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大学数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x， ， ， ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 一些初等函数：两个重要极限： 三 角 函 数 公 式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90° -cos sin ctg tg 90° +cos -sin -ctg -tg 180° -sin -cos -tg -ctg 180° +-sin -cos tg ctg 270° -cos -sin ctg tg 270° +-cos sin -ctg -tg 360° -sin cos -tg -ctg 360° +sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284.2) 1 1(lim 1 sin lim 0 e x x x x x x ·倍角公式： ·半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg ·正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin ·余弦定理：Cabbaccos2 222 ·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( ! 2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf )(F )( )( )()( )()( )()()( 曲率： . 1 ;0 . )1 ( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 空间解析几何和向量代数： 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 ,cos)( sin, cos ,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( 多元函数的极值及其求法： 不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( ,0 ),( ,0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用： D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0,0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 )1( 321 1 1 1 12 级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛： 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 )1(1 )1() 1()2( )1()2( )2( )1( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。 得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( 一阶线性微分方程： )1 ,0()()(2 )(0)( ,0)( )()(1 )()( )( nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*) 式的通解 两个不相等实根)04( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根)04( 2 qp xr exccy 1 )( 21 一对共轭复根 )04( 2 qp 2 4 2 2 21 pq p irir ， ， )sincos( 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， sin)(cos)()( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x
