北师大版九年级四边形相似难题.pdf

优秀学习资料欢迎下载 四边形 + 相似难题 1、如图， AB CD 、AD CE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过G 的直线依次交AB、AD 、CD、CE 于点 M、N、P、Q， 求证： MN+PQ=2PN 2、如图， 在 ABC 中，P 为中线 AM 上任一点， CP 的延长线交AB 于 D，BP的延长线交AC 于 E，连结 DE。 （1）求证： DE BC； （2）如图，在 ABC 中，DEBC，DC、BE交于 P，连结 AP 并延长交BC于 M，试问： M 是否为 BC 的中点？ 优秀学习资料欢迎下载 3、（ 1） 如 图 1， 在 等 边 ABC中 ， 点 M 是 BC 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 B、 C ） ， 连 结 AM ， 以 AM 为 边 作 等 边 AMN ， 连 结 CN 求 证 ： ABC= ACN 【 类 比 探 究 】 （ 2） 如 图 2， 在 等 边 ABC中 ， 点 M 是 BC 延 长 线 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 C） ， 其 它 条 件 不 变 ， （ 1） 中 结 论 ABC= ACN还 成 立 吗 ？ 请 说 明 理 由 【 拓 展 延 伸 】 （ 3） 如 图 3， 在 等 腰 ABC中 ， BA=BC， 点 M 是 BC 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 B、 C） ，连 结 AM ，以AM为 边 作 等 腰 AMN ，使 顶 角 AMN= ABC 连 结 CN 试 探 究 ABC与 ACN的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 4、如图，在直角三角形 ABC 中（ C=90 ° ） ，放置边长分别3 ，4 ，x 的三个正方形，则x 的值为（） 5、 优秀学习资料欢迎下载 5、如 图 ， 边 长 为6的 大 正 方 形 中 有 两 个 小 正 方 形 ， 若 两 个 小 正 方 形 的 面 积 分 别 为 S1， S2， 则 S1+S2的 值 为 6、已知：如图， DE 是 ABC 的中位线，点P 是 DE 的中点， CP 的延长线交AB 于点 Q，那么 SDPQ： SABC= 7、 如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EFAE，EF分别交 AC，CD 于点 M ，F，BGAC ，垂足 为 C，BG 交 AE 于点 H （1）求 证： ABE ECF； （2）找出 与 ABH 相似的三角形，并证 明； （3）若 E是 BC 中点， BC=2AB ，AB=2 ，求 EM 的 长 优秀学习资料欢迎下载 8、 （1）如 图（1），正方形AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，直接 写 出 HD ：GC：EB 的 结果（不必 写计 算过程）； （2）将图 （ 1）中的正方形AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD ：GC：EB （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如 图（3），且已知 DA ：AB=HA ：AE=m ：n，此 时 HD ： GC：EB的 值与（2）小题的结果相比有 变化吗？如果有 变化，直接 写 出变化后的 结果（不必 写计 算 过程） 9、 优秀学习资料欢迎下载 10、在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,BE,CE分别交于G,H 。设三角形CDH 三角形 GHE 的面积分别为S1,S2, 则 S1： S2= 11、如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 °， BA=BC 点 D 是 AB 的中点， 连接 CD，过点 B 作 BG 丄 CD， 分别交 CD 、CA 于点 E、F，与过 点 A 且垂直于 AB 的直 线相交于点 G，连接 DF给出以下四 个结论 ： S ABC=5S BDF，其中正确的 结论 序号是（） 优秀学习资料欢迎下载 12、如图 1 ，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三 角板的一边交CD 于点 F另一边交CB 的延长线于点G （1 ）求证： EF=EG ； （2 ）如图 2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1 ）中的结 论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由： （3 ）如图 3，将（ 2）中的 “ 正方形 ABCD ” 改为 “ 矩形 ABCD ” ，且使三角板的一边经过点B，其他条件不 变，若 AB=a 、BC=b ，求的值 优秀学习资料欢迎下载 答案： 1、【答案】分析：根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形根据平行四边形的性质 得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系 证明：延长 BA 、EC，设交点为O，则四边形OADC 为平行四边形， F 是 AC 的中点， DF 的延长线必过O 点，且 AB CD， AD CE， = 又=， OQ=3DN CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN 优秀学习资料欢迎下载 AN+CQ=2DN =2 即 MN+PQ=2PN 点评：综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理 2、解析：（ 1）在 AM 的延长线上取一点N，使 PM=MN ，连接 BN， CN 又 BM=CM 四边形 BNCP 是平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】 DC/BN AD/AB=AP/AN BE/NC AE/AC=AP/AN AD/AB=AE/AC DE/BC （2）过 B作 BQ CD 交 AM 的延长线于Q DEBC， ， BEQC 四边形BPCQ是平行四边形M 是 BC 的中点 3、（ 1） 证 明 ： ABC、 AMN是 等 边 三 角 形 ， AB=AC， AM=AN， BAC= MAN=60°， BAM= CAN， 在 BAM和 CAN中 ， BAM CAN（ SAS） ， ABC= ACN （ 2） 解 ： 结 论 ABC= ACN仍 成 立 ； 理 由 如 下 ： ABC、 AMN是 等 边 三 角 形 ， AB=AC， AM=AN， BAC= MAN=60°， BAM= CAN， 在 BAM和 CAN中 ， ABC= ACN （ 3） 解 ： ABC= ACN； 理 由 如 下 ： BA=BC， MA=MN ， 顶 角 ABC= AMN ， 底 角 BAC= MAN ， ABC AMN ， 优秀学习资料欢迎下载 ， 又 BAM= BAC- MAC ， CAN= MAN- MAC ， BAM= CAN， BAM CAN， ABC= ACN 4、 解：在 RtABC 中（ C=90 ° ） ，放置边长分别3，4 ，x 的三个正方 形， CEF OME PFN， OE：PN=OM ：PF， EF=x ，MO=3 ，PN=4 ， OE=x-3，PF=x-4， （ x-3 ） ：4=3 ： （x-4 ） ， （ x-3 ） （x-4 ）=12 ， x=0 （不符合题意，舍去） ，x=7 5、解析 :设正方形 S1的边长为 x， ABC 和 CDE 都为等腰直角三角形， AB=BC ，DE=DC ， ABC= D=90 °， tanCAB=tan45 °=，即 AC=BC，同理可得： BC=CE=CD， AC=BC=2CD ，又 AD=AC+CD=6 ， CD=2， EC2=22+22，即 EC=2； S1的面积为EC2=2 × 2=8； MAO= MOA=45° ， 优秀学习资料欢迎下载 AM=MO ， MO=MN ， AM=MN ， M 为 AN 的中点， S2的边长为3， S2的面积为3× 3=9， S1+S2=8+9=17 6、解：如图，连接PA DE 是中位线， P 是 DE 中点， 2DE=BC ；4DP=2DE=BC，SADE：SABC=1 ：4 ， DE BC， DPQ BCQ ， 4QD=QB， D 是 AB 中点， BD=AD=3DQ， 2QD=QA， SDPQ：SAPQ=1 ：2 ， SAPD=S APE， SDPQ：SADE=1 ：6 ， SDPQ：SABC=1 ：24 7、 （1）证明：四 边形 ABCD 是矩形， ABE= ECF=90 ° AE EF，AEB+ FEC=90 ° AEB+ BEA=90 °， BAE= CEF， 优秀学习资料欢迎下载 ABE ECF； （2） ABH ECM 证明： BGAC ， ABG+ BAG=90 °， ABH= ECM ， 由（ 1）知，BAH= CEM ， ABH ECM； （3）解：作MR BC，垂足 为 R， AB=BE=EC=2， AB： BC=MR ：RC=2 ，AEB=45 °， MER=45 °， CR=2MR ， MR=ER=RC=， EM= 8、解 ： （ 1） 连 接 AG， 正 方 形 AEGH的 顶 点 E、 H 在 正 方 形 ABCD 的 边 上 ， GAE= CAB=45°， AE=AH， AB=AD， A， G， C 共 线 ， AB-AE=AD-AH ， 优秀学习资料欢迎下载 HD=BE， （ 2） 连 接 AG、 AC， ADC和 AHG都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AD： AC=AH： AG=1：， DAC= HAG=45°， DAH= CAG ， DAH CAG， HD： GC=AD： AC=1：， DAB= HAE=90°， DAH= BAE， 在 DAH和 BAE 中 ， ， DAH BAE（ SAS） ， HD=EB， HD： GC ： EB ； （ 3） 有 变 化 ， 连 接 AG、 AC， DA： AB=HA： AE=m： n， ADC= AHG=90°， ADC AHG， AD： AC=AH： AG=m： ， DAC= HAG， DAH= CAG ， DAH CAG， HD： GC=AD： AC=m： ， DAB= HAE=90°， DAH= BAE， DA： AB=HA： AE=m： n， ADH ABE， DH： BE=AD： AB=m： n， HD： GC ： EB=m： 优秀学习资料欢迎下载 ： n 9、 10、 11 、 优秀学习资料欢迎下载 12、解答：（1）证明： GEB+ BEF=90° ， DEF+ BEF=90° ， DEF= GEB， 在 FED 和 GEB 中， ， Rt FED Rt GEB， EF=EG ； （2 ）解：成立 证明：如图，过点E 作 EHBC 于 H，过点 E 作 EPCD 于 P， 四边形 ABCD 为正方形， CE 平分 BCD ， 又 EHBC，EPCD ， EH=EP ， 四边形 EHCP 是正方形， HEP=90 °， GEH+ HEF=90 °， PEF+ HEF=90 °， PEF= GEH ， Rt FEPRt GEH ， EF=EG ； （ 3）解：如图，过点E 作 EMBC 于 M，过点 E 作 ENCD 于 N，垂足分 别为 M、N， 优秀学习资料欢迎下载 则 MEN=90 °， EMAB ，ENAD CEN CAD ， CEM CAB ， ， ，即=， NEF+ FEM= GEM+ FEM=90 °， GEM= FEN ， GME= FNE=90 °， GME FNE， ，