《信号与系统》习题集及答案.pdf

第 1 页 共 37页 信号与系统习题集及答案 （注：教材 -郑君里编） 习题一 1-7 绘出下列各信号的波形： （1） ) 4 sin()()(t T Ttutu ; （2） ) 4 sin()2()(2)(t T TtuTtutu 1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1） )()2()(tuetf t ； （2） )()63()( 2 tueetf tt ； （3） )()55()( 3 tueetf tt ； （4） )2()1()10cos()(tututetf t 。 T 0 图 1 T 0 2T 图 2 第 2 页 共 37页 1-10 写出题图1-10（a） 、 （b） 、 （c）所示各波形的函数式。 图a： 11 ( )(2)(2)( )(2)( )(2) 22 f ttu tu ttu tu t (1)(2)(2) 2 t u tu t 图 b： )2() 1()()(tutututf 图 c： )()()sin()(Ttutut T Etf 1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别： （ 1 ） )1()(tutut ；（ 2） ) 1(ttu ；（ 3 ） )1()1()(tututut ； 0 图 1 1 2 图 2 9 0 0 1 ln3 2 图 3 0 1 2 图 4 0 1 2 3 t 2 1 (b) E T t (c) f(t) 0 t (a) f(t) 1 2 -2 题图 1-10 第 3 页 共 37页 （ 4 ） )1()1(tut ；（ 5 ） )1()()1(tutut ； （6） )3()2(tutut ；（7） )3()2()2(tutut ； 1-4 对于下图所示信号，由f(t)求 f(-3t-2) ，但改变运算顺序，先求f(3t) 或先求 f(-t)，讨论 所得结果是否与原书中的结果一致。 方法一： 方法二： 0 1 t 图 1 1 0 1 图 4 t 图 3 t 1 0 1 1 0 1 图 2 t 0 1 t 图 5 2 0 1 图 6 t 3 2 3 2 0 1 图 7 t 3 1 -1 -2 1 t 1 f(t) -1/3 -2/3 1/3 t 1 f(3t) -2/3 1 1 0 f3(t-2/3)=f(3t-2) -2/3 1 t f(-3t-2 ) t 第 4 页 共 37页 由图可看出所得结果与书中一致。 1-14 应用冲激信号的抽样特性，求下列表示式的函数值： （1） )()()( 00 tfdttttf ； （2） )()()( 00 tfdttttf ； （3） 1) 2 () 2 ()( 00 0 t udt t tutt ； （4） 0)()2()( 000 tudtttutt ； （5） 2)2()( 2 edttte t ； （6）2 1 66 sin 6 ) 6 ()sin(dtttt ； （7） 0 1)()( 0 tjtj edtttte ； 1-15 电容 C1与 C2串联，以阶跃电压源 v(t)=Eu(t) 串联接入，试分别写出回路中的电流i(t)、 每个电容两端电压vc1(t)、vc2(t)的表示式。 电路如图： 回路总电容 21 21 cc cc C 电路电流 )( )( )( 21 21 tE cc cc dt tdu Cti c )()( 1 )( )()( 1 )( 21 1 2 2 21 2 1 1 tu cc Ec dtti c tv tu cc Ec dtti c tv c c 1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？ （1） dt tde tr )( )( ； t 2 -1 1 f(-t) -2 -3 t f - (t+2)=f(-t-2) t f(-3t-2) -2/3 -1 v(t)=Eu(t) i(t) C1 C2 VC1(t) VC2(t) + _ + _ + _ 第 5 页 共 37页 （2） )()()(tutetr ； （3） )()(sin)(tutetr ； （4） )1()(tetr ； （5） )2()(tetr ； （6） )()( 2 tetr ； （7） t detr)()( ； （8） t detr 5 )()( 。 解：线性系统满足齐次性和叠加性；时不变系统的参数不随时间 而变化，即：在同样起始状态下，系统响应与激励施加于系统的时刻 无关；因果系统在t0时刻的响应只与t=t0与 t2 的响应为零，试确定值应等于多少 解： （1） )2()()()()()( 2 tutuetuetethtr tt )2()( 2 ttue t )2()2()()()( )2(2)( 0 2 0 2)(2 tuedtueuedtueue tt tt t )2()()( 2 0 )2(2 0 tuetudetudee t t t t 当 20t时， tt t t eedeetr 2 0 )( 当 2t时， )2(2)2( )1()1()( tttt eeeetr )1( 242 eee t （2） )2()()2()()()()()()( 22 ttuetututxtuetethtr tt )2( )2()()()()()( )2(2 02 )(2)(2 tue duxtueduxtue t tt tt )2()2()()()( )2(2 02 )(2)(2 tuetudxetudxe t tt tt 由题意有，当 2t时， 0)(tr )2()2()()()(r(t) )2(2 02 )(2)(2 tuetudxetudxe t tt tt 0)2()( )2(2 2 0 )(2 tuedxe tt dxee)( 2 0 24 第 20 页 共 37 页 2-23 化简下列两式： （1） ) 2 1 2( 2 t ； 令 0 2 1 2)( 2 ttf 则： 2 1 t 2 1 21 t 2)(f2)( 2 ' 1 ' ttf ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 4 1 ( 2 1 )( )( 1 ) 2 1 2( 2 2 1 ' 2 ttttt tf t i i i （2） )(sin t 。 令 2,1,0,(k0sinktt ） - )k-(t(sint) 2-27 试求下列各值，设系统起始状态为零： （1） )(t p A （2） )( )( 2 t p A （3） )( )( t pp A 解： （1） )()(tuAet p At （2） )()( 0 )( )( )( 22 tuAtet pp A t p At （3） )( )( t pp A )()()() 11 (tuee A t pp Att 信号与系统习题答案（注：教材-郑君里编） 习题三 3-23-2周期矩形信号如题图3-2 所示。 若： 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。 解：直流分量 2 2 2 2 3 0 1105)( 1 vEdtdttf T a T T 第 21 页 共 37 页 f(t)为偶函数， 0 n b )( 2 cos)( 22 2T n Sa T E tdtntf T an )( 2 1 T n Sa T E aF nn 基波 1 a )1 .0s i n ( 20 )( 2 T Sa T E 有效值 39.11.0sin 2 20 2 1 a 二次谐波有效值 32.1 2 2 a 三次谐波有效值 21.1 2 3a 3-53-5求题图 3-5 所示半波余弦信号的傅立叶级数。若E=10V ，f=10kHz ，大致画出幅 度谱。 10 )( 1 2 2 0 T T E dttf T a dttntf T tdtntf T a T T T n 2 2 2 0 cos)( 4 cos)( 2 ) 1( 2 ) 1( sin ) 1( 2 ) 1( sin 2 n n n n T E )2 , 4 ,(n 2 cos )n-(1 2E )3,5,(n0 1)(n5 2 2 n E 第 22 页 共 37 页 )4cos( 15 4 )2cos( 3 4 cos 2 )(ttt EE tf E aC 00 )2,4,(n) 2 cos( )n-(1 2E )3,5,(n0 1)(n5 2 n aC nn 3-9 求题图 3-9 所示周期余弦切顶脉冲波的傅立叶级数，并求直流分量 0 I 以及基波和k 提示： cos1 cos)cos( )( 1t iti m ，1为 )(ti 的重复角频率 解： )(ti 为偶函数， 0 n b 2 20 1 0 1 )cos1( )cos(sin cos1 cos)cos(2 )( 1 T T m m i dt t i T dtti T a dttn t i T dttnti T a m T T n )cos( cos1 cos)cos(4 )cos()( 2 1 0 1 2 2 1 傅里叶级数：1 10 )cos()( n n tnaati （1）任意值 第 23 页 共 37 页 直流分量： )cos1( )cos(sin 00 m i aI 基波： )c o s1( )c o ssi n( 11 m i aI k 次谐波： )cos1)(1( sin)cos(cos)sin(2 2 kk kkki aI m kk （2） 60° 直流分量： m iaI22.0 00 基波： m m i i aI39.0 )60cos1 ( )60cos60sin 3 ( 11 k 次谐波： )1( ) 3 cos3 3 (sin2 )cos1)(1( sin)cos(cos)sin(2 22 kk k k k i kk kkki aI m m kk (3) 90 直流分量： m i aI 00 基波： 2 11 m i aI k 次谐波： )1( 2 cos2 2 k k i I m k 3-3 3-3若周期矩形信号 )( 1 tf 和 )( 2 tf 波形如题图3-2 所示， )( 1 tf 的参数为 s5.0 ， sT1 ，E=1V ； )( 2 tf 的参数为 s5.1 ， sT3 ，E=3V，分别求： （1） )( 1 tf 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2） )( 2 tf 的谱线间隔和带宽； （3） )( 1 tf 和 )( 2 tf 的基波幅度之比； （4） )( 1 tf 基波与 )( 2 tf 三次谐波幅度之比。 解： （ 1） )( 1 tfs5.0sT1 E=1V 第 24 页 共 37 页 谱线间隔： khZ T 1000 1 带宽： KHzB f 2000 1 (2) )( 2 tfs5.1sT3 E=3V 间隔： khZ T3 10001 谱线带宽： KHzBf 3 20001 (3) )( 1 tf 基波幅度： 2 ) 2 cos( 4 2 0 1 dtt T E T a )( 2 tf 基波幅度： 6 ) 2 cos( 4 2 0 1 dtt T E T a 幅度比： 1：3 （ 4） )( 2 tf 三次谐波幅度： 2 ) 2 3cos( 4 2 0 3 dtt T E T a 幅度比： 1：1 3-12 如题图 3-12 所示周期信号 )(tvi 加到 RC 低通滤波器电路。已知 )(tvi 的重复频率 kHz T f1 2 1 ，电压幅度E=1V ，R=1k,C=0.1 F。分别求： （ 1）（ 1）稳态时电容两端电压之比直流分量，基波和五次谐波之幅度； （ 2）（ 2）求上述各分量与 )(tvi 相应分量的比值，讨论此电路对各频率分量响应的 特点。 （提示：利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。） 解： 25.0 4 21 )( 1 2 0 2 0 0 E tdt T E T dttv T a TT i ) T 2 ()c o s( 22 11 2 0 dttnt T E T a T n 2 0 1 1 2 )sin( 14 T tntd nT E 第 25 页 共 37 页 1)1( 4 1 222 n nT E 1)-2m(n n 2 2m)(n0 22 ) 2 ()sin( 22 2 0 11 T n T dttnt T E T b n n )1( )(tvi 的幅度谱：直流分量 25. 0 00 aC 基波 37759.0 14 24 2 1 2 11 baC 五次谐波 2 5 2 55 baC 222 25 1 )25( 4 由电路可知： )(tvc )( 1 1 tv Cj R Cj i )( 1 1 tv RCj i )n( )(1 )( )( 1 2 RC tv tv i c (1)(1)直流分量 25.0 00 CV 基波 32.0 )(1 2 1 1 1 RC C vc 五次谐波 02.0 )5(1 2 1 5 5 RC C vc （2） 1 0 0 C vc 8475.0 1 1 C vc 303.0 5 5 C vc 3-13 学习电路课时已知，LC 谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与LC 电路的谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出 响应相对很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号 中选择所需的正弦频率成分。题图 3-13 所示 RLC 并联电路和电流源 )( 1 ti 都是理想模型。 已知电路的谐振频率为 kHz LC f100 2 1 0 ， R=100k,谐振电路品质因数Q 足够 高（可滤除邻近频率成分）。 )( 1 ti 为周期矩形波，幅度为1mA，当 )( 1 ti 的参数（，T） 为下列情况时，粗略地画出输出电压 )( 2 tv 的波形，并注明幅度值。 （1） sTs10,5 ； （2） sTs20,10 ； 第 26 页 共 37 页 (3) sTs30,15 ； 解：解：谐振频率 Kf2002 00 将 )( 1 ti 展成傅氏级数，有 0 n a ( T 2 1 ) )1,3,5,(n 4 )sin()( 4 )sin()( 2 2 0 11 2 2 11 n E dttnti T dttnti T b TT T n )1 , 2 ,(m)sin()( 12 11 mn n tnbti 由电路有： )()() 11 ( 12 titv Lj Cj R （ 1） s10T,5 s 0 6 1 200 1010 22 K T (谐振频率 ) )(2 )( t IRtv 12 bRV 127.4 即：输出幅度为127.4v ，频率为100KHz的正弦波。 （ 2） s02T,10 s 061 2 1 100 1020 22 K T Q 足够高， 基波被滤掉，只有二次谐波 又 )( 1 ti 不包含二次谐波 0 2 V （ 3） s03T,15 s 0 6 1 3 1 200 3 1 1030 22 K T 即 三次谐波 01 3 为谐振频率 32 bRV 42.4v 即：输出幅度为42.4v ，频率为 100KHz的正弦波。 3-15 所示半波余弦脉冲的傅立叶变换，并画出频谱图。 第 27 页 共 37 页 解: )( 2 1 )()cos()()cos()( tjtj eetGtGttGttf ) 2 ()(SatG 2 )( 2 )( 2 )(SaSa E jF ) 22 () 22 ( 2 SaSa E 2 )(1 ) 2 cos(2E 频谱图 : 3 2 ) 2 F( 2 )F( 2 )0( EEE F0) 3 (F 3-16 求 3-16 所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅立叶变换。 解: )() T 2E (f(t)(tGta T F(jw) 0 3w 第 28 页 共 37 页 ) 2 ()(SatG ) 2 (2)( 2T ESatG T E T 由傅立叶变换性质有: d dF tjtf )( )( 0F(0), 2 () 2 cos( 2 )( T Sa TE jjF ) 2 ( 2 ) 2 ()()()( T E -f(t)( T tG TT t T E TtutuTtb T ) 2 ( 2 ) 2 () 2 ( T tG ET tG T t T E TT ) 2 ()(SatG 由傅立叶变换性质有: d dF tjtf )( )( )1()( 2 Tj eTj T E jF )()() T 2 sin(f(t)(TtUtutc )()()( 2 1 22 Ttutuee j t T jt T j ) 2 ()( 2 1 22 T tGee j T t T jt T j 2 ) 2 2 () 2 2 ( 2 1 )( T j eT t SaT t SaT j jF 2 ) 2 ( j ET T jF 2 22 ) 2 sin( )2( 4 )( T j e T T TE jjF ) 2 ()()sin(f(t)( 11 T tGtd T )()( 2 )sin()( 000 FF j ttf )( ) 2 sin(2 ) 2 ( 2 )( 1 2 1 2 1 1 T E j Tj ET jF 3-17 题图 3-17 所示各波形的傅立叶变换可在本章正文或附录表中找到，利用这些结果给出 各波形频谱所占带宽 f B （频谱图或频谱包络图的第一零点值），注意图中的时间单位 第 29 页 共 37 页 都为 s。 解： (a) sSajFtGtf 6- 104) 2 ()()()( 0) 2 F(j10 2 6 MHzHzB 4 1 10 4 1 B10 2 6 f 6 (b) )()()5() 1() 1()5()( 21 tGtGtututututf s 6 1 1010s 6 2 102 )(2)5(10)(SaSajF 0) 2 F ( j10 2 6 MHzHzB 4 1 10 4 1 B10 2 6 f 6 (c) stG t tf 6- 108)() 2 cos(1 2 1 )( 2 ) 2 (1 ) 2 ( 2 )( Sa jF 0) 2 F (j10 2 6 MHzHzB 4 1 10 4 1 f B10 2 66 第 30 页 共 37 页 2 2 ) 4 ( 2 )( j eSajF 0) 2 F ( j102 6 MHzHzB110 f B102 66 (e) )10210 2 3 ()102(102- )10 2 3 10 2 1 (1 )10 2 1 t0(102 )( 6666 66 66 stst sts st tf 6 10 66 2 6 4 10 sin 4 103 sin 108 )( j ejF 0) 2 F ( j10 3 4 6 MHzHzB 3 2 10 3 2 f B10 3 4 66 (f) s tt tt tf c c6 1 6 c 1 1 10 t10 )( )(sin )( )(0 )( )( 1 c c tj c e jF 0) 2 F ( j10 6 MHzHzB 2 1 10 2 1 f B10 66 3-19 求题图 3-19 所示 )(F 的傅立叶逆变换 )(tf 。 第 31 页 共 37 页 解： （ a） )()()()( 02 )( 0 0 tjj eAGeFjF 利用对称性，有 )(2)(2 0 200 GtSa )()( 0 20 0 AGtSa A )()( 00 0 ttSa A tf （b） )0(-)( )0()( )()( 0 2 2 0 2 2)( 0 0 j j j eAG eAG eFjF ) 2 () 2 ( 00 00 AGAGj 利用对称性，有 ) 2 sin() 2 () 2 ( 2 )( 0002200 00 tt Sa A eetSa A jtf tjtj ) 2 (sin 202 t t A 3-22 利用时域与频域的对称性，求下列傅立叶变换的时间常数。 （1） )()( 0 F （2） )()()( 00 uuF 第 32 页 共 37 页 （3） 其他）(0 ( )( 0 0 F 解： （1） )(t 1 利用对称性，有 1 )(2)(2 tj e 0 )(2 0 tj e 0 2 1 )( 0 （ 2） )(tG ) 2 (Sa 利用对称性，有 ) 2 ( t Sa )(2 G )()()( 0 200 tGttuttu t)(200tSat )( 0 0 tSa )()()( 002 0 uuG （3） )(tG ) 2 (Sa 利用对称性，有 ) 2 ( t Sa )(2 G )()( 0 20 tSa)()( 0 0 2 0 0 G 3-24 求题图 3-24 所示三角形调幅信号的频谱。 第 33 页 共 37 页 ) 4 ( 2 )()( 121 11 SajFtf )()()()( 0022 jFtf 4 )( 4 )( 4 )()( 2 1 )( 1021021 21 SaSajFjFjF 3-25 题图 3-25 所示信号 )(tf ，已知其傅立叶变换式 )( )()()( j eFjFtf ，利用 傅立叶变换的性质（不作积分变换），求： （ 1） )( ；（2） F（0） ；（3） dF)( ； （ 4） )(Re 1 FF 之图形。 解： （1） 令 )( 1 tf)1(tf ，则 )( 1 tf 为偶函数 )( 11 1 )()()( j eFjFtf )( 1 jF 为实偶函数，即 0)( 1 j ejFjFtftf)()() 1()( 11 )( （2） )0(F 即 )(tf 与 t 轴所围图形的面积 424 2 1 )0(F 第 34 页 共 37 页 （3） dejFtf tj )( 2 1 )( 2)0(2)(fdF （4）其图形为函数f(t)之偶分量 3-29 若已知 )()(jFtf ，利用傅立叶变换的性质确定下列信号的傅立叶变换： （1） )2( ttf ；（2） )()2(tft ；（3） )2()2(tft ； （4） dt tdf t )( ； （5） )1(tf ；（6） )1()1 (tft ；（7） )52( tf 。 解：（1）由傅立叶性质有： ) 2 ( 2 1 )2(Ftf ； d dF jttf )( )( d dF jttf ) 2 ( 2 1 )2( （2）由傅立叶性质有： d dF jttf )( )( )(2 )( )()2(F d dF jtft （3）由傅立叶性质有： ) 2 ( 2 1 )2(Ftf ) 2 ( ) 2 ( 2 1 )2()2(F d dF jtft （4）由傅立叶性质有： )( )( Fj dt tdf d dF jttf )( )( d dF FFj d d j dt tdf t )( )()( )( （5）由傅立叶性质有： j ejFtf)() 1( )()(Ftf j eFtftf)()1()1 ( （6）由傅立叶性质有： j eFtftf)()1()1( jjj eF d dF jeeF d d jttf)( )( )()1( 第 35 页 共 37 页 d dF jetft j )( )1 ()1( （7）由傅立叶性质有： 5 )()5( j eFtf ) 2 ( 2 1 )2(Ftf 2 5 ) 2 ( 2 1 )52( j eFtf 3-36 已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅立叶变换（见附录三），求题图3-36 所示周 期梯形信号和周期全波余弦信号的傅立叶级数和傅立叶变换。并示 意画出它们的频谱 图。 解：单个梯形脉冲： 4 )( sin 4 )( sin )( 8 )( 2 0 TT T E jF 周期梯形信号傅氏级数 ) 2 ()( 1 101 1 T F T F n n T Tn T Tn T n TT E 4 )(2 sin 4 )(2 sin ) 2 )( 8 2 T Tn T Tn Tn ET 2 )( sin 2 )( sin )( 2 22 级数： tjn n ne Ftf 1 )( 傅立叶变换： ) 2 (2)(2)( 1 T n FnFF n n n n 第 36 页 共 37 页 单个余弦脉冲： 21 1 0 )(1 ) 2 cos( 2 )( T ET F 周期余弦信号傅氏级数 ) 2 ()( 1 10 1 1 T F T F n n 41 2 )1( )2(1 )cos(2 22 n E n nEn 级数nn tjn n FeFtf 1 )( 3-38 已知三角形、升余弦脉冲信号的傅立叶变换（见附录三）。大致画出题图3-38 中各脉 冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为 S T ，令8 S T ） 。 3-41 系统如题图3-41 所示， t),Sa(2000(t)f),1000()( 21 tSatf f(t)p(t)(t)f(t),(t)fff(t), )()( s21 n nTttp 。 （1）（1）为从 )(tfs 无失真恢复 )(tf ，求最大抽样间隔 max T ； （2）（2）当 max TT 时，画出 )(tfs 的幅度谱 )( s F 。 第 37 页 共 37 页