0,求 x y 7将比例式中的x移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1） a:b=x:c （2）x:a=b:c （3） a:x=b:c 8：若 5 2 f e d c b a ，求 fdab eca db ca 43 432 , 练习：已知 : 4 1 : 3 2 : 5 1 :zyx, 求 zyx zyx 52 52 的值 9： 若 ABC三边 a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h1、h2、h3，求 h1:h2:h3的值。 10：已知两地的实际距离是250 米，画在地图上的距离（图距）是5 厘米，在这样的地图上,图距 a=8 厘米的两地 A,B的实际距离是多少呢?比例尺是多少？ 12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有 6 名女同学参加进来，此时女生与女 生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？ 比例线段拓展 1、比例线段 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 设 a、b、c、d 为线段， 如果 a:b=c:d，b、c 叫比例内项， a、d 叫比例外项， d 叫做 a、b、c 的第四比例项； 如果 a:b=b:c， 或 b2=ac，那么 b 叫 a、c 的比例中项。 2、黄金分割如图，把线段AB分成两条线段AC 和 BC （ ACBC) ，且使 AC是 AB和 BC的比例 中项，叫做把线段AB黄金分割 , 点 C 叫做线段AB的黄金分割点， 2 15 AB AC 叫作黄金分割数（简称黄金数或黄 金比） 注意： （1）ABAC618.0； （2）一条线段有两个黄金分割点。 3、平行线分三角形两边成比例 （1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例。 如图，则有 BC DE AC AE AB AD AC EC AB DB EC AE DB AD , 【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。 （2）三角形的重心 定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点 与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 （3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边。（三角形一边平行线的判定定理） （4）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图 5） ： 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 在梯形 ACFD中， AD/CF，AB=BC ，那么 DE=EF 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 在 ACF中， CFBE/，AB=BC ，那么 AE=EF （5）三角形和梯形的中位线定理 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 如图， D、E分别为 AB、AC的中点，那么BC/DE，DE= 2 1 BC 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。 梯形 ABCD中， AD/BC，E、F 分别是 AB、CD的中点，那么EF/AD/BC， EF=2 1 (AD+BC)
