山东春季高考数学试题及详解答案.pdf

山东省 2015 年普通高校招生（春季）考试 数学试题 注意事项 : .本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分满分 120分，考试时间 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回 .本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结 果精确到 0.01 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分在每小题列出的四个选 项中，只有一项符合题目要求， 请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题 卡上） 1若集合A 1，2，3，B1 ，3 ，则A B 等于（） （A）1 ，2，3 （B）1 ，3 （C）1，2 （D） 2 2|x1|5 的解集是（） （A）(6， 4) （B） （ 4， 6） （C）( , 6)(4, ) （D）( , 4 )（ 6， ) 3函数 yx+1 + 1 x的定义域为（ ） （A） x| x 1 且 x0 （B）x|x 1 （C）x x 1且 x0 （D） x|x 1 4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 5在等比数列an中， a21，a43，则 a6等于（ ） （A）-5 （B） 5 （C）-9 （D）9 6.如图所示， M 是线段 OB 的中点， 设向量 OA a ， OB b ， 则 AM 可以表示为 （） （A）a + 1 2 b（B） a+ 1 2 b （C）a 1 2 b（ D） a 1 2 b 7终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（） （A）x|x 2 2k ，k Z （B）x|x 2k （C）x|x 22k ，k Z （D）x|x 2k ，k Z 8关于函数y x 2+2x，下列叙述错误的是（ ） （A）函数的最大值是1 （B）函数图象的对称轴是直线x=1 （C）函数的单调递减区间是1， ) （D）函数图象过点（2，0） 9某值日小组共有5 名同学，若任意安排3 名同学负责教室内的地面卫生，其余2 名同学 负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（） （A）10 （B） 20 （C）60 （D） 100 10如图所示，直线l 的方程是（） （A）3xy30 （ B）3x2y30 （C）3x3y10 （ D）x3y10 11对于命题p，q，若 pq 为假命题”，且pq 为真命题，则（） （A）p，q 都是真命题（B）p，q 都是假命题 （C）p，q 一个是真命题一个是假命题（D）无法判断 12已知函数f (x)是奇函数，当x0 时， f (x)x 22，则 f (1)的值是（ ） （A） 3 （B） 1 （C） 1 （D）3 13已知点P（m， 2）在函数y log1 3 x 的图象上，点A 的坐标是（ 4，3） ，则 AP 的值是（） （A）10 （B）2 10 （C）62 （D）5 2 B O M A 14关于 x,y 的方程 x 2+m y21，给出下列命题： 当 m0 时，方程表示双曲线；当m0 时，方程表示抛物线；当0m1 时，方程 表示椭圆；当m 1 时，方程表示等轴双曲线；当m1 时，方程表示椭圆。 其中，真命题的个数是（） （A）2 （B） 3 （C）4 （D）5 15 (1x) 5 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（） （A）0（B） 1（C） 32（D）32 16不等式组 xy+10 x+y30 表 示的区域（阴影部分）是（） 17甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选 一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（） （A）2 9 （B） 2 3 （C） 1 4 （D）1 2 18已知向量 a ( cos 5 12 ，sin5 12)， b ( cos12，sin12)，则 a · b 等于（） （A）1 2 （B） 3 2 （C）1 （D）0 19已知， 表示平面，m，n 表示直线，下列命题中正确的是（） （A）若 m， m n，则 n/ （B）若m， n, / ，则m/n （C）若/，m，则 m/（D）若 m， n， m/ ，n/，则/ 20已知 F1是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21（a0，b0）的左焦点，点P 在双曲线上，直线P F1与 x 轴垂直，且 P F1 a，则双曲线的离心率是（） （A）2 （B）3 （C）2 （D）3 （A）（B） （C）（D） x 1 y O 3 3 1 y O 3 3 x 1 y O 3 3 x 1 y O 3 3 第卷（非选择题，共60 分） 二、填空题（ 本大题共 5 个题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上 相应题号的横线上 ） 21. 直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是_ 22在 ABC 中， A 105 ， C45 ，AB22， BC 等于 _ 23计划从500 名学生中抽取50 名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一 编号为 1500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个 号码段中抽出的号码应是_ 24已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x 2+m y2 6 m 70 的圆心重合，长轴长等 于圆的直径，则短轴长等于_ 25集合 M，N，S都 是非空集合，现规定如下运算： MNSx|x(MN)(NS)(SM)，且 x M NS 若集合 Ax|ax b ，Bx|c xd ，C x|exf，其中实数a，b，c，d，e，f 满 足： （1）ab0，cd0；ef0； （2）ba dcfe； （ 3）bad cfe 计算 AB C_ 三、解答题（本大题共5 个小题，共40 分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程） 26 （本小题 6 分）某学校合唱团参加演出，需要把120 名演员排成5 排，并且从第二排起， 每排比前一排多3 名 ，求第一排应安排多少名演员。 27.（本小题 8 分）已知函数y 2sin(2x+ )，x R, 0 2，函数的部分图象如图所示， 求 （1）函数的最小正周期T 及 的值； （2）函数的单调递增区间。 28 （本小题 8 分）已知函数f (x)ax（a 0 且 a 1）在区间2，4上的最大值是 16， （1）求实数a 的值； （2）若函数g (x)log2(x23x2a)的定义域是R，求满足不等式log2(12t)1 的实数 t 的取值范围 x O y 1 29 （本小题 9 分）如图所示，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，平面SAD 平面 ABCD，SASD2，AB3. （1）求 SA与 BC 所成角的余弦值； （2）求证： ABSD 30 （本小题 9 分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，Q 是抛物 线上的点，点Q 到焦点 F 的距离为1，且到 y 轴的距离是 3 8 （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线l 经过点 M（3，1） ，与抛物线相交于A，B 两点，且OAOB，求直线l 的方 程 B A C D S 答案 1.【考查内容】集合的交集 【答案】 B 2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】 B 【解析】1551546xxx. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】 A 【解析】10x 且0x得该函数的定义域是 10x xx且. 4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】 C 【解析】 “圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切” ， “直线与圆相切”“圆 心到直线的距离等于圆的半径”. 5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】 D 【解析】 24 2 3 a q a ， 2 64 9aa q. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】 B 【解析】 1 2 AMOMOAba. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】 A 【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2, 2 xkkZ 8.【考查内容】二次函数的图象和性质 【答案】 C 【解析】 22 2(1)1yxxx， 最大值是 1， 对称轴是直线1x， 单调递减区间是1,) ， （2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】 A 【解析】从5 人中选取3 人负责教室内的地面卫生，共有 3 5 C10种安排方法 .（选取 3 人后 剩下 2 名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】 D 【解析】由图可得直线的倾斜角为30°， 斜率 3 tan30 3 k， 直线 l 与 x 轴的交点为 （1,0） ， 由直线的点斜式方程可得l： 3 0(1) 3 yx，即310xy. 11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】 C 【解析】由pq 是假命题可知p,q 至少有一个假命题，由pq 是真命题可知p,q 至少有一 个真命题， p,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】 A 【解析】 2 ( 1)(1)(12)3ff 13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】 D 【解析】 点(, 2)P m在函数 1 3 logyx的图象上， 2 1 3 1 log2,( )9 3 mm，P 点坐标为 (9, 2)，(5, 5),5 2APAP. 14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念 【答案】 B 【解析】当0m时，方程表示双曲线；当0m时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当 01m时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m时，方程表示圆；当1m时，方程表 示焦点在x 轴上的椭圆 .正确 . 15.【考查内容】二项式定理 【答案】 D 【解析】所有项的二项式系数之和为 012345 555555CCCCCC32 16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】 C 【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证： 00 10，0030，非严格不等式的边界用 虚线表示，该不等式组表示的区域如C 选项中所示 . 17.【考查内容】古典概率 【答案】 D 【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224，其中甲、乙两位同学恰好选取同 一处景点的种数为2，故所求概率为 21 42 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】 A 【解析】 1 sincoscossinsin 1212121262 a b 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系 【答案】 C 【解析】 A. 若 m，mn ，则 n P或 n 在内；B. 若m ， n ，P，则 mnP 或 m 与 n 异面； D. 若m，n， mP， n P，且 m、n 相交才能判定P；根据 两平面平行的性质可知C 正确 . 20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】 A 【解析】 1 F 的坐标为 (,0)c， 设 P 点坐标为 0 (,)c y， 22 0 22 () 1 yc ab ， 解得 2 0 b y a ， 由 1 P Fa 可得 2 b a a ，则 ab ，该双曲线为等轴双曲线，离心率为 2 . 21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】 4ah 22.【考查内容】正弦定理 【答案】2+6 【解析】由正弦定理可知， sinsin ABBC CA , sin2 2sin105 62 sin2 2 ABA BC C 23.【考查内容】系统抽样 【答案】 42 【解析】从500 名学生中抽取50 名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2， 则第五个号码段中抽取的号码应是24 1042 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质 【答案】 2 7 【解析】 圆 22 670xyx的圆心为 （3,0） ，半径为 4， 则椭圆的长轴长为8，即3 ,4ca， 22 7bac，则短轴长为2 7 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】x cxebxd或剟 【解析】 abcd ， a c d b ； a b c d， a c b d ； b d d b ， b d ； 同理可得 df ， bdf.由可得0acebdf .则 ABx cxb， BCx exd，CAx exb. ABCx cxebxd或剟. 26. 【考查内容】等差数列的实际应用 【解】由题意知各排人数构成等差数列 n a，设第一排人数是 1 a ，则公差3d，前 5 项和 5 120S,因为 1 (1) 2 n n n Snad，所以 1 54 12053 2 a ，解得 1 18a. 答：第一排应安排18 名演员 27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期 2 2 T,因为函数的图象过点（0,1） ，所以 2sin1，即 1 sin 2 ，又因为0 2 ，所以 6 . (2)因为函数sinyx 的单调递增区间是 2,2, 22 kkkZ. 所以222 262 kxk剟，解得 36 kxk剟， 所以函数的单调递增区间是, 36 kkkZ 28.【考查内容】指数函数的单调性 【解】 （1）当 01a时，函数( )f x 在区间 2,4 上是减函数， 所以当2x时，函数( )f x 取得最大值16，即 2 16a，所以 1 4 a. 当1a时，函数( )f x 在区间 2,4 上是增函数， 所以当4x时，函数( )f x 取得最大值16，即 4 16a，所以2a. （ 2） 因 为 2 2 ()l o g(32)g xxxa的 定 义 域 是R, 即 2 320xxa恒 成 立 .所 以 方 程 2 320xxa的判别式0，即 2 ( 3)4 20a，解得 9 8 a，又因为 1 4 a或2a，所以 2a.代入不等式得 2 log (1 2 )1t ,，即 0122t ,，解得 11 22 t, ，所以实数t 的取值范 围是 1 1 ,) 2 2 . 29.【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质 【解】 （1）因为 ADBCP,所以SAD即为 SA 与 BC 所成的角，在 SAD 中，2SASD， 又在正方形ABCD 中3ADAB,所以 222222 232 cos 222 3 SAADSD SAD SA AD 3 4 ,所以 SA 与 BC 所成角的余弦值是 3 4 . (2)因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD,在正方形 ABCD 中，ABAD, 所以AB平面 SAD,又因为 SD平面 SAD,所以 AB SD. 30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 【解】 （1）由已知条件，可设抛物线的方程为 2 2ypx，因为点Q 到焦点 F 的距离是1， 所以点 Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到 y 轴的距离是 3 8 ，所以 3 1 28 p ，解得 5 4 p， 所以抛物线方程是 2 5 2 yx. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x，与 25 2 yx联立，可解得交点 A、 B 的坐标分别为 3030 (3,),(3,) 22 ，易得 3 2 OA OB ，可知直线OA 与直线 OB 不垂直，不 满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在 . 设直线 l 的斜率为k， 则方程为1(3)yk x，整理得31ykxk， 设 1122 (,), (,),A x yB xy联立直线l 与抛物线的方程得 2 31 5 2 ykxk yx , 消去 y，并整理得 2222 5 (62)9610 2 k xkkxkk ， 于是 2 12 2 961kk x x k . 由式变形得 31yk x k ，代入式并整理得 2 251550kyyk， 于是 12 155 2 k y y k ，又因为 OAOB ，所以0OA OB，即 1212 0x xy y， 2 2 961155 0 2 kkk kk ，解得 1 3 k或2k. 当 1 3 k时，直线l 的方程是 1 3 yx ，不满足 OAOB ，舍去 . 当2k时， 直线 l 的方程是12(3)yx， 即 25 0xy， 所以直线l 的方程是 250xy.