2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.2.2.1椭圆的简单几何性质》课时提升作业(含答案解析).pdf
课时提升作业 (十二 ) 椭圆的简单几何性质 (30 分钟50 分) 一、选择题 ( 每小题 3 分, 共 18 分) 1. 椭圆以两条坐标轴为对称轴, 一个顶点是 (0,13),另一个顶点是 (-10,0),则焦 点坐标为 ( ) A.( ±13,0) B.(0, ±10) C.(0, ±13) D.(0, ±) 【 解 析 】 选D. 由 条 件 知 , 椭 圆 的 焦 点 在y 轴 上 , 且a=13,b=10, 所 以 c 2=a2-b2=169-100=69, 所以焦点坐标为 (0, ). 2. 椭圆+=1 与+=1(0b0)的长轴, 若把线段 AB分为 100等份, 过每个分点作 AB 的垂线 , 分别交椭圆的上半部分于点P1,P2, ,P99,F1为椭圆的左焦点, 则 |F 1A|+|F1P1|+|F1P2|+ +|F1P99|+|F1B|的值是( ) A.98a B.99a C.100a D.101a 【 解 析 】 选D. 设F2为 椭 圆 的 右 焦 点 , 根 据 椭 圆 的 定 义 及 对 称 性 有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|, ,|F1P49|=|F2P51|, 因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|= =|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a. 故结果应为 502a+|F1P50|=101a. 【误区警示】 本题在求解过程中 , 易忽视|F1P50|, 结果选 C而致错 . 6.(2014 2吉林高二检测) 椭圆+=1的离心率为, 则 k 的值为 ( ) A.-21 B.21 C.-或 21 D.或 21 【解析】 选 C.当椭圆的焦点在x 轴上时,a 2=9,b2=4+k,得 c2=5-k, 由 = = , 得 k=-; 当焦点在 y 轴上时 ,a 2=4+k,b2=9, 得 c2=k-5, 由 = , 得 k=21. 二、填空题 ( 每小题 4 分, 共 12 分) 7.(2014 2荆州高二检测) 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点在 y 轴上, 且长轴长 为 12,离心率为, 则椭圆方程为. 【解析】 因为椭圆的焦点在y 轴上, 所以设椭圆的方程为+=1(ab0). 由得 由 a 2=b2+c2,得 b2=32. 故椭圆的方程为 :+=1. 答案:+=1 8.(2013 2上海高考) 设 AB 是椭圆 的长轴 , 点 C 在上, 且 CBA= , 若 AB=4,BC=, 则的两个焦点之间的距离为. 【解析】 如图所示 . 以 AB的中点 O为坐标原点 , 建立如图所示的坐标系 . 设 D 在 AB 上, 且 CD AB,AB=4,BC=, CBA= ? CD=1,DB=1,AD=3 ? C(1,1) 且 2a=4,把 C(1,1) 代入椭圆标准方程得+=1,a 2=b2+c2? b2= ,c2= ? 2c= . 答案: 9. 若点 O和点 F分别为椭圆+=1的中心和左焦点 , 点 P为椭圆上的任意一点 , 则2的最大值为. 【解题指南】 设 P(x0,y0), 利用数量积的坐标运算 , 结合椭圆的范围解出 . 【解析】 由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0), 则有+=1, 解得=3, 因为 =(x0+1,y 0),=(x0,y0), 所以 2=x0(x 0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3, 此二次函数对应的抛物线的 对称轴为 x0=-2, 因为-2x02, 所以当 x0=2时,2取得最大值+2+3=6. 答案:6 【误区警示】 解题中容易不考虑x0的取值范围 , 而直接求出二次函数的最值, 而 导致错误 . 三、解答题 ( 每小题 10 分,共 20 分) 10. 设椭圆的中心在原点 , 焦点在 x 轴上, 离心率 e=, 已知点 P到这个椭圆 上的点的最远距离为,求这个椭圆方程 . 【解题指南】 先设椭圆方程为+=1(ab0),M(x,y)为椭圆上的点 , 由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM| 2, 若 0b0),M(x,y)为椭圆上的点 , 由 =得 a=2b, |PM| 2=x2+ =-3+4b 2+3(-b yb), 若 0 , 故矛盾. 若 b , 则当 y=- 时,4b 2+3=7,b2=1,从而 a2=4. 所求方程为 +y 2=1. 11. 已知 F1,F2是椭圆的两个焦点 ,P 为椭圆上一点 , F1PF2=60°. (1) 求椭圆离心率的范围 . (2) 求证: F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】 (1) 设椭圆方程为+=1(ab0), |PF1|=m,|PF 2|=n, 则 m+n=2a. 在PF1F2中, 由余弦定理可知 , 4c 2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn =4a 2-3mn4a2-3 2 =4a 2-3a2=a2( 当且仅当 m=n时取等号 ). 所以 , 即 e . 又 0b0) 的离心率e= , 右焦点为 F(c,0),方程 ax 2+bx-c=0 的两个实根 x 1,x2, 则点 P(x1,x2)( ) A.必在圆 x 2+y2=2内 B.必在圆 x 2+y2=2上 C.必在圆 x 2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能 【 解 析 】 选A. 因 为x1,x2是 方 程ax 2+bx-c=0 的 两 个 实 根 , 所 以 x1+x2=- ,x12 x2=- =- . 由+=(x1+x2) 2-2x 1x2=+1, 因为 ab,所以b0),B(0,b)为上顶点 ,F(c,0)为右 焦点,设 D(x,y), 由=2, 得(c,-b)=2(x-c,y), 即 解得 所以 D. 因为点 D在椭圆上 , 所以+=1, 解得 a 2=3c2, 即 e2= , 所以 e= . 答案: 【变式训练】 (20132江苏高考改编) 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆 C的标准方 程为+=1(a0,b0), 右焦点为 F,直线 l 方程为:x=, 短轴的一个端点为B,设 原点到直线 BF的距离为 d1,F 到 l 的距离为 d2, 若 d2=d1, 则椭圆 C 的离心率 为. 【解题指南】 利用 d2=d1构建关于参数 a,b,c 的关系式 . 【解析】 由原点到直线 BF的距离为 d1得 d1=, 因 F到 l 的距离为 d2故 d2=-c, 又 d2=d1, 所以-c=? a 2-c2= ? 1-e 2= e 2, 又 = , 解得 e=. 答案: 三、解答题 ( 每小题 12 分,共 24 分) 7. 已知椭圆 x 2+ =1(00,所以 b=c, 结合 b 2=1-c2 得 b 2= , 所以椭圆的方程为x 2+ =1,即 x 2+2y2=1. 8. 已知椭圆+=1 的焦点为 F1,F2, 点 P是椭圆上的一个动点 , 求2的取 值范围. 【解析】 由+=1, 得 F1(-,0),F2(,0), 设 P(x0,y0), 则=(-x0,-y0), =(-x0,-y0). 所以2=(-5)+. 又+=1, 所以=4-, 代入, 所以2=-1, 因为 09, 所以 05, 所以-124, 所以2-1,4. 【误区警示】 本题易出现只注意到0 得出2-1 的错误, 错误的原 因是忽视了点 P(x0,y0)在椭圆上 ,x0应满足 x0-3,3. 【变式训练】 已知椭圆+=1(ab0), 若椭圆的离心率e 满足e, 且 +=2, 求椭圆长轴长的取值范围 . 【解题指南】 由+=2 把 b 2 用 a 2 表示, 代入关于离心率的不等式组中, 求出 2a 的范围 . 【解析】 由+=2 得 b 2= , 所以 e 2= =1-, 又因为e, 所以 1- , 结合 b 2= 可得 , 所以 a 2 , a, 即2a, 故长轴长的取值范围是 ,.
