北理工信号与系统实验(4)资料.pdf

实验 4 LTI 系统的频域分析 一、 实验目的 1. 加深对 LTI 系统频率响应基本概念的掌握和理解 2. 学习和掌握 LTI 系统频率特性的分析方法 二、 实验原理 1. 连续时间系统的频率响应 系统的频率响应定义为系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，即 ( )( ) j Hhed若 LTI 连续时间系统的单位冲激响应为h(t)，输入信号为 x(t)，根据系统的时域分析可知系统的零状态响应为(t)x(t)h(t)y，对等式两边 分别求傅里叶变换，根据时域卷积定理可以得到( )X()H()Y。 因此，系统的频率响应还可以由系统的零状态响应和输入的傅里叶变换之比 得到H()Y()/ X()。 H()反映了 LTI 连续时间系统对不同频率信号的响应特性，是系统内在固有 的特性，与外部激励无关。H()又可以表示为 () H( )=|H()|e j ，其中|H()|称 为系统的幅度响应，()称为系统的相位响应。 当虚指数信号 e jt 作用于 LTI 系统时，系统的零状态响应y(t)仍为同频率的虚 指数信号，即 y(t)=eH() j t 。 对于由下述微分方程描述的LTI 连续时间系统 (n)(m) 00 (t)(t) NM nm nm a yb x ，其频 率响应H(j)可以表示为有理多项式 1 110 1 110 (j)(j).j( ) ( ) ( )(j)(j).j MM MM NN NN bbbbY H Xaaaa MATLAB 的信号处理工具箱提供了专门的函数freqs， 用来分析连续时间系统 的频率响应，该函数有下列几种调用格式： h,w=freqs(b,a) 计算默认频率范围内200 个频率点上的频率响应的取样值， 这 200 个频率点记录在 w 中。 h=freqs(b,a,w) b、a分别为表示H(j)的有理多项式中分子和分母多项式的系 数向量， w 为频率取样点，返回值h 就是频率响应在频率取样点上的数值向量。 h,w=freqs(b,a,n) 计算默认频率范围内n 个频率点上的频率响应的取样值， 这 n 个频率点记录在 w 中。 freqs(b,a,) 这种调用格式不返回频率响应的取样值， 而是以对数坐标的方式 绘出系统的幅频响应和相频响应。 2. 离散时间系统的频率响应 LTI 离散时间系统的频率响应定义为单位抽样响应h(t)的离散时间傅里叶变 换。(e)(n)e jjn Hh对于任意输入信号x(n)，输入与输出信号的离散时间傅 里叶变换有如下关系Y(e)H(e)X(e) jjj 因此，系统的频率响应还可以表示为 H(e)=Y(e)/ X(e) jjj 当系统输入信号为(n)e jn x时，系统的输出 (nk) y(n)e(n)(k)e(e) jnjjnj k hehH 虚指数信号通过 LTI 离散时间系统后信号的频率不变， 信号的幅度由系统频率响 应的幅度值确定，所以H(e) j 表示了系统对不同频率信号的衰减量。 一般情况下离散系统的频率响应H(j)是复值函数，可用幅度和相位表示。 () H(e)=|H(e)|e jjj ，其中 |H(e )| j 称为系统的幅度响应，()称为系统的相位 响应。若 LTI 离散系统可以由如下差分方程描述 00 (n)(n) NM ij ij a yib xj ，其频 率响应 H(e) j 可以表示为有理多项式 01 01 e.e(e) (e) (e)e.e jjMj j M jjjN N bbbY H Xaaa MATLAB 的信号处理工具箱提供了专门的函数freqz，用来分析离散时间系 统的频率响应，该函数有下列几种调用格式： H,w=freqz(b,a,n) b 、a 分别为有理多项式分子中和分母多项式的系数向量， 返回值 H 是频率响应在 0 到 pi 范围内 n 个频率等分点上的数值向量，w 包含了 这 n 个频率点。 H,w=freqz(b,a,n,whole) 计算 02n 个频率点上的频率响应的取样值，这n 个频率点记录在 w 中。 H=freqz(b,a,w) w 为频率取样点，计算这些频率点上的频率响应的取样值。 freqz(b,a, ) 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是直接绘出系统的 幅频响应和相频响应。 三、 实验内容 1.已知一个 RLC 电路构造的二阶高通滤波器， 其中FCHL C L R05.0,4. 0, 2 （1）计算该电路系统的频率响应及高通截止频率 解：由电路图 50)(10)( )( 1 11 1 11 1 )( )( )( 2 2 jj j Cj LjR LjR tx ty H高通截止频率为7.07 （2）利用 MATLAB绘制幅度响应和相位响应曲线，比较系统的频率特性与理 论计算的结果是否一致。 解： b=1 0 0; a=1 10 50; H,w=freqs(b,a); subplot(211); plot(w,abs(H); set(gca,'xtick',0;10); set(gca,'ytick',0 0.4 0.707 1); xlabel('omega(rad/s)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(jomega)|'); grid on; subplot(212); plot(w,angle(H); set(gca,'xtick',0;10); xlabel('omega(rad/s)'); ylabel('Phase'); title('|phi(omega)|'); grid on; 010 0 0.4 0.707 1 (rad/s) M a g n it u d e |H(j)| 010 0 1 2 3 4 (rad/s) P h a s e |phi()| 由图像，系统的频率特性与理论计算的结果一致。 2.已知一个 RC 电路 （1）对不同的 RC 值，用 MATLAB 画出系统的幅度响应曲线|H()|，观察实验 结果，分析 RC 电路具有什么样的频率特性（高通、低通、带通或带阻）？系统 的频率特性随着 RC 值的改变，有何变化规律？ 解：电路的频率响应为 1 1 1 1 )( )( )( RCj R Cj Cj tx ty H syms rc k; r=input('r='); c=input('c='); k=r*c; b=1; a=k 1; H,w=freqs(b,a); subplot(211); plot(w,abs(H); set(gca,'xtick',0,10); set(gca,'ytick',0 0.4 0.707 1); xlabel('omega(rad/s)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(jomega)|'); grid on; subplot(212); plot(w,angle(H); set(gca,'xtick',0,10); xlabel('omega(rad/s)'); ylabel('Phase'); title('|phi(omega)|'); grid on; r=1 c=0.1 010 0 0.4 0.707 1 (rad/s) M a g n it u d e |H(j)| 010 -1.5 -1 -0.5 0 (rad/s) P h a s e |phi()| r=10 c=0.1 010 0 0.4 0.707 1 X: 1.012 Y: 0.703 (rad/s) M a g n it u d e |H(j)| 010 -1.5 -1 -0.5 0 (rad/s) P h a s e |phi()| r=100 c=0.1 0 0 0.4 0.707 1 X: 0.1012 Y: 0.703 (rad/s) M a g n it u d e |H(j)| 0 -1.5 -1 -0.5 0 (rad/s) P h a s e |phi()| （2）系统输入信号(t)cos(100t)cos(3000t), t0 0.2sx ，该信号包含了一个 低频分量和一个高频分量。试确定适当的RC 值，滤除信号中的高频分量，并绘 出滤波前后的时域信号波形及系统的频率响应曲线。 解： b=1; a=0.0015 1; h=tf(b,a); H,w=freqz(b,a); t=0:0.001:0.2; x=cos(100*t)+cos(3000*t);plot(t,x); lsim(h,x,t);plot(w,abs(H); xlabel('omega(rad/s)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(jomega)|'); grid on; RC=0.0015 00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 -2 -1 0 1 2 00.511.522.533.5 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 (rad/s) M a g n it u d e |H(j)| Linear Simulation Results Time (seconds) A m p li t u d e RC=0.001 00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 -2 -1 0 1 2 00.511.522.533.5 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 (rad/s) M a g n it u d e |H(j)| Linear Simulation Results Time (seconds) A m p l it u d e 3.已知离散系统的系统框图 （1）写出 M=8 时系统的差分方程和系统函数 解：差分方程：y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)+x(n-5)+x(n-6)+x(n-7) 系统函数： 87654321 1 1 )( zzzzzzzz zH （2）利用 MATLAB 计算系统的单位抽样响应 b=1 1 1 1 1 1 1 1 1; a=1; impz(b,a,-10:10); -10-8-6-4-20246810 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n (samples) A m p l it u d e Impulse Response （3）试利用 MATLAB绘出其系统零极点分布图、幅频和相频特性曲线，并分析该 系统具有怎样的频率特性。 解：系统的极点分布图程序及图像如下： b=1 1 1 1 1 1 1 1 1; a=1; zplane(b,a,-10:10); -1-0.500.51 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 8 Real Part I m a g in a r y P a r t 系统的幅频和相频特性曲线如下： b=1 1 1 1 1 1 1 1 1; a=1; H,w=freqz(b,a); subplot(211); plot(w/pi,abs(H); xlabel('omega(pi)'); ylabel('Magnitude'); title('|H(ejOmega)|'); grid on ; subplot(212); plot(w/pi,angle(H)/pi); xlabel('omega(pi)'); ylabel('Phase(pi)'); title('theta(Omega)'); grid on ; 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 0 5 10 ( ) M a g n it u d e |H(ej)| 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -1 -0.5 0 0.5 ( ) P h a s e ( ) () 3. 已知一离散时间 LTI 系统的频率响应 H(e) j ，输入信号为 (n)cos(0.3n)0.5cos(0.8n)x。试分析正弦信号 0 sin(t) 通过频率响应为 H(e) j 的离散时间系统的响应，并根据分析结果计算系统对于x(n)的响应 y(n)， 用 MATLAB 绘出系统输入与输出波形。 观察实验结果，分析系统具有什么样的频率特性 （高通、低通、带通或带阻）? 从输入输出信号上怎么反映出系统的频率特性？ 解： n=0:1:50; x=cos(0.3*pi*n)+0.5*cos(0.8*pi*n); y=sinc(0.5*pi*n);z=conv(x,y); subplot(211); stem(x,'filled'); axis(0 50 -2 2); subplot(212); stem(x,'filled'); axis(0 50 -2 2); 05101520253035404550 -2 -1 0 1 2 05101520253035404550 -2 -1 0 1 2 四、 实验总结 通过本次实验，掌握和理解了LTI 系统频率响应的基本概念，学习和掌握了 LTI 系统频率特性的 MATLAB 分析方法。实验中，需要先计算系统的频率响应 1 110 1 110 (j)(j).j( ) ( ) ( )(j)(j).j MM MM NN NN bbbbY H Xaaaa ，然后再根据实际参数通过 MATLAB函数绘制出系统的幅度响应和相位响应曲线。由于没有提前计算出频 率响应表达式， 所以实验开始时耽误了一些时间，计算之后速度便提了上来， 顺 利完成了实验。通过实验对MATLAB 的掌握程度和熟练度皆有提升，以后的实 验会更加顺利。