【考前三个月】高考数学必考题型过关练:第15练(含答案).pdf
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【考前三个月】高考数学必考题型过关练:第15练(含答案).pdf
第 15 练导数与单调性 题型一利用导数求函数的单调区间 例 1函数 y 1 2x 2ln x 的单调递减区间为 () A(1,1 B (0,1 C1, ) D (0, ) 破题切入点求出函数的导函数f (x),根据定义解不等式f(x)0,f(x)为增函数; 11 时, f (x)0,f(x)为增函数故B 选项 的图象符合 总结提高(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤: 确定函数的定义域 求导函数f(x) 若求单调区间或证明单调性,只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f(x)0 或 f(x)f(x)恒成立,且常数a,b 满足 ab, 则下列不等式一定成立的是() Aaf(b)bf(a) Baf(a)bf(b) Caf(a)f(x), 得 xf(x)f(x)0, 即 F(x)0, 所以 F(x)在 R 上为递增函数 因为 ab,所以 af(a)bf(b) 4 (2014 ·课标全国 )若函数 f(x)kxln x 在区间 (1, )单调递增, 则 k 的取值范围是 () A(, 2 B(, 1 C2, ) D 1, ) 答案D 解析由于 f(x)k 1 x ,f(x)kxln x 在区间 (1, )单调递增 ? f(x)k 1 x0 在(1, )上恒成立 由于 k1 x,而 00 时,有 xf x f x x 20 的解集是 ( ) A(2,0)(2, ) B( 2,0)(0,2) C(, 2)(2, ) D (, 2)(0,2) 答案D 解析x0 时 f x x 0, 此时 x2f(x)0. 又 f(x)为奇函数, h(x)x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为 (0,2)(, 2) 6函数 f(x)的定义域为 (0, 2), f(x)是它的导函数,且 f(x) 2f( 3) Bf(1) f( 4) D.3f( 6)0,所以 g(x)在(0, 2)上单调递增, 所以 g( 6)0 时, f(x)0, 所以函数f(x)的单调递增区间是(0, ) 8已知函数f(x)1 2mx 2 ln x2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为_ 答案1, ) 解析f(x)mx 1 x20 对一切 x0 恒成立, m 1 x 22 x , 令 g(x) 1 x 22 x,则当 1 x 1 时,函数g(x)取最大值1,故 m1. 9设f(x) 1 3x 31 2x 22ax.若 f(x)在( 2 3, )上存在单调递增区间,则 a 的取值范围为 _ 答案(1 9, ) 解析由已知得f (x) x2x2a (x1 2) 21 42a. 当 x2 3, )时, f(x)的最大值为 f(2 3) 2 92a. 令 2 9 2a0,得 a 1 9. 所以当 a 1 9时, f(x)在( 2 3, )上存在单调递增区间 10已知 aR,函数 f(x) (x 2ax) · ex(xR,e 为自然对数的底数 ) (1)当 a2 时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数?若是,求出a 的取值范围;若不是,请说明理由 解(1)当 a2 时, f(x)(x22x)ex, f(x)(2x 2)ex (x22x)ex (x22)ex. 令 f (x)0,即 (x22)ex0. e x0,x220, 解得20,x2(a2)xa0 对 xR 都成立 (a2) 24a 0, 即 a240,这是不可能的 故函数 f(x)不可能在R 上单调递减 若函数 f(x)在 R 上单调递增, 则 f (x)0 对 xR 都成立, 即x2(a 2)xaex0 对 xR 都成立, e x0,x2(a2)xa0 对 xR 都成立 而 (a 2) 2 4aa240, 故函数 f(x)不可能在R 上单调递增 综上可知,函数f(x)不可能是R 上的单调函数 11已知函数f(x) ln xa x (aR), g(x) 1 x. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e 2上有公共点,求实数 a 的取值范围 解(1)函数 f(x)的定义域为 (0, ),f(x) 1 ln xa x 2. 令 f (x)0,得 xe 1a, 当 x(0,e 1a)时, f(x)0, f(x)是增函数; 当 x(e1 a, )时, f(x)0,得 xe2 a, 故函数 F(x)在区间 (0,e2 a上是增函数, 在区间 e2 a, )上是减函数 当 e 2a0 时,函数 F(x)在区间 (0,e 2a 上是增函数, 在区间 e2 a, e2 上是减函数, F(x)maxF(e 2a)ea2. 又 F(e1 a)0,F(e2)a 1 e 20, 由图象,易知当00, 此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间 (0,e2上有 1 个公共点 当 e2 ae2,即 a0 时, F(x)在区间 (0,e 2上是增函数, F(x)maxF(e 2)a1 e 2. 若 F(x)max F(e2) a1 e 2 0, 即 1a0 时, 函数 f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e 2上只有 1 个公共点; 若 F(x)max F(e2) a1 e 20,故 f(x)分别在 (,x2),(x1, )是增函数; 当 x(x2,x1)时, f(x)0,故 f(x)在(x1, x2)是增函数 (2)当 a0,x0 时, f(x)3ax 26x30,故当 a0 时, f(x)在区间 (1,2)是增函数 当 a0 时, f(x)在区间 (1,2)是增函数当且仅当f(1)0 且 f(2)0,解得 5 4a0. 综上, a 的取值范围是 5 4,0)(0, )