高考数学(人教a版,理科)题库：二项式定理(含答案).pdf

第 3 讲二项式定理 一、选择题 1二项式 2x1 x 6 的展开式中的常数项是 ( ) A20 B20 C160 D160 解析 二项式 (2 x 1 x) 6 的展开式的通项是Tr1C r 6·(2x) 6r · 1 x r C r 6·2 6 r·(1)r ·x 62r. 令 62r0，得 r 3，因此二项式 (2x1 x) 6 的展开式中的常 数项是 C 3 6·2 63·(1)3160. 答案 D 2 若二项式 x 2 x n 的展开式中第 5 项是常数项，则正整数 n 的值可能为 ( ) A6 B10 C12 D15 解析Tr1C r n( x) nr 2 x r( 2)r C r nxn3r 2 ，当 r 4 时， n3r 2 0，又 n N * ，n12. 答案C 3已知 xa x 8 展开式中常数项为1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系 数的和是() A2 8 B3 8 C1 或 3 8 D1 或 2 8 解析由题意知 C4 8· (a) 41 120，解得 a± 2，令 x1，得展开式各项系数 和为(1a) 81 或 38. 答案C 4设 5x 1 x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N，若 M N 240，则展开式中 x 的系数为 ( ) A150 B150 C300 D300 解析由已知条件 4 n2n240，解得 n4， Tr1C r 4(5 x) 4r 1 x r (1) r 5 4r C r 4x4 3r 2 ， 令 4 3r 2 1，得 r2，T3150x. 答案B 5设 aZ，且 0a0)与 y|logax|的大致图象如图所示， 所以 n2.故(x1)n(x1)11(x21)2(x21)11， 所以 a12C10112119. 答案B 二、填空题 7 x 1 3 x 18 的展开式中含 x 15 的项的系数为 _( 结果用数值表示 ) 解析Tr1Cr18x18 r 1 3 x r(1)rCr 18 1 3 rx183 2r，令 18 3 2r15，解得 r 2.所以所求系数为 (1)2· C2 18 1 3 217. 答案17 8已知 (1 xx 2) x 1 x 3 n 的展开式中没有常数项，nN * 且 2n8，则 n _. 解析 x 1 x 3 n 展开式中的通项为 Tr1C r nx nr1 x 3 r C r nx n4r (r 0,1,2 ， 8) ， 将 n2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知 n5. 答案 n5 9若(cos x) 5 的展开式中 x 3 的系数为 2，则 sin 2 2 _. 解析 由二项式定理得， x 3 的系数为 C 3 5cos 22， cos 21 5，故 sin 2 2 cos22cos 213 5. 答案 3 5 10设二项式 x a x 6(a0)的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B.若 B4A， 则 a 的值是 _ 解析由 Tr1C r 6x 6r a x1 2 rCr 6(a) rx63 2r， 得 BC46(a)4，AC26(a)2，B4A，a0，a2. 答案2 三、解答题 11已知二项式 3 x 1 x n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求 n；(2)求展开式中的常数项 解(1)由题意，得 C 0 nC 1 nC 2 n C n n256，即 2 n256，解得 n8. (2)该二项展开式中的第r1 项为 Tr1C r 8(3x) 8r· 1 x rCr 8· x84r 3 ，令84r 3 0，得 r2，此时，常数项为T3C 2 828. 12已知等差数列 2,5,8 ，与等比数列 2,4,8 ，求两数列公共项按原来顺序 排列构成新数列 Cn的通项公式 解等差数列 2,5,8 ，的通项公式为an3n1， 等比数列 2,4,8 ，的通项公式为bk 2 k ，令 3n12 k ，nN * ，k N * ， 即 n 2 k 1 3 k 1 3 C 0 k 3 k C 1 k 3 k 1 Ck 1 k k 1Ck k k 1 3 ， 当 k 2m 1 时，m N *， n C 0 2m 13 2m1C1 2m 13 2m2 C2m2 2m13 3 N * ， Cn b 2n12 2n1( nN*) 13已知 (a 21)n 展开式中的各项系数之和等于 16 5 x 21 x 5 的展开式的常数项， 而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求 a 的值 解 16 5 x 21 x 5的展开式的通项为 T r1C r 5 16 5 x 2 5 r·1 x r 16 5 5r C r 5x205r 2 ， 令 205r0，得 r4，故常数项 T5C4 5× 16 5 16.又(a21)n展开式的各项系 数之和等于2 n，由题意知 2 n16，得 n4.由二项式系数的性质知， (a 21)n 展开式中系数最大的项是中间项T3，故有 C24a454，解得 a± 3. 14已知 1 22x n， (1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式 中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项 解(1)C 4 nC 6 n2C 5 n，n 221n980. n7 或 n14， 当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是T4和 T5. T4的系数为 C3 7 1 2 42335 2 ， T5的系数为 C 4 7 1 2 32470， 当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是T8. T8的系数为 C 7 14 1 2 7273 432. (2)C 0 nC1nC2n79，n2n1560. n12 或 n13(舍去)设 Tk1项的系数最大， 1 22x 12 1 2 12(14x)12， C k 124 kCk1 124 k1， C k 124 kCk1 124 k1. 9.4k10.4，k10. 展开式中系数最大的项为T11， T11C 10 12· 1 2 2· 210· x1016 896x10. 高考资源网（ ks5u.com）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ （上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501