【优质文档】二次函数竞赛题型解题策略.pdf

学习必备欢迎下载 二次函数的竞赛题型解题策略 二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富， 又易成为多种数学思想 方法的载体，因此， 深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热 点问题之一 本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家 参考 一、二次函数的系数a、b、c 及相关代数式的取值问题 抛物线 y=ax 2+bx+c 中二次项系数 a描述抛物线的开口， a0 向上， a0 时交点处 x 轴上方， c0设抛物线与 x 轴的 两个交点的横坐标分别为x1，x2，即 x1、x2为方程 ax 2+bx+c=0 的两个根，由题设 x1x20，故 b0，b2ac |OA|=|x1|0， a(1) 2+b(1)+c0，即 a+cb b，a+c都是整数， a+cb+1 由，得 a+c2ac+1，(ca) 21，又由知， ca1，ca+1，即 a(c+1) 2( 1+1) 2=4 学习必备欢迎下载 a5，又 b2ac2154，b5 取 a=5，b=5，c=1 时，抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意 故 a+b+c 的最小值为 5+5+1=11 三、二次函数的图象与面积问题 求抛物线的顶点、 两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成 的面积，关键是用含系数a、b、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问 题与系数 a、b、c 建立联系 例 4 如果 y=x 2(k1)xk1 与 x 轴的交点为 A，B，顶点为 C，那么 ABC 的面积的最小值是（） A、1 B、2 C、3 D、4 解：由于 =(k1) 2+4(k+1)=( k+1)2+40，所以对于任意实数 k，抛物线与 x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则： |AB|=524)()( 2 21 2 21 2 21 kkxxxxxx 又抛物线的顶点 c 坐标是 ( 4 52 , 2 1 2 kkk )， 因此 S ABC=52 2 12 kk· 32 2 ) 52( 8 1 4 52 kk kk 因为 k 2+2k+5=( k+1)2+44，当 k=1 时等于成立， 所以， SABC14 8 1 3 ，故选 A 四、二次函数的最值问题 定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值 )如果顶点横 坐标在区间内， 则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐 标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值定义域是开区间时，二次函数 学习必备欢迎下载 只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值 例 5 已知二次函数 y=x 2x2 及实数 a2求： (1)函数在 20，且acb4 2 =b2ac，求 b 24ac的最小值 解： 令 y=ax 2+bx+c， 由于 a0， 则=b24ac0， 所以，此二次函数的图像是如图2 所示 的一条开口向下的抛物线， 且与 x 轴有两个不 同的交点 A(x1，0)，B(x2，0) 因为 x1x2= a c 0 B、M=0 C、M0，且 x= 7 3 时 y0答案： 4) 5、 已知函数 y=(a+2)x 22(a21)x+1， 其中自变量 x 为正整数，a也是正整数， 求 x 为何值时，函数值最小 (答案： x= ,4, 1 ,4, 32 ,41, 1 ,1, 1 时当 时当或 时当 时当 aa a aa a (其中 a为正整数 )，函数值最小 6、已知关于 x 的方程 x 2(2m3)x+m4=0 的二根为 1，2，且满足 30，求 m 的取值范围 (答案： 5 6 7 4 m) 7、已知关于正整数n 的二次式 y=n 2+an(a 为实数 )，若当且仅当 n=5 时，y 有最小值，则实数a的取值范围是 (答案： 11a9) A B y x O y= 2x+3 图 4