2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理(含解析).pdf

第七节正弦定理和余弦定理 知识能否忆起 1正弦定理 分类内容 定理 a sin A b sin B c sin C 2R(R 是 ABC 外接圆的半径 ) 变形 公式 a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C， sin Asin Bsin Cabc， sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R 解决的 问题 已知两角和任一边，求其他两边和另一角， 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 2余弦定理 分类内容 定理 在 ABC 中，有 a2b2c22bccos_A； b 2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C 变形 公式 cos Ab 2c2a2 2bc ；cos B a 2c2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 解决的 问题 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3三角形中常用的面积公式 (1)S 1 2ah(h 表示边 a 上的高 )； (2)S 1 2bcsin A 1 2acsin B 1 2absin C； (3)S 1 2r(ab c)(r 为三角形的内切圆半径 ) 小题能否全取 1(2012 ·广东高考 )在 ABC 中，若 A60° ， B45° ，BC 3 2，则 AC() A4 3B 2 3 C.3 D. 3 2 解析： 选 B由正弦定理得： BC sin A AC sin B，即 32 sin 60° AC sin 45° ，所以AC 3 2 3 2 × 2 2 23. 2在 ABC 中， a3， b1，c2，则 A 等于 () A30°B 45° C60°D 75° 解析： 选 C cos Ab 2c2a2 2bc 143 2×1×2 1 2， 又 0° B? ab? sin Asin B. (2)在 ABC 中，已知a、 b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式a bsin A bsin Ab 解的个 数 一解两解一解一解 利用正弦、余弦定理解三角形 典题导入 例 1(2012 ·浙江高考 )在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bsin A 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b3，sin C2sin A，求 a， c 的值 自主解答 (1)由 bsin A3acos B 及正弦定理 a sin A b sin B，得 sin B 3cos B， 所以 tan B3，所以 B 3. (2)由 sin C2sin A 及 a sin A c sin C，得 c2a. 由 b3 及余弦定理b2a2c22accos B， 得 9a2c2ac. 所以 a3，c2 3. 在本例 (2)的条件下，试求角A 的大小 解： a sin A b sin B， sin Aasin B b 3· sin 3 3 1 2. A 6. 由题悟法 1应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用 余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷 2已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该 三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 以题试法 1 ABC 的三个内角A，B， C 所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos 2A 2a. (1)求 b a； (2)若 c 2b2 3a2，求 B. 解： (1)由正弦定理得， sin 2Asin Bsin Bcos2A 2sin A，即 sin B(sin 2Acos2 A)2sin A. 故 sin B2sin A，所以 b a 2. (2)由余弦定理和c 2b2 3a2，得 cos B 13 a 2c . 由(1)知 b 2 2a2， 故 c 2(2 3)a 2.可得 cos2B1 2， 又 cos B0，故 cos B 2 2 ，所以 B45° . 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 典题导入 例 2在 ABC 中 a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且2asin A(2bc)sin B (2cb)sin C. (1)求 A 的大小； (2)若 sin Bsin C1，试判断 ABC 的形状 自主解答 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2(2b c) · b(2cb)c，即 a2b2c2bc. 由余弦定理得a2b 2c22bccos A， 故 cos A 1 2， 0cos B” 成立的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析： 选 Cacos B. 2(2012 ·泉州模拟 )在 ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边 若 A 3，b 1， ABC 的面积为 3 2 ，则 a 的值为 () A1 B2 C. 3 2 D.3 解析： 选 D由已知得 1 2bcsin A 1 2×1×c×sin 3 3 2 ，解得c2，则由余弦定理可得 a 2412×2×1×cos 33? a 3. 3(2013 ·“江南十校 ”联考 )在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a2 3，c2 2，1tan A tan B 2c b ，则 C() A30°B45° C45° 或 135°D60° 解析： 选 B由 1 tan A tan B 2c b 和正弦定理得 cos Asin B sin Acos B 2sin Ccos A， 即 sin C2sin Ccos A， 所以 cos A 1 2，则 A60° . 由正弦定理得 2 3 sin A 22 sin C， 则 sin C 2 2 ， 又 cc，b7，求AB·AC的值 解： (1)因为3a2bsin A0， 所以3sin A2sin Bsin A0， 因为 sin A0，所以 sin B 3 2 . 又 B 为锐角，所以B 3. (2)由(1)可知， B 3.因为 b 7. 根据余弦定理，得7a2c22accos 3， 整理，得 (ac)23ac 7. 由已知 ac5，得 ac6. 又 ac，故 a3，c2. 于是 cos A b 2c2a2 2bc 74 9 47 7 14 ， 所以AB· AC |AB| · |AC|cos A cbcos A 2×7× 7 14 1. 12(2012 ·山东高考 )在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 sin B(tan Atan C)tan Atan C. (1)求证： a，b，c 成等比数列； (2)若 a1，c2，求 ABC 的面积 S. 解： (1)证明：在 ABC 中，由于sin B(tan A tan C) tan Atan C， 所以 sin B sin A cos A sin C cos C sin A cos A· sin C cos C， 因此 sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C， 所以 sin Bsin(AC)sin Asin C. 又 ABC ， 所以 sin(AC)sin B， 因此 sin2Bsin Asin C. 由正弦定理得b2ac， 即 a，b，c 成等比数列 (2)因为 a1，c 2，所以 b2， 由余弦定理得cos B a 2 c2 b2 2ac 1 2222 2×1×2 3 4， 因为 0BC， 3b20acos A，则 sin Asin B sin C 为() A432 B 567 C543 D 654 解析： 选 D由题意可得abc，且为连续正整数，设cn，bn1，an2(n1， 且 n N*)，则由余弦定理可得 3(n1) 20(n2) · n1 2n2 n22 2n n1 ，化简得7n213n 60 0，nN *，解得 n4，由正弦定理可得 sin Asin Bsin Cab c654. 2(2012 ·长春调研 )在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 4sin 2AB 2 cos 2C 7 2 ，且 a b5，c7，则 ABC 的面积为 _ 解析： 因为 4sin 2AB 2 cos 2C 7 2， 所以 21cos(A B)2cos2C 1 7 2， 22cos C 2cos 2C17 2，cos 2Ccos C1 40， 解得 cos C 1 2.根据余弦定理有 cos C 1 2 a 2 b27 2ab ， aba 2b27,3aba2b22ab7 (ab)2725718，ab6，所以 ABC 的 面积 SABC 1 2absin C 1 2× 6× 3 2 3 3 2 . 答案： 3 3 2 3在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足 (2bc)cos Aacos C0. (1)求角 A 的大小； (2)若 a3， SABC3 3 4 ，试判断 ABC 的形状，并说明理由 解： (1)法一 ：由 (2b c)cos Aacos C0 及正弦定理，得 (2sin Bsin C)cos Asin Acos C0， 2sin Bcos Asin(AC)0， sin B(2cos A 1)0. 0B ， sin B0， cos A 1 2. 0A ， A 3. 法二： 由(2bc)cos Aacos C0， 及余弦定理，得(2bc) · b 2 c2a2 2bc a· a 2b2c2 2ab 0， 整理，得 b2 c2 a2bc， cos Ab 2c2a2 2bc 1 2， 0A ， A 3. (2)SABC 1 2bcsin A 3 3 4 ， 即 1 2bcsin 3 33 4 ， bc3， a 2b2c22bccos A，a 3，A 3， b2c26， 由得 bc3， ABC 为等边三角形 1已知 a， b，c 分别是 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边若a1， b3，A C2B，则 sin C _. 解析： 在 ABC 中，A C2B，B60° .又 sin A asin B b 1 2，A30° 或 150° (舍)， C90° ， sin C1. 答案： 1 2在 ABC 中， a2bcos C，则这个三角形一定是() A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 解析： 选 A法一： (化边为角 )由正弦定理知： sin A2sin Bcos C，又 A (BC)， sin Asin(BC)2sin Bcos C. sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C， sin Bcos Ccos Bsin C0， sin(BC)0. 又 B、C 为三角形内角，BC. 法二： (化角为边 )由余弦定理知cos Ca 2b2c2 2ab ， a2b· a 2b2c2 2ab a 2b2c2 a ， a 2a2b2c2， b2c2， bc. 3在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a， b，c，已知 cos 2C 1 4. (1)求 sin C 的值； (2)当 a2,2sin Asin C 时，求 b 及 c 的长 解： (1)因为 cos 2C12sin 2C1 4，且 0C ， 所以 sin C 10 4 . (2)当 a2,2sin Asin C 时，由正弦定理 a sin A c sin C，得 c4.由 cos 2C 2cos 2C1 1 4，及 0C得 cos C± 6 4 . 由余弦定理c2a2b22abcos C，得 b2± 6b120，解得 b 6或 2 6， 所以 b6， c4 或 b26， c4. 4设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，c， 且 cos B 4 5，b2. (1)当 A30° 时，求 a 的值； (2)当 ABC 的面积为3时，求 ac 的值 解： (1)因为 cos B 4 5，所以 sin B 3 5. 由正弦定理 a sin A b sin B，可得 a sin 30° 10 3 ，所以 a 5 3. (2)因为 ABC 的面积 S 1 2ac· sin B，sin B 3 5， 所以 3 10ac3，ac10. 由余弦定理得b2a 2c22accos B， 得 4a2c28 5aca 2c216， 即 a2c220. 所以 (ac)22ac20， (a c)240. 所以 ac 2 10.