2014-2015学年湖南师大附中高二上第一次月考数学试题(文).pdf
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2014-2015学年湖南师大附中高二上第一次月考数学试题(文).pdf
1 湖南师大附 中 2016 届高二第一次月考试题 数学(文科) 命题: 高二文科数学备课组审题: 高二文科数学备课组 一、选择题:本大题共10 个小题,每小题5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A1 ,2,3, 5,7 ,Bx N| 2x6,全集UABU,则() U ABIe( A ) A. 1 ,2,7 B. 1 ,7 C. 2 ,3, 7 D. 2 , 7 2.设 a,b,c 为实数,则使a b 成立的一个充分不必要条件是( D ) A. acbcB. ab cc C. acbcD. ac 2bc2 3. .函数 f( x) 1 ln x1 2 9x的定义域是( B ) A. 3,0) ( 0,3B.( 1,0) (0,3C. 3,3D. ( 1,3 4.师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛,七位 评委为某参赛选手给出的分数( 满分: 100 分) 如右茎叶图所示, 去掉一个最高分和一个最低分后,则余下5 个分数的方差是( A ) A. 1.6 B. 8 C. 1.6D.2 2 5.已知 tan( ) 2,则 2 sin2cos( D ) A. 1 B. 3 5 C. 1 5 D. 3 5 【解析】由已知,tan 2,则原式 2 222 2sincoscos2tan13 sincostan15 ,选 D. 6.在区间 ( 0,1) 上任取两个数x,y,则事件“ 4 3 xy”发生的概率是( D ) A. 9 2 B. 9 5 C. 9 4 D. 9 7 【解析】图中阴影部分的面积除以正方形的面积为所求的概率. 所以 1 2 27 1 2 3 39 P,选 D. 7.已知函数f( x) ( t 2 t1) 3 5 t x 是幂函数,其图象关于y 轴对称,则实数t 的值为( C ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 0 或 1 8.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 1 1 2 a,且 123 aaa,则 S40 ( C ) A. 290 B. 390 C. 410 D. 430 9.将函数sin(2) 3 yx图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍 ( 纵坐标不变 ) ,再将图象向右平移 3 个单位,则所得图象的函数解析式是( D ) 7 9 8 4 4 6 4 7 9 3 茎叶 x 4 3 xy 1 1 O y 2 A. f( x)cos 4xB. f( x) cos xC. f( x) sin 4xD. f( x) sin x 10.已知向量a,b 满足: | a| 1,b(3, 1) ,则 | ab| 的最大值是( B ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题: 本大题共5 个小题, 每小题 5 分,共 25 分. 把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 11. 从某 500 件产品中随机抽取50 件进行质检,利用随机数表法抽取样本时,先将这500 件产品按 001,002, , , 500 进行编号 . 如果从随机数表第8 行第 8 列的数 8 开始,从左往右读数,则依次 抽取的第4 个个体的编号是_ 286 . (下面摘录了随机数表第7 行至第 9 行各数) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【解析】第一个读数是859,舍去;第二个读数是169,取出;,. 依次抽取的前4 个个体的编号分 别是 169,105,071,286. 12. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则这个三棱柱 的体积等于3. 13.若 ABC 的面积为3 3, BC3,C60° ,则 AB 边的长度等于13. 14.已知 x0, y0,且 21 1 xy ,则 x2y 的最小值是8 . 【解析】由已知, 21 1 xy ,则 2144 2(2 )()4428 xyxy xyxy xyyxyx . 当且仅当x4,y2 时取等号,所以x2y 的最小值是8. 15.函 数 2 2 1,0 ( ) (1),0 ax axx fx aex 在(,)上 单 调 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (,2(1,2. 三、解答题:本大题共6 个小题 , 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12 分) 已知集合A x| x 24ax 3a20,集合 B x| x26x8 0,其中 a0 为常数 . () 设条件 p:xA;条件 q:x B,若 p 是 q 的必要不充分条件,求a 的取值范围; ()设命题r:a0,使ABI,试判断命题r 的真假 . 【解】 () 由 x 24ax3a2 0,得 (3 )()0xaxa. 因为 a 0,则 3axa,所以 A( 3a,a) . (2 分) 由 x26x8 0,得 ( x4)( x2) 0,即 x 4或 x 2. 所以 B ( , 4 2, ) . (4 分) 因为 p 是 q 的必要不充分条件,则qp,即pq,所以 A 是 B 的真子集 . (6 分) 所以 a 4 或 2 3a0,故 a 的取值范围是 2 (, 4,0) 3 U. (8 分) ()假设ABI,则 34 2 a a ,即 4 3 2 a a ,无解 . ( 10 分) 1 1 1 3 所以对任意a0,ABI,即 r 为真命题,故命题r 为假命题 . ( 12 分) 17.(本题满分12 分)已知函数f(x)2cosx (3sinxcosx)1. ()求函数f (x)在区间 0, 2上的最大值和最小值; ()若f (x0) 6 5 ,x0 4, 2,求 cos2x0 的值 【解】 ()因为 f (x)2 3sinxcosx2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x 6). (3 分) 当0, 2 x时, 7 2, 666 x, 1 sin(2),1 62 x. (5 分) 所以 f (x)在区间 0, 2上的最大值为 2,最小值为 1. (6 分) ()因为 f (x0)2sin(2x0 6) 6 5 ,则 sin(2 x0 6) 3 5. (7 分) 因为 x0 4, 2,则 2 x 0 6 2 3 , 7 6 从而 cos(2 x0 6) 0 4 1sin2(2) 65 x(2 分) 故 cos2 x0cos(2 x0 6) 6cos(2 x0 6)cos 6sin(2 x0 6)sin 6 343 10 . ( 12 分) 18 (本题满分12 分) 为了解学生家长对师大附中实施现代教育教改实验的建设性意见,学校决定用分层抽样的方法, 从高中三个年级的家长委员会中共抽取6 人进行座谈 . 已知高一、高二、高三年级的家长委员会分 别有 54 人、 18 人、 36 人 ()求从三个年级的家长委员会中应分别抽取的家长人数; ()若从已经抽取的6 人中再随机选取3 人加入教改课题组,求这3 人中至少有一人是高三学生 家长的慨率 . 【解】 ()因为三个年级家长委员会总人数为5418 36108,则抽样比例为 61 10818 .(2 分) 因为 1 543 18 , 1 181 18 , 1 362 18 . 所以从三个年级的家长委员会中应分别抽取的家长人数为:高一3 人,高二 1 人,高三 2 人.(6 分) ()记从高一抽得的3 个家长为a、b、c,从高二抽得的1 个家长为 d,从高三抽得的2 个家长为 e、f,则从 6 人中随机抽取3人的所有可能结果为: abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef,cde,cdf, cef, def 共 20 种. (9 分) 抽取的 3 人中没有一人是高三学生家长的结果有:abc, abd, acd, bcd 共 4 种 故所求的概率为 44 1 205 P. ( 12 分) 19.(本题满分12 分) 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中, BCCC12,点 E 在棱 AB 上. ()证明: B1CC1E; 4 ()若四棱锥EB1BCC1的体积为 4 3 ,求异面直线AA 1与 C1E 所成的角 . 【解】 ()连结BC1,因为 BCCC1,则 四边形 BCC1B1为正方形,所以B1CBC1. (2 分) 因为 AB平面 BCC1B1,则 ABB1C. (4 分) 结合知, B1C平面 BC1E,所以 B1CC1E. (6 分) ()因为CC1AA 1,则 CC1E 为所求的角 . (7 分) 因为 BCCC1 2,则 11 1 12 33 EB BCC VBC CCBEBE. 由已知, 24 33 BE,则 BE2. (9 分) 在 RtCBE 中, 22 6CEBEBC. (10 分) 在 RtC1CE 中, 1 1 tan3 CE CC E CC ,所以 CC1E60° . 故异面直线AA 1与 C1E 所成的角为60° . (12 分) 20.(本题满分13 分) 已知圆 C:x2y22x4y40问在圆C 上是否存在两点A、B 关于直线ykx1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线AB 的方程;若不存在,说明理由 【解】圆 C 的方程可化为(x1)2(y2)29,圆心为 C (1, 2)假设在圆C 上存在两点A、B 满足条件, 则圆心 C(1, 2)在直线 ykx1 上,即 k 1(3 分) 于是可知,1 AB k 设bxyAB :,代入圆C 的方程,整理得044)1(22 22 bbxbx, 则 0 ,即096 2 bb 解得233233b(7 分) 设点 A、B 的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 x2 b 1,x1x21 2b 22b2 由题意知OA OB, 则有 x1x2y1y20,( 10 分) 也就是 x1x2(x1b)(x2 b)0 2x1x2b(x1x2)b20 b24b 4b2bb20,化简得b23b40 解得 b 4 或 b 1,均满足 0,12 分 即直线 AB 的方程为 xy40,或 xy1 0(13 分) 21.(本题满分13 分) 已知数列 an 满足: 2 1 21 2 nn aa a n ( nN* ) . ()求数列an的通项公式; ()设 2 2 n n nn b a , 数列 bn的前n项和为. n S若对一切n N* , 都有 SnM 成立 ( M 为正整数 ) , A B C D A1 B1 C1 D1 E 5 求 M 的最小值 . 【解】 ()因为 2 1 21 2 nn aa a n ,则 11 2 1 21 21 nn aa a n ( n2) . (2 分) 两式相减,得 1 2 nn a n ,即 1 2(2). n n ann(3 分) 由已知, a1211 满足上式 . (4 分) 故数列 an 的通项公式是 1 2. n n an(5 分) ()由题设, 11 (21)21 22 nnn nnn b n . (6 分) 则 21 13521 1222 n n n S, 21 1132321 22222 n nn nn S. (8 分) 两式相减,得 22 1112112123 1 133 2222222 nnnnnn nnn S. ( 10 分) 所以 1 23 6. 2 n n n S(11 分) 显然,6 n S,又 5 13 65 16 S,所以 M6,故 M 的最小值为6. (13 分)