《分式的基本性质》练习题.pdf

分式的基本性质典型例题 例 1 下列分式的变形是否正确，为什么？ （1） 2 a ab a b （2） ac bc a b 例 2写出下列等式中的未知分子或未知分母。 （1） 322 )( baab ba （2） )( 1 1 12 3 2 a a aa 例 3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为 整数. （1） yx yx 02.05 .0 3.02. 0 （2） yx y y x 3 2 4 1 1 2 .0 例 4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正 数. （1） 32 2 1 1 aa aa （2） 23 3 2 xx x 例 5已知不论 x 取什么数时，分式 5 3 bx ax （05bx）都是一个定值，求 a、 b应满足的关系式，并求出这个定值. 例 6已知一个圆台的下底面是上底面的4 倍，将圆台放在桌面上，桌面 承受压强为 P 牛顿/ 2 米 ，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？ 例 7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“ ” 号： 例 8不改变分式的值，使分式 yx yx 4.05 .0 3 1 2 1 的分子、分母中的多项式的系数 都是整数 例 9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说 明理由： （1） bba a 1 1 ；（2） baba ba1 22 ； （3）xx x xxx 2 2 22 3 23 ；（4） baab ba1 22 例 10化简下列各式： （1） 32 3 45 3 ba ba ；（2） bba a 82 16 2 4 ； （3） 6 233 22 22 xxxx xxxx 参考答案 例 1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性 质去衡量，0M是基本性质的生果组成部分，应特别注意. 解 （1）已知分式ab/中已隐含了0a，用 a分别乘以分式的分子、分 母，分式的值不变，故（1）是正确的 . （2）因为已知分式ba /中，没限制 c， c可以取任意数，当然也包括了 0c，当分式的分子、分母都乘以0c时，分式没意义，故（ 2）是错误的 . 例 2分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手， 显然， 32b a是 由 2 ab乘以ab得到的，由分式的基本性质，ba也要乘以ab，所以括号内应填 abba)( （2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子， 22 ) 1(12aaa除以 1a得到右边分子1a，按照分式的基本性质，1) 1() 1( 23 aaaa，故 括号内应填.1 2 aa 解： （1） 322 )( ba abba ab ba （2） )1( 1 1 12 23 2 aa a a aa 例 3分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的 基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？ （1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍 数. （2）中分子、分母中各项系数( 5 1 2.0)是分数，这个数应该是各项系数的 分母的最小公倍数，即5，2，4，3 的最小公倍数 60. 解： （1）法 1：原式 50)02.05 .0( 50)3.02.0( yx yx yx yx 25 1510 法 2：原式 100)02.05.0( 100)3.02.0( yx yx yx yx yx yx 25 1510 250 3020 （2）原式 yx yx yx yx 4015 3012 60) 3 2 4 1 ( 60) 2 1 5 1 ( 说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍 乘分子分母的每一项，防止漏乘. 例 4分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符 号. （2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式 本身的符号 . 解： （1） 32 2 1 1 aa aa )1( )1( 32 2 aa aa 1 1 23 2 aa aa （2） 23 3 2 xx x )23( 3 2 xx x 23 3 2 xx x 例 5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值， 而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法. 解：当0x时， 5 3 5 3 bx ax 1x时， 5 3 5 3 b a bx ax 不论 x取什么实数， 5 3 bx ax 是一个定值 5 3 5 3 b a ，153155aa ba35ba 5 3 把ba 5 3 代入原式，得 5 3 5 )5( 5 3 5 3 5 3 5 3 bx bx bx bx bx ax a、b的关系为ba35；定值为 5 3 例 6解： 设圆台的压力为 G 牛顿， 下底面积为 1 S 2 米 ， 上底面积为 2 S 2 米 . 则 1 S G P, 21 4SS 21 4PSPSG 当圆台倒放时，桌面受到的压强为： P S PS S G 4 4 2 2 2 (牛顿/ 2 米 ) 答：桌面受到的压强为P4牛/ 2 米 . 说明运用分式知识，有助于解决物理中问题 （1） n m 2 5 ；（2） a b4 ；（3） yx x 6 3 ；（4） ba ba 32 例 7分析根据“ 分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改 变其中任意两个，分式的值不变” 解： （1）同时改变分子和分式的符号，得 n m n m 2 5 2 5 ； （2）同时改变分母和分式的符号，得 a b a b44 ； （3）先确定是分母的符号，再变号，得 yx x yx x yx x 6 3 6 3 6 3 ； （4）先确定是分子的符号，然后变号，得 ba ba ba ba ba ba323232 说明1分式中的分数线实际上起到了括号的作用如果分式的分子或分 母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3） ， （4）题， 千万不可误解成 yx x yx x 6 3 6 3 或 ba ba ba ba3232 ； 2对于（ 4）题，也可处理成 ba ab ba ba2332 的形式 例 8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小 公倍数是 10，而 10 和 6 的小公倍数是 30于是可利用分式的基本性质：分子、 分母同时乘以 30 解： yx yx yx yx yx yx 1215 1015 30 5 2 2 1 30 3 1 2 1 4.05 .0 3 1 2 1 说明1利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了 数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件 2 操作过程中，用数 30 的确定是问题的关键所在 因此不仅要考虑到分子、 分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位 例 9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式 解： （1） 、 （2） 、 （3）题的变形都不是约分，结果都是错误的 （1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“ 除以一个 整式 a” 是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一项进行，就 违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的 （2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解因此分子、分母没有公因 式，它是最简分式故此题的变形是毫无根据的 （3） 当分子、 分母都是乘积的形式， 才有约分的可能，而这里 23 2xx与2x 是和的形式，因此不能进行约分正确的结果解法是： 2 22 2 22 223 x xxx x xxx 1 2 122 2 x x xx （4）此题是约分变形因此分母化成baba的形式，与分子约去公 因式ba可得 说明1对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、 定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲； 2对（ 1） 、 （2） 、 （3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明如（1） 题：当2a，3b时， 31 1 32 2 （2） 、 （3）题同理 例 10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简 公式因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于 多项式仍然要先分解因式 解：（1） 222 2 32 3 15153 3 45 3 b a bba aba ba ba ； （2） b a ab aa bba a 2 4 42 44 82 16 2 2 22 2 4 ； （3）1 321 213 6 233 22 22 xxxx xxxx xxxx xxxx 说明1当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的 2 约分是实现化简分式的一种手段通过约分将分式化成最简才是目的 而 最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件 3把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情 况，而不可盲目进行分解例如（2）题，分式 b a 2 4 2 已经是最简分式了，因此 就没有必要将分子再继续分解了