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学习必备欢迎下载 初三数学相似三角形专题练习题 1在 ABC中， AB AC 10，点 D是边 BC上一动点（不与B，C重合） ，连结 AD ，作 ADE B，DE交 AC于点 E，且 cos 5 4 有下列结论：ADE ACD ； 当 BD6 时，ABD与 DCE全等；当 DCE为直角三角形时， BD8； 3.6 AE 10 其 中正确的结论是（） A B C D 2如图所示，在正方形ABCD 中， E是 BC的中点， F 是 CD上的一点， AE EF，下列结 论： BAE 30°； CE 2AB CF； CF 3 1 FD； ABE AEF.其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC 相似的是（） 4如图，已知Rt ABC ，D1是斜边AB的中点，过D1作 D1E1AC于 E1，连接 BE1交 CD1 于 D2；过 D2作 D2E2AC于 E2，连接 BE2交 CD1于 D3；过 D3作 D3E3AC于 E3，如此 继续，可以依次得到点D4、D5、 Dn，分别记 BD1E1、 BD2E2、 BD3E3、 BDnEn的面积为S1、S2、S3， Sn，则（） F E B C A D 学习必备欢迎下载 A ABCn S n S 4 1 B ABCn S n S 3 1 C ABCn S n S ) 1(2 1 D ABCn S n S 2 ) 1( 1 5 如图， 在平行四边形 ABCD中，E是CD上的一点，DEEC=23，连接,AE BE BD， 且 AEBD，交于点F，则 DEF S EBF S ABF S = （） A2525 B4925 C235 D41025 6 如图， 在 ABCD 中， 点 E是边 AD的中点，EC交对角线 BD于点 F， 则 EFFC等于（） A32 B31 C12 D 11 7如图，点P在 ABC的边 AC上，要判断 ABP ACB ，添加一个条件，不正确的是 （） A ABP= C B APB= ABC C = D= 学习必备欢迎下载 8 （2014?宿迁） 如图， 在直角梯形ABCD 中，AD BC ，ABC=90 °， AB=8 ，AD=3 ，BC=4 ， 点 P为 AB边上一动点， 若 PAD与 PBC是相似三角形， 则满足条件的点P的个数是（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9如图， ABC中， C90°， AC 6，BC8，将 ABC沿 DE折叠，使点B 落在 AC 边上的 F处，并且DFBC ，则 BD的长是（） A 40 9 B 50 9 C 15 4 D 25 4 10如图，已知 ABC中， ABC=45 °， F是高 AD和 BE的交点， CD=4 ，则线段 DF的长 是 . 11已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到 A1，以 A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2， 延长 C2D2到 A2，以 A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3( 如图所示 ) ，以此类推，若A1C1=2， 且点 A，D2， D3， D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是 _ 学习必备欢迎下载 12 如图，点 P是平行四边形ABCD 中边 AB上的一点， 射线 CP交的延长线于点， 若，则 . 13如图， ABC与AEF中，AB=AE ，BC=EF ，B=E，AB 交 EF于 D给出下列结论： AFC= C； DE=CF； ADE FDB ； BFD= CAF 其中正确的结论是 14 如图， ABC中，D为 BC 上一点，BAD= C，AB=6 ， BD=4 ， 则 CD的长为 _ 15如图，在矩形ABCD 中， E是 AD边的中点， BE AC于点 F，连接 DF，分析下列五个 结论： AEF CAB ； CF=2AF ； DF=DC ； S四边形 CDEF= 5 2 SABF，其中正确的结论有 个 DAE 2 5 AP CD AEP BCP S S 学习必备欢迎下载 16如图，正方形ABCD的边长为 4，E是 BC边的中点，点P在射线 AD上，过 P作 PF AE于 F，设 PA=x 。 （ 1）求证： PFA ABE ； （ 2）若以 P， F，E为顶点的三角形也与ABE相似，试求x 的值； 17小强遇到这样一个问题：如图1，在 ABC中，点 D在线段 BC上， BAD=75 °， CAD=30 °, AD=2 ，BD=2DC ，求 AC的长 小强发现，过点C作 CE AB，交 AD的延长线于点E,通过构造 ACE ，经过推理和计算 能够使问题得到解决（如图2） （ 1）请回答：ACE的度数为，AC的长为 参考小强思考问题的方法，解决问题： ADP F BEC 学习必备欢迎下载 （ 2）如图 3，在四边形ABCD 中， BAC=90 °， CAD=30 °， ADC=75 °， AC与 BD交 于点 E，AE=2 ，BE=2ED ，求 BC的长 18如图，已知矩形ABCD的边长3cm6cmABBC，某一时刻，动点M从A 点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/ s的速度向A点匀速运动，问： （ 1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的 1 9 ？ （ 2） 是否存在时刻t ， 使以 A,M,N 为顶点的三角形与ACD相似？若存在， 求 t 的值； 若不存在，请说明理由 19如图，四边形ABCD 中， AC平分 DAB ， ADC= ACB=90 °， E为 AB的中点 （ 1）求证： AC 2=AB AD； （ 2）求证： CE AD ； 学习必备欢迎下载 （ 3）若 AD=5 ，AB=7 ，求 AC AF 的值 20如图，在 ABC中， AB=5，AC=6，BC=7，点 D， E分别在 AB，AC上， DEBC （ 1）当 AD：DB=4：3 时，求 DE长； （ 2）当 ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长 21 （2015?南京）如图，ABC中， CD是边 AB上的高，且= （ 1）求证： ACD CBD ； （ 2）求 ACB的大小 学习必备欢迎下载 22如图 ABC中， DEBC ， 2 3 AD AB =，M为 BC上一点， AM交 DE于 N （ 1）若 AE=4 ，求 EC的长； （ 2）若 M为 BC的中点， ABC SD =36，求 ADN S 23如图， ABC是等边三角形，D、E在 BC边所在的直线上，且BC 2=BD ?CE （ 1）求 DAE的度数 学习必备欢迎下载 （ 2）求证： AD 2=DB ?DE 学习必备欢迎下载 参考答案 1C 【解析】 试题分析：根据题意可得ADE= B=C， DAE= CAD ，则 ADE ACD ；当 BD=6时，则 ABD和 DCE全等， AE的取值范围为3.6 AE 10. 考点：三角形相似. 2C 【解析】 试题分析：因为正方形ABCD中， E 是 BC 的中点，所以tan BAE= 1 2 BE AB ， 所 以 BAE 30°，故 错 误 ； 因为 BAE+ BEA=90 °， BEA+ CEF=90 °； 所以 BAE= CEF ， 又因为 B=C=90°，所以 ABE ECF则 AB：BE=EC ：CF，因为 BE=CE ，所以 AB ：CE=EC ： CF，即 CE 2=AB CF，所以正确； 设 CF=a， 则 BE=CE=2a， AB=CD=AD=4a， DF=3a， AE=25a， EF=5a， AF=5a ， 2 52 5 55 AEa AFa ， 22 5 5 5 BEa EF a ， BEAE EFAF ， ABE AEF， 故 正 确 CF= 1 2 EC= 1 4 CD， CF 3 1 FD；故 正 确 ； 故 选 ： C. 考点： 1. 正方形的性质2. 相似三角形的判定与性质. 3B 【解析】 试题分析：两个三角形的三边分别对应成比例，则两个三角形相似.本题只要分别求出这五 个三角形的三边长，然后判断边是否成比例即可得出答案. 考点：三角形相似的判定 4D 【解析】 试题解析：SBDnEn= 1 2 S CDnEnCEn ， 学习必备欢迎下载 DnEn=D1E1CEn 11 1 D E CE ，而 D1E1= 1 2 BC ， CE1= 1 2 AC ， SBDnEn= 1 2 × 1 2 BC× 1 2 n CE AC CEn=1 2 × n BC CE AC CEn=1 2 BC AC n CE AC 2 =SABC n CE AC 2， 延长 CD1至 F使得 D1F=CD1， 四边形ACBF为矩形 1 11 1 n nnnnn n CE CED ECEBFCE ACAFAFCEAC ， 对于 1 1 nnnn n CED ECE ACAFCEAC ， 两边均取倒数， 1 1 nn ACAC CECE ， 即是 1 1 nn ACAC CECE n AC CE 构成等差数列 学习必备欢迎下载 而 n AC CE =2， 故 n AC CE =2+1 （n-1 ）=n+1， SBDnEn=SABC n CE AC 2， 则 Sn= 2 1 (n1) S ABC 故选 D 考点： 1. 相似三角形的判定与性质；2. 三角形的重心 5D 【解析】 试题解析：根据图形知：DEF的边 DF和 BFE的边 BF上的高相等，并设这个高为h， 四边形ABCD是平行四边形， DC=AB ，DC AB ， DE：EC=2 ：3， DE：AB=2 ：5， DC AB ， DEF BAF ， 24 () 25 DEF ABF D SAB SE ， 2 5 DEDF ABBF ， 学习必备欢迎下载 1 2 1 24 10 2 5 DEF EBF DFh S S BF F B h D F SDEF：S EBF：SABF=4：10： 25， 故选 D 考点： 1. 相似三角形的判定与性质；2. 三角形的面积；3. 平行四边形的性质 6C 【解析】 试题分析： 根据平行四边形可得：DE=1 2 AD=1 2 BC ，EFD CFB ， 则：EF：FC=ED ：BC=1 2 BC： BC=1:2. 考点：三角形相似. 7D 【解析】 试题分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可 解： A、当 ABP= C时，又 A=A， ABP ACB ，故此选项错误； B、当 APB= ABC时，又 A=A ， ABP ACB ，故此选项错误； C、当=时，又 A=A， ABP ACB ，故此选项错误； D、无法得到ABP ACB ，故此选项正确 故选： D 考点：相似三角形的判定 8C 【解析】 试题分析：由于PAD= PBC=90 °，故要使PAD与 PBC相似，分两种情况讨论：APD BPC ， APD BCP ， 这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长， 即可得到P点的个数 学习必备欢迎下载 解： AB BC ， B=90 ° ADBC ， A=180 ° B=90 °， PAD= PBC=90 ° AB=8 ，AD=3，BC=4 ， 设 AP的长为 x，则 BP长为 8x 若 AB边上存在P点，使 PAD与 PBC相似，那么分两种情况： 若 APD BPC ，则 AP ：BP=AD ：BC ，即 x： （8x）=3：4，解得 x=； 若 APD BCP ，则 AP ：BC=AD ：BP ，即 x：4=3： （8x） ，解得 x=2 或 x=6 满足条件的点P的个数是 3 个， 故选： C 考点：相似三角形的判定；直角梯形 9A 【解析】 试题分析：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理的应用，利 用相似三角形的性质列出关于x 的方程是解题的关键先利用勾股定理求得AB的长，然后 由翻折的性质可知DF=DB ，由 DFBC可知 AFD ACB ，利用相似三角形的性质列出方程 求解即可 解：在 RtABC中，由勾股定理得：AB= 22 ACBC= 22 68=10 由翻折的性质可知：DF=DB 设 BD=x ，则 DF=x DFBC ， 学习必备欢迎下载 AFD ACB AD AB DF BC ，即 10 10 x 8 x 解得： x= 40 9 故选： A 考点：翻折变换（折叠问题） 10 4 【解析】 试题分析：根据题意可得AD=BD ，根据垂直可得C=BFD ， BDF= ADC=90 °，则 ADC BDF ，则 DF=CD=4. 考点：三角形全等 11 8 7 3 2 【解析】 试题解析：延长D4A和 C1B交于 O， ABA2C1， AOB D2OC2， 222 OBAB OCD C ， AB=BC1=1，D 2C2=C1C2=2， 学习必备欢迎下载 222 1 2 OBAB OCD C OC2=2OB ， OB=BC 2=3， OC2=6， 设正方形A2C2C3D3的边长为 x1， 同理证得：D2OC2 D3OC3， 11 26 6xx ，解得， x1=3， 正方形A2C2C3D3的边长为 3， 设正方形A3C3C4D4的边长为 x2， 同理证得：D3OC3 D4OC4， 22 39 9xx ，解得 x2= 9 2 ， 正方形A3C3C4D4的边长为 9 2 ； 设正方形A4C4C5D5的边长为 x3， 同理证得：D4OC4 D5OC5， 3 3 927 22 27 2 x x ，解得 x= 27 4 ， 正方形A4C4C5D5的边长为 27 4 ； 以此类推 正方形 An-1Cn-1CnDn的边长为 2 3 3 2 n n ； 学习必备欢迎下载 正方形A9C9C10D10的边长为 8 7 3 2 考点： 1. 相似三角形的判定与性质；2. 正方形的性质 12 4 9 【解析】 试题解析：四边形ABCD 是平行四边形， ABCD ，AB=CD ， AEP CBP ， 2 5 AP CD ， 2 5 AP AB ， 2 3 AP PB ， 2224 ()( ) 39 AEP BCP SAP SPB 考点： 1. 相似三角形的判定与性质；2. 平行四边形的性质. 13 【解析】 试题分析：先根据已知条件证明AEF ABC，从中找出对应角或对应边然后根据角之间 的关系找相似，即可解答 解：在 ABC与 AEF中 AB=AE ， BC=EF ， B=E AEF ABC， AF=AC ， AFC= C； 学习必备欢迎下载 由 B=E， ADE=FDB ， 可知： ADE FDB； EAF= BAC， EAD= CAF ， 由ADE FD，B 可得 EAD=BFD ， BFD= CAF 综上可知： 正确 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 14 5 【解析】 试题解析：BAD= C， B=B， BAD BCA ， BABD BCBA AB=6，BD=4 ， 64 6BC BC=9， CD=BC-BD=9-4=5 考点：相似三角形的判定与性质 15 4 【解析】 试题解析：过D作 DM BE交 AC于 N ， 学习必备欢迎下载 四边形ABCD是矩形， ADBC ， ABC=90 °， AD=BC ， BEAC于点 F， EAC= ACB ， ABC= AFE=90°， AEF CAB ，故正确； ADBC ， AEF CBF ， AEAF BCCF ， AE=1 2 AD=1 2 BC， 1 2 AF CF ， CF=2AF ，故正确， DEBM ，BE DM ， 四边形BMDE 是平行四边形， BM=DE= 1 2 BC ， BM=CM ， CN=NF ， BEAC于点 F， DM BE ， DN CF， DF=DC ，故正确； tan CAD= CD AD ， 而 CD与 AD的大小不知道， tan CAD的值无法判断，故错误； AEF CBF ， 学习必备欢迎下载 1 2 EFAE BFBC ， SAEF= 1 2 S ABF， SABF= 1 6 S矩形 ABCD SAEF= 1 12 S矩形 ABCD， 又 S四边形 CDEF=SACD-S AEF= 1 2 S矩形 ABCD- 1 12 S矩形 ABCD= 5 12 S矩形 ABCD， S四边形 CDEF= 5 2 SABF，故正确； 故有 4 个正确 考点： 1相似三角形的判定与性质；2矩形的性质 16 （1） 、证明过程见解析； （2） 、 x=2 或 x=5. 【解析】 试题分析： （1） 、 根据正方形的性质得出PAF= AEB ， 根据 PF AE得出 PFA= ABE=90 °， 从而说明三角形相似； （2） 、分两种情况讨论：当PEF= EAB时，则有PE AB ，则四边形 ABEP为矩形，得出PA=EB=2 ；当 PEF= AEB时，根据 PAF= AEB得出 PEF= PAF ，则 PE=PA ，根据直角以及中点的性质求出AE 、EF的长度， 然后根据相似三角形的相似比得出答 案. 试题解析：（ 1） 、正方形ABCD ， AD BC 。 ABE=90 °， PAF= AEB ， 又 PFAE ， PFA= ABE=90 ° PFA ABE ； （2） 、情况 1，当 EFP ABE ，且 PEF=EAB时，则有PE AB ， 四边形ABEP为矩形 PA=EB=2 ，即 x=2 情况 2，当 PFE ABE ，且 PEF= AEB时， 学习必备欢迎下载 PAF= AEB ， PEF= PAF PE=PA PFAE ， 点 F 为 AE的中点。 522024 2222 BEABAE， 5 2 1 AEEF。 EB EF AE PE ， 即 2 5 52 PE ， PE=5，即 x=5。 满足条件的x 的值为 2 或 5。 考点：（1） 、三角形相似的判定； （ 2） 、分类讨论思想. 17 （1）75°， AC的长为 3； （2）2 6. 【解析】 试题分析：(1) 过点 C作 CE AB ， 交 AD的延长线于点E,可知 E= BAD=75 °， 因为 CAD=30 °, 所以利用三角形内角和可算出ACE的度数是75 度，再利用平行线分线段成比例定理得出 DE=1，AE=2+1=3,所以 AC=AE=3 ；(2) 先建立平行线， 过点 D作 DFAC于点 F得到 AB DF， 由平行线分线段成比例定理得到2 ABAEEB DFEFDE ，由 AE=2 ，得 EF=1，AF=3，在 RtAFD 中，由 FAD=30 °，可算出DF和 AD的长度，又因为AD=AC ，于是可知道AB和 AC的长度， 再由勾股定理算出BC的长度即可 . 试题解析：（1）过点 C作 CE AB ，交 AD的延长线于点E, 由两直线平行内错角相等可知E= BAD=75 °，因为 CAD=30 °, 所以利用三角形内角和可算出ACE=180 o-75o-30 o=75o，再 利用平行线分线段成比例定理得出CD:BD=ED:AD, 因为AD=2 ，BD=2DC ，所以DE=1 ，于是 AE=2+1=3,因为 AC=AE ，所以 AC的长为 3； （2）过点 D作 DFAC于点 F 学习必备欢迎下载 BAC=90 °=DFA ， ABDF， ABE FDE ， 2 A BA EE B D FE FD E ， AE=2， EF=1， AF=2+1=3，AB=2DF 在 ACD中， CAD=30 °， ADC=75 °， ACD=75 °， ADC= ACD ， AC=AD DFAC ， AFD=90 °， 在 RtAFD中， FAD=30 °， 设 DF=x, 则 AD=2x ， 222 )2(3xx，解得：3,3 21 xx( 舍去 ), DF=3,AB=AC=AD=32, BC= 22 ABAC=2 6. 考点： 1. 平行线分线段成比例定理的应用；2. 解直角三角形；3. 阅读理解能力 . 18 （1）1 秒或 2 秒（ 2） 3 2 秒或 12 5 秒 【解析】 试题分析：（1）设经过x秒后，根据AMN的面积等于矩形ABCD面积的 1 9 ，得出方程 解方程即可； （2）假设经过t秒时，以AMN，为顶点的三角形与ACD相似，分两种 情况讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可. 试题解析：（ 1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的 1 9 ， 则有： 11 (62 )3 6 29 x x，即 2 320xx， 解方程，得 12 12xx， 经检验，可知符合题意，所以经过1 秒或 2 秒后，AMN的面积等于矩形 ABCD面积的 1 9 （2）假设经过 t秒时，以AMN， 为顶点的三角形与ACD相似， 由矩形ABCD，可得90CDAMAN， 12 12xx， 学习必备欢迎下载 因此有 AMDC ANDA 或 AMDA ANDC 即 3 626 t t ，或 6 623 t t 解，得 3 2 t；解，得 12 5 t 经检验， 3 2 t或 12 5 t都符合题意，所以动点MN，同时出发后，经过 3 2 秒或 12 5 秒时， 以AMN，为顶点的三角形与ACD相似 考点： 1. 矩形的性质2. 相似三角形的判定与性质. 19 (1) 证明见解析 ;(2) 证明见解析 ;(3) 17 10 AC AF 【解析】 试题分析：（1）由 AC平分 DAB ， ADC= ACB=90 °，可证得ADC ACB ，然后由相似 三角形的对应边成比例，证得AC 2=AB AD ； （2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 CE=1 2 AB=AE ，继而可证得DAC= ECA ，得到 CE AD； （3）易证得 AFD CFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AC AF 的值 试题解析 : （1） AC平分 DAB ， DAC= CAB 又 ADC= ACB=90 °， ADC ACB AD：AC=AC ：AB ， AC 2=AB AD （2） E为 AB的中点， ACB=90 °， CE=1 2 AB=AE EAC= ECA 学习必备欢迎下载 DAC= CAB ， DAC= ECA ADCE ； （3） CE AD ， AFD CFE ， AD：CE=AF ：CF， CE=1 2 AB， CE=1 2 ×7= 7 2 ， AD=5， 5 7 2 AF CF ， 17 10 AC AF 考点：相似三角形的判定与性质 20 （1）DE=4； （2）DE= 【解析】 试题分析：（ 1）由 DEBC，可得 ADE ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 DE 长； （2）由 ADE 的周长与四边形BCED的周长相等，设AE+AD=a ， CE+DB=b ，可得， 继而求得a 的值，即AE+AD=9 ，又由 ADE ACB，根据相似三角形的对应边成比例， 可得 ，继而求得AE的长，进而求得答案 解： （1） DEBC， ADE ABC， 学习必备欢迎下载 =， AD：DB=4： 3， AD：AB=4： 7， BC=7， DE=4； （2） ADE 的周长与四边形BCED的周长相等， AD+AE+ED=BC+EC+DE+DB，即 AE+AD=BC+CE+DB ， 设 AE+AD=a ，CE+DB=b ，则， 解得： a=9， 即 AE+AD=9 ， ADE ACB， ， 由，得到 AE=， ， DE= 考点：相似三角形的判定与性质 21 （1）见解析；（2）90° 【解析】 试题分析：（ 1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明ACD CBD ； （2）由（ 1）知 ACD CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：A= BCD ，然后 由 A+ACD=90 °，可得：BCD+ ACD=90 °，即 ACB=90 ° （1）证明： CD是边 AB上的高， 学习必备欢迎下载 ADC= CDB=90 °， = ACD CBD ； （2）解： ACD CBD ， A=BCD ， 在 ACD中， ADC=90 °， A+ACD=90 °， BCD+ ACD=9 0°， 即ACB=90 ° 考点：相似三角形的判定与性质 22 （1）2； （2）8 【解析】 试题分析：（1）首先根据DE BC得到 ADE和 ABC相似， 求出 AC的长度， 然后根据CE=AC AE求出长度；（2）根据 ABC的面积求出ABM 的面积，然后根据相似三角形的面积比等 于相似比的平方求出ADN的面积 试题解析：（ 1） DE BC ADE ABC AE=4 AC=6 EC=AC AE=6 4=2 、 ABC的面积为36 点 M为 BC的中点 ABM 的面积为： 36÷2=18 ADN和 ABM的相似比为:4 :9 ADNABM SS DD = ADN S=8 考点：相似三角形的判定与性质 23 （1）120°（ 2）见解析 【解析】 试题分析：（1）先利用等边三角形的性质和互补的性质得出 0 120ABDACE，然后 2 3 AEAD ACAB = 2 3 学习必备欢迎下载 结合条件证明ABD ECA ， 得出,DABE再利用等量代换和角的关系即可得出结论； （2）根据条件证明ABD EAD即可得出结论 试题解析：（ 1）ABC是等边三角形 0 60 ,ABCACBBACABBCAC， 0 120ABDACE BC 2=BD ?CE AB ACBD CE ABBD CEAC ABD ECA ,DABE 0 120DAEDABBACEAC， （2）DDADBDAE,120 0 ABD EAD AD DB DE AD AD 2=DB ?DE 考点： 1等边三角形的性质2相似三角形的判定与性质