《特殊平行四边形》提高练习2(有答案)资料.pdf

第 1 页 共 26 页 特殊平行四边形提高练习2 1将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：翻折纸片，使A 与 DC 边的中点M 重合，折痕 为 EF；翻折纸片，使C 落在 ME 上，点 C 的对应点为H，折痕为MG；翻折纸片，使B 落在 ME 上，点 B 的对应点恰与H 重合，折痕为GE 根据上述过程，长方形纸片的长宽之比= 2如图，正方形ABCD 的边长为4+2 2，点 E 在对角线BD 上，且 BAE=， EFAB，垂 足为点 F，则 EF 的长是 第 2 页 共 26 页 3请同学们认真阅读、研究，完成“ 类比猜想 ” 及后面的问题 习题解答： 习题如图13 （1） ， 点 E、 F 分别在正方形ABCD 的边 BC、 CD 上， EAF=45° ， 连接 EF， 则 EF=BE+DF ， 说明理由 解答：正方形ABCD 中， AB=AD， BAD=ADC =B=90° ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转90° 至 ADE， 点 F、D、E在一条直线上 EAF=90° 45° =45° =EAF，又 AE= AE，AF=AF AEF AEF（SAS ） EF=EF=DE+ DF =BE+DF 习题研究 观察分析： 观察图 （1），由解答可知， 该题有用的条件是ABCD 是四边形， 点 E、F 分别在边BC、 CD 上； AB=AD； B=D=90° ； EAF= 1 2 BAD 类比猜想：（1）在四边形ABCD 中，点 E、 F 分别在 BC、CD 上，当 AB=AD， B=D 时，还有 EF=BE+DF 吗? 研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图13（2），在菱形ABCD 中，点E、F 分别在 BC、CD 上，当 BAD=120° ， EAF=60° 时，还有EF=BE+DF 吗? （2）在四边形ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，当 AB=AD，B+ D=180° ，EAF= 1 2 BAD 时， EF=BE+DF 吗? 归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“ EF=BE+DF ” 的一般命题： 第 3 页 共 26 页 第 4 页 共 26 页 4已知 ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的一个动点（点D 不与 B，C 重合） ADF 是以 AD 为 边的等边三角形，过点F 作 BC 的平行线交射线AC 于点 E，连接 BF （1）如图 1，求证： AFB ADC； （2）请判断图1 中四边形BCEF 的形状，并说明理由； （3）若 D 点在 BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗? 如果成立， 请说明理由 第 5 页 共 26 页 5定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“ 等对角四边形” （1）已知：如图1，四边形是“ 等对角四边形” ，求， 的度数 （2）在探究 “ 等对角四边形 ” 性质时： 小红画了一个 “ 等对角四边形”（如图 2），其中，此时她发现 成立请你证明此结论 由此小红猜想：“ 对于任意 等对角四边形 ，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” 你认为她 的猜想正确吗 ? 若正确，请证明；若不正确，请举出反例 （3）已知：在 “ 等对角四边形”中，求对角 线的长 第 6 页 共 26 页 6如图， 在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿AE 折叠， 使点 D 落在边 BC 上的点 F 处， 过点 F 作分、 FGCD，交 AE 于点 G 连接 DG （1）求证：四边形DEFG 为菱形； （2）若 CD=8，CF=4，求 CE DE 的值 第 7 页 共 26 页 7四边形ABCD 是正方形， AC 与 BD，相交于点O，点 E、F 是直线 AD 上两动点，且AE=DF ， CF 所在直线与对角线BD 所在直线交于点G，连接 AG，直线 AG 交 BE 于点 H （1）如图 1，当点 E、F 在线段 AD 上时，求证：DAG=DCG；猜想 AG 与 BE 的位置关系， 并加以证明； （2）如图 2，在（ 1）条件下，连接HO，试说明HO 平分 BHG； （3）当点 E、F 运动到如图3 所示的位置时， 其它条件不变， 请将图形补充完整，并直接写出 BHO 的度数 第 8 页 共 26 页 第 9 页 共 26 页 8如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD， OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形OEFG，连接 AG，DE （1）求证： DE AG； （2） 正方形 ABCD 固定， 将正方形OEFG 绕点 O 逆时针旋转角 （0° 360° ） 得到正方形OEFG， 如图 2 在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数； 若正方形ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF长的最大值和此时的度数， 直接写出结果不 必说明理由 第 10 页 共 26 页 第 11 页 共 26 页 9已知 E，F 分别为正方形ABCD 的边 BC，CD 上的点， AF，DE 相交于点G，当 E，F 分别为边 BC，CD 的中点时，有：AF=DE； AFDE 成立 试探究下列问题： （1）如图 1，若点 E 不是边 BC 的中点， F 不是边 CD 的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍 然成立 ? （请直接回答“ 成立 ” 或“ 不成立 ” ），不需要证明） （2）如图 2，若点 E，F 分别在 CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论， 是否仍然成立? 若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）如图 3，在（ 2）的基础上，连接AE 和 BF，若点 M，N，P，Q 分别为 AE，EF，FD ，AD 的 中点，请判断四边形MNPQ 是 “ 矩形、菱形、正方形” 中的哪一种，并证明你的结论 第 12 页 共 26 页 10如图，正方形ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（ 3， 3）将正方形ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度 （0° 90° ），得到正方形ADEF，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延长线交线段 BC 于点 P，连 AP、AG （1）求证： AOG ADG ； （2）求 PAG 的度数；并判断线段OG、PG、BP 之间的数量关系，说明理由； （3）当 1=2 时，求直线PE 的解析式； （4）在（ 3）的条件下，直线PE 上是否存在点M，使以 M、A、G 为顶点的三角形是等腰三角形， 若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由 第 13 页 共 26 页 第 14 页 共 26 页 11如图 1，已知是等腰直角三角形，点是的中点 作正方形， 使点、分别在和上，连接， （1）试猜想线段和的数量关系是并证明 （2）将正方形绕点逆时针方向旋转，判断（ 1）中的结论是否仍然成 立? 请利用图2 证明你的结论； 第 15 页 共 26 页 12 已知ABCD， 对角线 AC 与 BD 相交于点O， 点 P 在边 AD 上， 过点 P 分别作 PEAC、 PFBD， 垂足分别为E、F，PEPF （1）如图，若PE， EO1，求 EPF 的度数； （2）若点 P 是 AD 的中点，点F 是 DO 的中点， BFBC34，求 BC 的长 第 16 页 共 26 页 第 17 页 共 26 页 13如图， ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点M，在 CD 上取一点N，将纸片沿MN 折叠，使MB 与 DN 交于点 K，得到 MNK （1）若 1=70° ，求 MKN 的度数； （2）当折痕MN 与对角线AC 重合时，试求MNK 的面积 （3） MNK 的面积能否小于0.5? 若能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由； 第 18 页 共 26 页 14我们知道平行四边形有很多性质现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折会发 现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD 中， B 30o ，将 ABC 沿 AC 翻折至，连接 【发现与证明】：如图1：求证： AGC 是等腰三角形； 【应用与解答】：如图2：如果 AB，BC1，与 CD 相交于点 E，求 AEC 的面积 【拓展与探索】如果AB，当 BC 的长为多少时，ABD 是直角三角形? 第 19 页 共 26 页 第 20 页 共 26 页 15如图，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边 AD（含端点）上，落点记为E，这时折 痕与边 BC 或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F 为顶点的三角形BEF 称 为矩形 ABCD 的“ 折痕三角形 ” （1）由 “ 折痕三角形 ” 的定义可知，矩形ABCD 的任意一个 “ 折痕 BEF” 是一个三角形 （2）如图，在矩形ABCD 中，AB=2， BC=4，当它的 “ 折痕 BEF” 的顶点 E 位于 AD 的中点时， 画出这个 “ 折痕 BEF” ，并求出点F 的坐标； （3）如图，在矩形ABCD 中， AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“ 折痕 BEF” ? 若存在， 说明理由，并求出此时点E 的坐标 ? 若不存在，为什么? 第 21 页 共 26 页 第 22 页 共 26 页 16如图，ABCD 中，点 E 是 BC 边上的一点，且DE=BC，过点 A 作 AFCD 于点 F，交 DE 于点 G，连结 AE、EF （1）若 AE 平分 BAF，求证： BE=EG； （2）若点是边上的中点，求证： 第 23 页 共 26 页 17如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是 BC 边上任意一点，DEAG 于点 E，BFDE 且交 AG 于点 F （1）求证： AE=BF； （2）如图 1，连接 DF 、CE，探究线段DF 与 CE 的关系并证明； （3）如图 2，若 AB=，G 为 CB 中点，连接CF，直接写出四边形CDEF 的面积 第 24 页 共 26 页 第 25 页 共 26 页 18 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点O， CAB 的平分线分别交BD、 BC 于点 E、 F， 作 BHAF 于点 H，交 AC 于点 G，连接 GE、GF （1）求证： OAE OBG； （2）求证：四边形BFGE 是菱形 第 26 页 共 26 页