7.2估计量的评价标准.ppt

,§7.2 估计量的评价标准,上一节我们看到，对于总体X的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量这就提出一个问题，当总体的一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个好呢？或者说怎样评价一个估计量的统计性能呢？下面给出几个常用的评价准则 一无偏性,对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同换句话说，我们希望估计量的均值（数学期望）应等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性(Unbiasedness)的要求 定义7.1 设是来自总体X的一个样本，,是总体参数 的一个估计量，若 （7-7） 则称 是 的无偏估计量(Unbiased Estimator) 一个估计量如果不是无偏的就称它是有偏估计量 称为估计量 的偏差. 无偏估计的实际意义就是无系统偏差估计量是否无偏是评价估计量好坏的一个重要标准 若 ，但有 ，则称 是 的渐近无偏估计,二有效性,比较两个无偏估计量优劣的一个重要标准就是观察它们哪一个取值更集中于待估参数的真值附近，即哪一个估计量的方差更小，这就是下面给出的有效性(Effectiveness)概念 定义7.2 设 与 都是总体参数 的无偏估计，若 （7-8） 则称 比 更有效,三 相合性,在 的所有无偏估计量中，如果存在一个估计量 ，它的方差最小，则此估计量应当最好，并称此估计量 为 的最小方差无偏估计，也称其为最有效的可以证明，对于正态总体 ， 是 的最小方差无偏估计有效性的意义是，用 估计 时，除无系统偏差外，还需考虑估计的精度,估计量 的无偏性和有效性都是在样本容量n固定的情况下讨论的由于估计量 和样本容量n有关，我们自然希望当n很大时，一次抽样得出的的 值能以很大的概率充分接近被估参数 ，这就提出了相合性(Consistency)（一致性）的要求 定义7.3 设 是总体参数 的估计量，如果对任意 都有 （7-9） 则称 是 的相合估计量（或一致估计量）,由第五章定义5.2及（7-9）知， 是 的相合估计就意味着 依概率收敛于 . 根据大数定律，无论总体X服从什么分布，只要其k阶原点矩 存在，则对任意 都有 所以样本的k阶原点矩 始终是总体k阶原点矩 的相合估计. 进一步地, 可以证明：只要相应的总体矩存在，矩估计必定是相合估计特别地， 总是 的相合估计, 样本方差 和样本的二阶中,心矩 都是总体方差 的相合估计， 和 又都是 的相合估计 由相合性定义可以看出，若 是 的相合估计，当样本容量很大时，一次抽样得到的 值便可作为 的较好近似值,