六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义.pdf
学习必备欢迎下载 牛吃草问题讲义 牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （ 1）草的生长速度（对应的牛头数×吃的较多天数相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数 吃的较少天数） ； （ 2）原有草量牛头数×吃的天数草的生长速度×吃的天数； （ 3）吃的天数原有草量÷（牛头数草的生长速度）； （ 4）牛头数原有草量÷吃的天数草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为“1“ ，解题关键是弄清楚已知条 件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先， 先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固 定的，一直在均匀变化。 典例评析 例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃 25天，或可供 24头牛吃 10天，那么它可供几头牛吃20天？ 例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年 吃4天，或可供 16头牛吃 6天，那么可供10头牛吃多少天？ 学习必备欢迎下载 例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃 40天，或者供 12头牛与 36只羊吃 25天，如果 1头牛每天的吃草两相 当于 3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃 6天或 23头牛吃 9天。问可供 21头牛吃几天？ 【分析】 这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可 以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天 新长出飞草的数量也是不变的。 从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速 生长的，也就是说每天长的草是不变的; ，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。 这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份， 具体 1份是多少我们不知道，也不用管它， 【思考 1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃 6天，或 20头牛吃 10天，那么可供 18头牛吃几天？ 设1头牛 1天吃的草为 1份。则每天新生的草量是（20×10-24 ×6）÷ (10-6)=14 份， 原来的草量是（24-14 ）× 6=60份。可供 18头牛吃 60÷（ 18-14 ）=15天 例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃 5天， 可供 24头牛吃 6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天 ? 【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方 法求出每天减少的草量和原来的草的总量 【思考 2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天， 或可供 16头牛吃 6天。那么，可供11头牛吃几天？ 8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16 ×6）÷（ 6-5 ）=4份，原来的草量： （20 +4）× 5=120 份，可供 11头牛吃 120÷(11+4)=8 天。 总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长， 所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。 知识衍变 学习必备欢迎下载 牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至， 以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法 例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走2 0级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？ 【分析】在这道题中， “总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”， “草”变成了“台阶” ， “牛”变成了“速度”, 所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。 【思考 3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行2 0分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜 到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？ 大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？ 15米。 蜗牛每夜下降： （20×5-15×6）÷（ 6-5 ）=10分米 所以井深：（20+10）× 5=150分米 =15米 例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水， 3小时舀 完。如果只有5个人舀水，要 10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？ 【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键 【思考 4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机 20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可 把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（20×10-15 ×10）÷(20-10)=5 份，池内原有的 水是：（10-5）× 20=100份. 所以 , 用25部抽水机需要:100 ÷(25-5)=5 小时 思维拓展 例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃 30天，可供 19头牛吃 24天，现在有若干头牛 在吃草， 6天后， 4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？ 【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也 就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。 【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃 6天，或供 23头牛吃 9天，现有一群牛吃了4 天后卖掉 2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为： （23×9-27×6）÷（ 20-10 ）=15份，原有的草量为（2 7-15 ）× 6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量 72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8 =25头 例6 有三块草地，面积分别为5公顷， 6公顷和 8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可 供11头牛吃 10天，第二块草地可供12头牛吃 14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？ 【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。 例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头， 6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头， 9天 学习必备欢迎下载 把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 摘录条件： 27头 6天原有草 +6天生长草 23头 9天原有草 +9天生长草 21头？天原有草 +？天生长草 小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛 1天吃的草为 “1“ ，由条件可知，前后 两次青草的问题相差为 23×9 - 27×6=45。 为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6 ）3天生长出 来的，所以每天生长的青草为45÷3=15 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。 由此， 我们可以把每次来吃草的 牛分为两组， 一组是抽出的 15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃 草之前，牧场上有多少青草呢？ （ 27-15）×6=72 那么：第一次吃草量 27×6=162第二次吃草量 23×9=207 每天生长草量 45÷3=15 原有草量（ 27-15 ）×6=72或 162-15×6=72 21头牛分两组， 15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么 72÷6=12（天） 初中解答：假设原来有的草为x 份，每天长出来的草为y 份，每头牛每天吃草1份。 那么可以列方程： x+6y=27×6 x+9y=23×9 解得 x=72,y=15 若放 21头牛，设n 天可以吃完，则： 72+15n=21n n=12 例 2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续 20天抽干， 6台同样的抽水机连续15天可抽干， 若要 6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 摘录条件： 5台 20天原有水 +20天入库量 6台 15天原有水 +15天入库量 ？台 6天原有水 +6天入库量 小学解答：设 1台1天抽水量为 “1“ ，第一次总量为 5×20=100，第二次总量为 6×15=90 学习必备欢迎下载 每天入库量 (100- 90)÷(20 -15)=2 20天入库 2×20=40，原有水100-40=60 60+2×6=7272÷6=12（台） 初中解答：假设原来有的水为x 份，每天流进来的水为y 份，每台机器抽出的水是1个单位。 那么可以列方程： x+20y=20×5 x+15y=6×15 解得 x=60,y=2 若要 6天抽完，设n 台机器可以抽完，则： 60+6×2=6 n n=12 巩固练习 1. 一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10 头牛吃40 天，供 15 头牛吃 20 天。可供 25 头牛吃天。（） A. 10 B. 5 C. 20 A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为1 份。每天新生的草量为：(10×40-15 ×20) ÷（ 40-20 ）=5（份） 。那么 愿草量为： 10×40-40 ×5=200（份） ，安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25 头牛吃： 200 ÷（ 25-5 ）=10（天）。 2. 一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而 14只 羊 则 要10天 吃 光 。 那 么 想 用4 天 的 时 间 ， 把 这 块 草 地 的 草 吃 光 ， 需 要 只 羊 。 （） A. 22 B. 23 C. 24 B假设 1 只羊 1 天吃草的量为1 份。每天新生草量是： （14×10-20 ×5）÷（ 10-5 ）=8（份）原草量是： 20×5-8 × 560（份）安排8 只羊专门吃每天新长出来的草，4 天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+823 （只） 3画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。 如果开3 个入场口，9 点9 分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8 点分。 （） A. 10 B. 12 C. 15 C假设每个人口每分钟进入的观众量是1 份。 每分钟来的观众人数为（3×9-5 ×5）÷（ 9-5 ）=0.5 （份） 到 9 时止，已来的观众人数为：3× 9-0.5 × 922.5 （份） 第一个观众来到时比9 时提前了： 22.5 ÷0.5 45（分） 所以第一个观众到达的时间是9 时-45 分=8 时 15 分。 4. 经测算，地球上的资源可供100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的 资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。 70 设 1 亿人 1 年所消耗的资源为1 份 那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100 ×100）÷（ 300-100 ）=70（份） 只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断 发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人） 5. 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24 千米、 学习必备欢迎下载 20 千米、19 千米。快车追上自行车用了6 小时，中车追上自行车用了10 小时，慢车追上自行车用 （） 小时。 12 自行车的速度是： （20×10-24 × 6）÷（ 10-6）=14（千米 / 小时） 三车出发时自行车距A地： （24-14 ）× 6=60（千米） 慢车追上自行车所用的时间为：60÷（ 19-14 ）=12（小时） 6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24 根抽水管抽水， 6 小时可以把池中的水抽干，那么用16 根抽水管，（）小时可将可将水池中的水抽干。 18 设 1 根抽水管每小时抽水量为1 份。 （1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24 × 6）÷（ 8-6）=12（份） （2）水池中原有的水量为：21×8-12 ×8 72（份） （3） 16 根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（ 16-12 ）=18（小时） 7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用 9 辆汽车， 12 小时可以把它们运完， 如果用 8 辆汽车， 16 小时可以把它们运完。如果开始只用3 辆汽车， 10 小时后增加若干辆，再过4 小时也 能运完，那么后来增加的汽车是（）辆。 19 设每两汽车每小时运的货物为1 份。 （1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9 ×12）÷（ 16-12 ）=5（份） （2）码头原有货物量是：9× 12-12 ×548（份） （3） 3 辆汽车运10 小时后还有货物量是：48+（5-3 ）× 10=68（份） （4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷ 4-3=19 （辆） 8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16 头牛吃 20 天，可供80 只羊吃 12 天。如果一头牛 的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 8 天 （1）按牛的吃草量来计算，80 只羊相当于80÷4=20（头）牛。 （2）设 1 头牛 1 天的吃草量为1 份。 （3）先求出这片草地每天新生长的草量：（ 16×20-20 ×12）÷（ 20-12 ）=10（份） （4）再求出草地上原有的草量：16×20-10 ×20120（份） （5）最后求出10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120÷（ 10+60÷4-10 ）=8（天） 9. 某水库建有10 个泄洪闸， 现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增 加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30 小时水位降 到安全线，若打开两个泄洪闸，10 小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5 小时内使水位降到安 全线，问：至少要同时打开几个闸门？ 4 个 设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为1 份。 （1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2× 10）÷（ 30-10 ）=0.5 （份） （2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5 ×30 15（份） （3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是：15+0.5 ×5.5 17.75 （份） （4）至少要开的闸门个数为：17.75 ÷5.5 4（个）（采用“进1”法取值） 10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2 倍去追乙车， 5 小时后能追上，如果甲车以 现在的速度去追乙车，3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 15 小时 设甲车现在的速度为每小时行单位“1” ，那么乙车的速度为： （2× 5-3×3）÷（ 5-3 ）=0.5 乙车原来与甲车的距离为： 2×5-0.5 ×57.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为： 7.5 ÷（ 1-0.5 ）=15（小时）
