第一章图形与证明(二)综合测试题(苏科版九年级上).pdf

1 A E D G H B F C 图 5 “图形与证明（二） ”综合测试题 1如图 1，菱形 ABCD 中，AE 垂直平分BC，垂足为 E，AB=4则菱形 ABCD 的面积是，对角线 BD 的长是 2如图 2，在 ABC 中，C=90° ，AD 平分 C AB，BC=8cm ，BD=5cm ， ，那么 D 点到直线AB 的距离是 cm 3如图 3，有一张面积为1 的正方形纸片ABCD ，M， N 分别是 AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至 MN 上，落在 P 点的位置，折痕为BQ，连结 PQ，则 PQ= 4如图 4，若将边长为1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转30到正方形AB C D，则图中阴影部分的 面积为 5如图 5，等腰梯形ABCD 中， AD BC，点 E 是线段 AD 上的一个动点 (E 与 A、 D 不重合 )，G、F、H 分别是 BE、BC、CE 的中点 （1）试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由 （2）当点 E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是 菱形 ?并加以证明 （3）若（ 2）中的菱形EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段 BC 的关系，并证明你的结论 四、创新题 6我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解 答下列问题： （1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 （2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中 一条对角线的大小关系，并说明你的结论 A D C E B 图 1 A B D C 图 2 图 3 A B C D B D C 图 4 2 9将 n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，, ， An分别是正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分 )的面积和为 10如图， O 为矩形 ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终 与 BC、 AB 相交，交点分别为M、N如果 AB=8，AD =12，O M =x,ON=y则y与x的关系是 11.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和 8，点 P 是对角线AC 上的一个动点，点M、 N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 _. 12 如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连接DP 交 AC 于点 Q. （1）试证明：无论点P 运动到 AB 上何处时，都有ADQABQ ； （2）若点 P 从点 A 运动到点B，再继续在BC 上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位 置时，ADQ恰为等腰三角形. N O A B D C M 第 14 题 3 13.情境观察： 将矩形 ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到 ABC 和A CD ，如图 1 所示 .将A CD的顶点 A 与点 A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D、A(A )、B 在同一条直线上，如图2 所示观察图2 可知：与 BC 相等的线段是， CAC= 问题探究 如图 3，ABC 中，AGBC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以AB、AC 为直角边，向 ABC 外作等 腰 Rt ABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之 间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸 如图 4， ABC 中， AGBC 于点 G， 分别以 AB、 AC 为一边向 ABC 外作矩形ABME 和矩形 ACNF ， 射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB=kAE，AC=kAF，试探究HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由. N 图 3 A BC E F G P Q 图 1 图 2 C' A'BA DC A B CD B C DA(A') C' 图 4 M N G F E CB A H 4 14.如图，将直角梯形OABC 放在平面直角坐标系中，已知OA 5， OC4，BCOA， BC3，点 E在 OA 上，且 OE1，连结 OB、BE (1)求证： OBCABE; (2)如图，过点 B 作 BDx 轴于 D，点 P 在直线 BD 上运动，连结PC、P、PA 和 CE 当PCE 的周长最短时，求点P 的坐标； 如果点 P 在 x 轴上方，且满足SCEP：SABP2：1，求 DP 的长 5 15 在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形OABC 的两顶点A、C分别在 y 轴、x 轴的正半轴上， 点 O在原点 . 现将正方形OABC 绕 O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=xAB边交 直线 y=xM ，BC边交 x 轴于点 N（如图） . （1）求边 OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和 AC平行时，求正方形OABC 旋转的度数； （3）试证明在旋转过程中, MNO 的边 MN上的高为定值； （4）设 MBN 的周长为p，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化， 请给予证明，并求出p 的值。 y x y=x N M O C B A 6 参考答案 15.（1） A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，OA 旋转了 45 度 OA 在旋转过程中所扫过的面积为0.5 （2） MN AC ， BMN= BAC=45 ° ， BNM= BCA=45 度 BMN= BNM BM=BN 又 BA=BC ， AM=CN 又 OA=OC ， OAM= OCN ， OAM OCN AOM= CON AOM= 1/2 （90° -45° ）=22.5 度 旋转过程中，当MN 和 AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45° -22.5 °=22.5 度 （3） MN 边上的高为2 （4）证明：延长BA 交 y 轴于 E 点，则 AOE=45 ° -AOM ， CON=90 ° -45° -AOM=45 ° -AOM ， AOE= CON 又 OA=OC ， OAE=180 ° -90 ° =90° = OCN OAE OCN OE=ON ，AE=CN 又 MOE= MON=45 ° ，OM=OM ， OME OMN MN=ME=AM+AE MN=AM+CN ， p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4 在旋转正方形OABC 的过程中， p 值无变化 16.探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“ 模块 ” 化例 如 在 相 似 三 角 形 中 ， K字 形 是 非 常 重 要 的 基 本 图 形 ， 可 以 建 立 如 下 的 “ 模 块 ” （ 如 图 ）： (1)请就图 证明上述 “ 模块 ” 的合理性； (2)请直接 利用上述 “ 模块 ” 的结论解决下面两个问题： 如图，已知点A( 2，1)，点 B 在直线 y 2x3 上运动，若 AOB 90° ，求此时点B 的坐标； 如图，过点 A(2，1)作 x 轴与 y 轴的平行线，交直线y 2x 3 于点 C、D，求点 A 关于直线 CD 的对称点E 的坐标 7 17. （1）如图（ 1） ，正方形AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD：GC： EB 的结 果（不必写计算过程） ； （2）将图（ 1）中的正方形AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2） ，求 HD：GC：EB； （3）把图（ 2）中的正方形都换成矩形，如图（3） ，且已知 DA ：AB=HA ：AE=m ：n，此时 HD ：GC： EB 的值与（ 2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程） 18.如图， 在ABD和ACE中，,ABAD ACAEBADCAE，连接,BC DE相交于点F，BC 与AD相交于点G （1）试判断线段,BC DE的数量关系，并说明理由； （2）如果ABCCBD，那么线段FD是线段FG 和FB的比例中项吗？并说明理由. A E D H G C (3) B (1) E D H C A G B B D C A G E F (2) E DC H G B A 8 19. 如图 1，已知直线y 2x4 与两坐标轴分别交于点A、B，点 C 为线段 OA 上一动点， 连结 BC，作 BC 的中垂线分别交OB、AB 交于点 D、E (l)当点 C 与点 O 重合时， DE ； (2)当 CEOB 时，证明此时四边形 BDCE 为菱形； (3)在点 C 的运动过程中，直接写出OD 的 取值范围 20.如图，已知P为AOB的边OA上的一点，且2OP.以P为顶点的MPN的两边分别交射线OB于 MN，两点， 且60MPNAOB当MPN以点P为旋转中心， PM 边与PO重合的位置开始， 按逆时针方向旋转 （MPN保持不变） 时，MN，两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动设 ,OMx ONy（0yx） ，POM的面积为S （1）判断： OPN与PMN是否相似，并说明理由； （2）写出 y与x之间的关系式； （3）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围 O A B 备用图图 1 O A B D E M N B P A O 9 21.知识迁移 当0a且0x时，因为 2 () a x x 0,所以2 a xa x 0, 从而 a x x 2 a(当xa时取等号 ). 记函数(0,0) a yxax x , 由上述结论可知：当xa时 , 该函数有最小值为2 a. 直接应用 已知函数 1 (0)yx x与函数 2 1 (0)yx x , 则当x 时 , 12 yy取得最小值为 . 变形应用 已知函数 1 1(1)yxx与函数 2 2 (1)4(1)yxx, 求 2 1 y y 的最小值 , 并指出取得该最小 值时相应的x的值 . 实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用, 共360元；二是燃油费, 每千米为 1.6元；三是折旧费, 它与路程的平方成正比, 比例系数为0.001. 设该汽车一次运输的路程为x千米 , 求当x为多少时 ,该汽车平均每千米的运输成本 最低？最低是多少元？ 10 7如图 7，已知有四个动点P、Q、E、F 分别从正方形ABCD 的顶点 A、B、C、D 同时出发， 沿 AB 、 BC、CD、DA 以同样的速度匀速向B、 C、D、A 移动 （1）求证：四边形PQEF 是正方形 （2）PE 是否总过某一点，并说明理由 （3）四边形PQEF 的顶点在何处时哦，其面积有最小值和最大值，并求其最小值和最大值 参考答案： 183，4323 3. 3 3 4 3 1 3 5 （1）四边形 EGFH 是平行四边形 理由：因为点G、F、H 分别是 BE、BC 、CE 中点，所以GFEH ，GF=EH 所以四边形EGFH 是平 行四边形 （2）点点 E 是 AD 中点时，四边形EGFH 是菱形 理由：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以 AB=CD ， A= D 因为 AE=DE ， 所以 ABE DCE 所 以 BE=CE 因为点G、H 分别是 BE、CE 中点，所以EG=EH又由（ 1）知四边形EGFH 是平行四边形， 所以四边形EGFH 是菱形 （3）EFBC ，EF= 2 1 BC 理由：因为四边形EGFH 是正方形，所以EG=EH ， BEC=90o因为点G、H 分别是 BE、CE 中点， 所以 BE=EC 即 BEC 为等腰直角三角形因为点F 是 BC 中点，所以EFBC，EF= 2 1 BC 四、 6 （1）等腰梯形，矩形等 （2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一 条对角线的长 已知：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点 O，ACBD ，且 AOD 60°试说明： BCAD AC 理由：过点D 作 DFAC，在 DF 上截取 DE，使 DEAC ，连结 CE、BE，故 EDO 60°，四边 形 ACED 是平行四边形，所以BDE 是等边三角形，CEAD ，所以 DEBEAC 当 BC 与 CE 不在同一条直线上时（如下图） D 图 7 A F P O E B Q C 11 在 BCE 中，有 BCCEBE，所以 BC AD AC 当 BC 与 CE 在同一条直线上时（如下图） 则 BCCEBE，因此BCAD AC 综合、，得BCAD AC 即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一 条对角线的长 7 （1）证明：由题意，得AP=BQ=CE=DF 因为四边形ABCD 是正方形，所以BP=CQ=DE=AF ， A= B= C=D=90o，所以 APF BQP CEQ DFE，所以 PF=PQ=QE=EF ，AFP= BPQ又 因为 AFP+ APF=90 o，所以 BPQ+APF=90 o，所以 QPE=90o，所以四边形PQEF 是正方形 （2）连结 AC 交 PE于点 O，因为正方形ABCD 中，AB CD，所以 BAC= DCA 又因为 AOP= COE，AP= CE ，所以 AOP COE，所以 AO=CO ，所以 PE 总过 AC 的中点 （3） 因为正方形 PQEF 的面积为 PQ 2 又 RtBPQ 中， PQ2=PB2+BQ2 =PB 2+AP2= 2 1 ( PB+ AP) 2+(BP-AP)2 = 2 1 AB 2+(BP-AP)2所以当 BP=AP 即 P、 Q、E、F 是各边中点时，PQ 2 取得最小值，最小值为 2 1 AB 2， 即正方形 PQEF 的面积的最小值为 2 1 AB 2 当 BP 或 AP 有一个取0 即点 P、Q、E、F 移到各顶点时，PQ2取得最大值，即正方形PQEF 的面积的 最大值为 AB 2 22如图，正方形ABCD 的边长为2，点 E 在 AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设 AFC 的面积为 S，则 AS=2 BS=4 CS=2.4 DS 与 BE 长度有关（） 12 23. 如图，在RtABC 中， C=90° ，AC=6 ，BC=8动点 P 从点 A 开始沿折线AC-CB-BA运动，点P 在 AC ，CB，BA 边上运动， 速度分别为每秒3，4，5 个单位 直线 L 从与 AC 重合的位置开始，以每秒 4 3 个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持LAC ，且分别与CB，AB 边交于 E，F 两点，点 P 与直线 l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点 P 第一次回到点A 时，点 P和直线 l 同时停止运动 （1）当 t=5 秒时，点P走过的路径长为 ；当 t= 秒时，点 P 与点 E 重合； （2）当点 P 在 AC 边上运动时，将 PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在 EF 上，点 F 的 对应点记为点N，当 ENAB 时，求 t 的值； （3）当点 P 在折线 AC-CB-BA上运动时，作点P 关于直线 EF 的对称点， 记为点 Q在点 P 与直线 l 运动 的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值 A F N B P l E C M 备用图