中考数学压轴题、几何证明题.pdf

中考数学例题讲解 【例】如图 10，平行四边形 ABCD 中，AB 5，BC 10，BC边上的高 AM =4，E 为BC边上的一个动点（不与 B、C重合） 过E作直线AB的垂线，垂足为FFE 与 DC的延长线相交于点 G ，连结 DE ，DF 。 （1）求证： BEF CEG （2）当点 E在线段 BC上运动时， BEF和CEG 的周长之间有什么关系？并 说明你的理由 （3）设 BE x，DEF的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求 出当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？ 解析过程及每步分值 （ 1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDG··········· 1 分 所以,BGCEGBFE 所以BEFCEG························· 3 分 （ 2）BEFCEG与的周长之和为定值················· 4 分 理由一： 过点C作FG的平行线交直线AB于H， 因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以FHCG，FGCH 因此，BEFCEG与的周长之和等于BCCHBH 由BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6， 所以BCCHBH24 ·························· 6 分 理由二： 由AB5，AM4，可知 在 RtBEF与 RtGCE中，有： 4343 , 5555 EFBEBFBEGEECGCCE， 所以，BEF的周长是 12 5 BE， ECG的周长是 12 5 CE 又BECE10，因此BEFCEG与的周长之和是24··········· 6 分 图 10 M B D C E F G x A A M x H G F E D CB （ 3）设BEx，则 43 ,(10) 55 EFxGCx 所以 2 11 43622 (10)5 22 55255 yEF DGxxxx········· 8 分 配方得： 2 655121 () 2566 yx 所以，当 55 6 x时，y有最大值····················· 9 分 最大值为 121 6 ······························10 分 【例】如图二次函数yax 2bxc( a0)与坐标轴交于点 A、B、C且 OA 1 OB OC 3 （1）求此二次函数的解析式 （2）写出顶点坐标和对称轴方程 （3）点 M 、N在 yax 2bxc 的图像上 ( 点 N在点 M的右边 )，且 MN x 轴，求 以 MN为直径且与 x 轴相切的圆的半径 解析过程及每步分值 （1）依题意( 1 0)(3 0)(03)ABC，分别代入 2 yaxbxc········ 1 分 解方程组得所求解析式为 2 23yxx··················· 4 分 （2） 22 23(1)4yxxx······················ 5 分 顶点坐标(14)，对称轴1x······················ 7 分 （3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1)rr，········ 8 分 把N点代入 2 23yxx得 117 2 r·················· 9 分 同理可得另一种情形 117 2 r 圆的半径为 117 2 或 117 2 10 分 【例 3】已知两个关于x的二次函数 1 y与当 xk时， 2 17y；且二次函数 2 y的 图象的对称轴是直 22 2112 ()2(0)612yya xkkyyxx，线1x （1）求 k 的值； （2）求函数 12 yy，的表达式； （3）在同一直角坐标系内，问函数 1 y的图象与 2 y的图象是否有交点？请说 明理由 解析过程及每步分值 （1）由 22 112 ()2612ya xkyyxx， 得 2222 2121 ()612()2610()yyyyxxa xkxxa xk 又因为当xk时， 2 17y，即 2 61017kk， 解得 1 1k，或 2 7k（舍去），故k的值为1 （2）由1k，得 222 2 610(1)(1)(26)10yxxa xa xaxa， 所以函数 2 y的图象的对称轴为 26 2(1) a x a ， 于是，有 26 1 2(1) a a ，解得1a， 所以 22 12 212411yxxyxx， （3）由 2 1 (1)2yx，得函数 1 y的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，； 由 22 2 24112(1)9yxxx，得函数 2 y的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标 为( 1 9)，； 故在同一直角坐标系内，函数 1 y的图象与 2 y的图象没有交点 【例 4】如图 , 抛物线 2 4yxx与 x 轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接 AB,把 AB 所的直线沿y 轴向上平移 , 使它经过原点O,得到直线l, 设 P是直线 l 上一动点 . （1）求点 A的坐标 ; （2）以点 A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写 出这些特殊四边形的顶点P的坐标 ; （ 3）设以点A、 B、 O、 P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x, 当 46 268 2S时 , 求 x 的取值范围 . 解析过程及每步分值 解： （1）4)2(4 22 xxxy A(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时， P1(-2,4) 四边形 ABOP 2为等腰梯形时，P1( 5 4 5 2 ，) 四边形 ABP3O为直角梯形时，P1( 5 8 5 4， ) 四边形 ABOP 4为直角梯形时，P1( 5 12 5 6 ，) （3） 由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是 y=-2x 当点 P在第二象限时，x0, 过点 A、 P分别作 x 轴的垂线，垂足为A、 P 则四边形POA A的面积 44)2( 2 1 )2( 2 24 xxxx x SSS OPPAAP梯形PAAPO AA B的面积424 2 1 BAA S )0(84 xxSSS BAAAAPO 286264S， 286 264 S S 即 28684 26484 x x 2 124 2 223 S x x 的取值范围是 2 124 2 223 x 【例 5】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测， 种植树木的 利润 1 y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润 2 y 与投资 量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元） （1）分别求出利润 1 y与 2 y 关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少 利润？他能获取的最大利润是多少？ 解析过程及每步分值 解： （1）设 1 y=kx, 由图所示，函数 1 y=kx的图像过（ 1，2） ，所以 2=1k，2k 故利润 1 y关于投资量x的函数关系式是 1 y=x2； 因为该抛物线的顶点是原点，所以设 2 y= 2 ax，由图12- 所示，函数 2 y= 2 ax的图像 过（ 2，2） ， 所以 2 22a， 2 1 a 故利润 2 y关于投资量x的函数关系式是 2 2 1 xy； （2）设这位专业户投入种植花卉x万元（80x） ， 则投入种植树木（x8）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得 =)8(2x+ 2 2 1 x=162 2 1 2 xx=14)2( 2 1 2 x 当2x时，的最小值是14； 因为80x，所以622x 所以36)2( 2 x 所以18)2( 2 12 x 所以32141814)2( 2 1 2 x，即32z，此时8x 当8x时，的最大值是32. 【例 6】如图，已知( 4,0)A，(0, 4)B，现以 A点为位似中心，相似比为9:4 ， 将 OB向右侧放大， B点的对应点为 C （1）求 C点坐标及直线 BC的解析式 ; （2）一抛物线经过 B、C两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解 析式并画出函数图象 ; （3）现将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所 有满足到直线 AB距离为3 2的点 P 解析过程及每步分值 解: （1）过 C点向 x 轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知： ABO ACD ， 4 9 AOBO ADCD 由已知( 4,0)A，(0,4)B可知：4,4AOBO 9ADCD C点坐标为(5,9) 直线 BC的解析是为： 40 9450 yx 化简得：4yx （2）设抛物线解析式为 2 (0)yaxbxc a，由题意得： 2 4 9255 40 c abc bac ， 解得： 1 1 1 1 4 4 a b c 2 2 2 1 25 4 5 4 a b c 解得抛物线解析式为 2 1 44yxx或 2 2 14 4 255 yxx 又 2 2 14 4 255 yxx的顶点在x 轴负半轴上，不合题意，故舍去 满足条件的抛物线解析式为 2 44yxx （准确画出函数 2 44yxx图象） （3） 将直线 BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点P，设 P到 直线 AB的距离为h， 故 P点应在与直线AB平行，且相距3 2的上下两条平行直线 1 l和 2 l上 由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC的距离也为3 2 如图，设 1 l与 y 轴交于 E点，过 E作 EF BC于 F 点， 在 RtBEF中3 2EFh，45EBFABO， 6BE可以求得直线 1 l与 y 轴交点坐标为(0,10) 同理可求得直线 2 l与 y 轴交点坐标为(0,2) 两直线解析式 1: 10lyx； 2 :2lyx 根据题意列出方程组： 2 44 10 yxx yx ； 2 44 2 yxx yx 解得： 1 1 6 16 x y ； 2 2 1 9 x y ； 3 3 2 0 x y ； 4 4 3 1 x y 满足条件的点P有四个，它们分别是 1(6,16) P， 2( 1,9) P， 3(2,0) P， 4(3,1) P . 【例 7】如图， 抛物线 2 1: 23Lyxx交x轴于 A、B两点， 交y轴于 M点. 抛物线 1 L向 右平移 2 个单位后得到抛物线 2 L， 2 L交x轴于 C 、D两点 . （1）求抛物线 2 L对应的函数表达式； （2）抛物线 1 L或 2 L在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M ，N 为顶点的四边 形是平行四边形. 若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P是抛物线 1 L上的一个动点（P不与点 A、B重合） ，那么点P关于原点的对 称点 Q是否在抛物线 2 L上，请说明理由. 解析过程及每步分值 【例 8】如图，在矩形 ABCD中，9AB，3 3AD，点 P 是边 BC 上的动点（点 P不与点B，点 C 重合） ，过点P作直线PQBD，交 CD 边于Q点，再把 PQC沿着动直线PQ对折，点 C 的对应点是R点，设 CP 的长度为x， PQR与矩形 ABCD 重叠部分的面积为y （1）求CQP的度数； （2）当x取何值时，点 R落在矩形 ABCD 的 AB边上？ （3）求y与x之间的函数关系式； 当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27 ？ 解析过程及每步分值 解： （1）如图，四边形ABCD是矩形，ABCDADBC， 又9AB，3 3AD，90C， 9CD，3 3BC 3 tan 3 BC CDB CD ，30CDB PQBD，30CQPCDB （2）如图 1，由 轴对称 的性质可知，RPQCPQ， RPQCPQ，RPCP 由（ 1）知30CQP，60RPQCPQ， D Q C B P R A B A D C （备用图1） B A D C （备用图2） D Q C B P R A （图 1） 60RPB ，2RPBP CPx，PRx，3 3PBx 在RPB中，根据题意得：2(3 3)xx， 解这个方程得：2 3x （3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时， 02 3x， 2 113 3 222 CPQ SCPCQxxx ， RPQCPQ，当02 3x 时， 2 3 2 yx 当R在矩形ABCD的外部时（如图2） ，2 33 3x， 在RtPFB中，60RPB， 22(3 3)PFBPx， 又RPCPx，36 3RFRPPFx， 在RtERF中， 30EFRPFB ，36ERx 2 13 3 1818 3 22 ERF SERFRxx ， RPQERF ySS ， 当2 33 3x时， 2 31818 3yxx 综上所述， y与x之间的 函数 解析式是： 2 2 3 (02 3) 2 31818 3(233 3) xx y xxx 矩形面积93 327 3，当02 3x 时， 函数 2 3 2 yx随自变量的增大而 增大，所以y的最大值是6 3，而矩形面积的 7 27 的值 7 27 37 3 27 ， 而7 36 3，所以，当02 3x时，y的值不可能是矩形面积的 7 27 ； D Q C B P R A （图 2） F E 当2 33 3x时，根据题意，得： 2 31818 373xx，解这个方程，得3 32x，因为3 323 3， 所以3 32x不合题意，舍去 所以3 32x 综上所述，当3 32x时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27