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投资的收益与风险问题 市场上有种资产（如股票、债券、）() 供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在 这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的 风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风 险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买 当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 已知时的相关数据如下： 资产收益率(%) 风险率(%) 交易费(%) 阀值(元) 28 2.5 1 103 21 1.5 2 198 23 5.5 4.5 52 25 2.6 6.5 40 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生 息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 模型分析 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏 数据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大 和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大 则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决 策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况 下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这 样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。 设购买 Si （i=0,1 .n;S0表示存入银行， ）的金额为xi;所支付的交易费为 ci(xi)，则： 对 Si 投资的净收益为:)()( iiiiii xcxrxR（ i0，1， n） 对 Si投资的风险为: iiii xqxQ)(（i0，1， n） ，q0=0 对 Si 投资所需资金（即购买金额xi与所需的手续费ci(xi) 之和）是 )()( iiiii xcxxf（i0，1， n） 投资方案用x=（x0，x1， xn）表示，那么， 净收益总额为： 总风险为： )(xQ=)( min 0 ii ni xQ 所需资金为： 所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为： 但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较 简单的单目标模型。 模型假设 假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一 时期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策 无较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的， 是无法用数量或函数进行准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周 期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风 险的投资，市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。 模型建立 1）模型 a 假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q（x）限制在k 内， Q（ x）k，则模型可转化为： max xR s.t 0,)(,xMxFkxQ 2）模型 b 假设投资的收益水平是h，即净收益总额 )(xR 不少于h： )(xR h，则模型可转化为： s.t 0,)(,)(xMxFhxR 3）模型 c 假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为 （ 0） ，则模型可转化为： s.t.0,)(xMxF 模型求解 由于交易费ci(xi)是分段函数， 使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂， 是一个非 线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额M 相当大，一旦投资资产Si，其投资额xi 一般都会 超过ui，于是交易费ci(xi)可简化为线性函数 从而，资金约束简化为 净收益总额简化为 在实际进行计算时，可设M=1，此时 i y=（ i p1） i x（i0，1， n） 可视作投资Si 的比例 . 以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的. 1）模型 a 的求解 模型a 的约束条件Q(x)k 即 00 ( )max()max() iiii i nin QQ xq xxk， 所以此约束条件可转化为 kxq ii （i0， 1， n）. 这时模型a 可化简为如下的线性规划问题： 具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为： s.t kxkxkxkx 4321 026. 0,055.0 ,015.0,025.0 0, 1065. 1045.102. 101.1 43210i xxxxxx（i0，1， 4） 利用 matlab7.1 求解模型a 输出结果是 0.177638, x0 - 0.158192, x1 - 0.2, x2 - 0.333333, x3 - 0.0909091,x4 - 0.192308 这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超 过 0.005 的最大收益是0.177638M. 当 k 取不同的值（00.025） ，风险与收益的关系见图1. 输出结果列表如下： 表 1 . 模型 1 的计算结果 风险水平k 最大收益 0 0.05 1 0 0 0 0 0.001 0.0755 0.8316 0.04 0.0667 0.0182 0.0385 0.002 0.1011 0.6633 0.08 0.1333 0.0364 0.0769 0.003 0.1266 0.4949 0.12 0.2 0.0545 0.1154 0.004 0.1521 0.3266 0.16 0.2667 0.0727 0.1538 0.005 0.1776 0.1582 0.2 0.3333 0.0909 0.1923 0.006 0.2019 0 0.24 0.4 0.1091 0.2212 0.007 0.2066 0 0.28 0.4667 0.1273 0.1016 0.008 0.2112 0 0.32 0.5333 0.1271 0 0.009 0.2155 0 0.36 0.6 0.0233 0 0.01 0.219 0 0.4 0.5843 0 0 0.011 0.2223 0 0.44 0.5447 0 0 0.012 0.2256 0 0.48 0.5051 0 0 0.013 0.2288 0 0.52 0.4655 0 0 0.014 0.2321 0 0.56 0.4259 0 0 0.015 0.2354 0 0.6 0.3863 0 0 0.016 0.2387 0 0.64 0.3467 0 0 0.017 0.2419 0 0.68 0.3071 0 0 0.018 0.2452 0 0.72 0.2675 0 0 0.019 0.2485 0 0.76 0.2278 0 0 0.02 0.2518 0 0.8 0.1882 0 0 0.021 0.255 0 0.84 0.1486 0 0 0.022 0.2583 0 0.88 0.109 0 0 0.023 0.2616 0 0.92 0.0694 0 0 0.024 0.2649 0 0.96 0.0298 0 0 0.025 0.2673 0 0.9901 0 0 0 图 1 . 模型 1 中风险 k 与收益的关系 2）模型 b 的求解 模型b 本来是极小极大规划： s.t. 0 () n iii i rp x h 0 ( 1)1 n ii i p x x0 但是，可以引进变量xn+1= 0 max() ii i n q x，将它改写为如下的线性规划： s.t 1nii xxq,i=0,1,2,n, 0 () n iii i rp x h, 0 (1)1 n ii i p x,x0 具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为： min x5 s.t 54535251 026.0 ,055.0 ,015.0 ,025.0xxxxxxxx , 0, 1065.1045.102.101.1 43210i xxxxxx（ i0，1， 5） 利用matlab7.1 求解模型b，当h 取不同的值（0.10.25） ，我们计算最小风险和最优决策,收益水 平 h 取，结果如表2 所示，风险和收益的关系见图2. 表 2 . 模型 2 的计算结果 风险水平k 最大收益 0.002 0.1 0.6702 0.0783 0.1306 0.0356 0.0753 0.0024 0.11 0.6043 0.094 0.1567 0.0427 0.0904 0.0027 0.12 0.5383 0.1097 0.1828 0.0499 0.1055 0.0031 0.13 0.4724 0.1254 0.2089 0.057 0.1205 0.0035 0.14 0.4064 0.141 0.235 0.0641 0.1356 0.0039 0.15 0.3405 0.1567 0.2612 0.0712 0.1507 0.0043 0.16 0.2745 0.1724 0.2873 0.0783 0.1657 0.0047 0.17 0.2086 0.188 0.3134 0.0855 0.1808 0.0051 0.18 0.1426 0.2037 0.3395 0.0926 0.1959 0.0055 0.19 0.0767 0.2194 0.3656 0.0997 0.2109 0.0059 0.2 0.0107 0.235 0.3917 0.1068 0.226 0.0078 0.21 0 0.3114 0.519 0.0569 0.0908 0.0103 0.22 0 0.412 0.5725 0 0 0.0134 0.23 0 0.5341 0.4515 0 0 0.0164 0.24 0 0.6563 0.3305 0 0 0.0195 0.25 0 0.7784 0.2096 0 0 图 2 . 模型 2 中风险与收益h 的关系 3）模型 c 的求解 类似模型b 的求解，我们同样引进变量xn+1= 0 max() ii in q x，将它改写为如下的线性规划： min xn+1（ 1 ） 0 () n iii i rp x s.t 1nii xxq,i=0，1， 2， n 0 ( 1)1 n ii i p x x0 具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模型为： s.t 54,535251 026.0055.0 ,015.0 ,025.0xxxxxxxx 0, 1065. 1045.102. 101.1 43210i xxxxxx（ i0，1， 5） 利用matlab7.1 求解模型c，当 取不同的值（ 0.750.95） ，我们计算最小风险和最优决策 输出结果列表如下： 表 3 . 模型 3 的计算结果 风险水平最大收益率 0.76 0.0248 0.2673 0 0.9901 0 0 0 0.77 0.0248 0.2673 0 0.9901 0 0 0 0.78 0.0092 0.2165 0 0.3693 0.6147 0 0 0.79 0.0092 0.2165 0 0.3692 0.6148 0 0 0.8 0.0079 0.2107 0 0.3151 0.5218 0.1431 0 0.81 0.0092 0.2165 0 0.3687 0.6154 0 0 0.82 0.0074 0.2084 0 0.2957 0.4928 0.1344 0.0547 0.83 0.0079 0.2106 0 0.3139 0.5235 0.1425 0 0.84 0.006 0.2017 0 0.2386 0.3973 0.1082 0.226 0.85 0.006 0.2016 0 0.2375 0.3967 0.1084 0.2275 0.86 0.0062 0.2026 0 0.2468 0.4113 0.0753 0.2372 0.87 0.0066 0.2045 0 0.2653 0.4422 0.0088 0.2552 0.88 0.0059 0.2017 0 0.2379 0.3964 0.1078 0.2279 0.89 0.006 0.2017 0 0.239 0.3937 0.1079 0.2294 0.9 0.006 0.2018 0 0.2392 0.398 0.1029 0.2299 0.91 0.0059 0.2017 0 0.238 0.3958 0.1075 0.2287 0.92 0.0059 0.2016 0 0.2376 0.3961 0.108 0.2284 0.93 0.0059 0.2016 0 0.2375 0.3963 0.108 0.2282 0.94 0.0061 0.1847 0.135 0.2436 0.3309 0.1106 0.1557 0.95 0.0059 0.2016 0 0.2376 0.396 0.108 0.2285 0.96 0.0017 0.0916 0.7256 0.0652 0.1065 0.0302 0.0641 0.97 0.0054 0.1848 0.114 0.2141 0.3564 0.0974 0.192 图 3 . 模型 3 中风险与收益的关系 图 4. 模型 3 中风险与偏好系数的关系 图 5 . 模型 3 中收益与偏好系数的关系 结果分析 1） 结合图 1， 对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.006 ， 0.2019 ） ， 这时对的投资比例见表1 的黑体所示。 2）从表1 中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2， 然后是S1 和 S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（ ripi）较 大的S1 和 S2这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果 3）从表 2 看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和， 总收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（）最大的和。这 些与人们的经验是一致的。 4）结合图 2，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（0.059 ，0.2 ） ， 这时对的投资比例见表2 的黑体所示。 5）从图 5 可以看出，模型3 的风险与收益关系与模型1 和模型 2 的结果几乎完全一致。 6）本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风险 最小，以及引入收益风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用matlab7.1求解， 所得结果具有一定的指导意义。 模型改进 本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用最大风 险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是进一步 的改进方向。 结论 1.风险大，收益也大； 2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致，冒险的投资者会出现集中投资的情 况，保守的投资者则尽量分散投资； 3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。可以针对不同风 险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合 参考文献 1MATLAB程序设计与实例应用。张铮等。北京：中国铁道出版社，2003.10 2 运筹学 方法与应用。吴风平。南京：河海大学出版社，2000.12 3 数学模型及方法 。李火林主编。江西高校出版社，1997.10 4 数学建模教育及竞赛。甘筱青主编。南昌：江西高校出版社。2004.6 5 萧树铁，面向21 世纪课程教材：大学数学数学实验，北京：高等教育出版社，1999.7. 6 赫孝良，戴永红等编著， 数学建模竞赛： 赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，2002.6. 7 陈叔平，谭永基，一类投资组合问题的建模与分析，数学的实践与认识，（29）7：45-49 ，1999.