最新2019—2020学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷.pdf

1 / 29 最新 20192020 学年山东省青岛市李沧区九年级( 上) 期末数学 试卷 一、选择题（本题满分24分，共有 8 道小题，每小题3 分）下列每小题都给出 标号为 A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分， 不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 1 （3 分）已知 2x=3y，则下列比例式成立的是（） A=B=C=D= 2 （3 分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左 视图是（） ABCD 3 （3 分）一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10 个球， 记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20 次，发现共有黑 球 48 个，由此估计袋中的白球数是（）个 A28 个B38 个C48 个D50 个 4 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx 22x1=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（） Ak1Bk1 且 k0Ck1Dk1 且 k0 5 （3 分）二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列说法不正确的 是（） 2 / 29 Ab 24ac0 Ba0Cc0D 6 （3 分）随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高 架桥上车辆的行驶速度y（千米 /时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆） 的关系如图所示，当x10 时，y 与 x成反比例函数关系，当车行驶速度低于 20 千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的 数量 x 应该满足的范围是（） Ax40Bx40Cx40Dx40 7 （3 分）如图，在宽为 20 米、长为 32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图 中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为540 平方米，则道路的 宽为（） A5 米B3 米C2 米D2 米或 5 米 8（3分）在同一直角坐标系中， 函数 y=kx+1 与 y= （k0） 的图象大致是（） AB 3 / 29 CD 二、填空题（本题满分18 分，共有 6 道小题，每小题3 分） 9 （3 分）计算 cos60°+sin30 °= 10 （3 分）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面 积是 11 （3 分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如 图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y=x2+x+（单位： m） ， 绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2 点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的 身高为m 12 （3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5 ，点 E在 AB上，将 DAE 沿 DE折叠，使点 A 落在对角线 BD上的点 A 处，则 AE的长为 13 （3 分）如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2 所示的几何图形，已知BC=BD=15cm ，CBD=40 ° ，则点 B 到 CD 的距离为 cm（参考数据 sin20 °0.342，cos20°0.940，sin40 °0.643，cos40°0.766， 结果精确到 0.1cm，可用科学计算器） 4 / 29 14 （3 分）如图，都是由边长为1 的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的 表面积为 6 个平方单位，第（ 2）个图形的表面积为18 个平方单位，第（ 3） 个图形的表面积是36 个平方单位依此规律，则第（6）个图形的表面积 个平方单位 三、作图题（本题满分4 分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕 迹 ） 15 （4 分）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（C为直角）的铁皮 加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、 BC 、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线 四、解答题（本题满分74分，共有 9 道小题） 16 （8 分） （1）用配方法解方程： x 22x3=0 （2）求二次函数 y=3x2+6x+2 的图象与 x 轴的交点坐标 17 （6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉图中线段AB表示站在广场上的小 亮，线段 PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯 5 / 29 （1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）如果灯杆高 PO=12m，小亮的身高 AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m， 请求出小亮影子的长度 18 （6 分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足， 某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同 （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图 或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率 19 （6 分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进 行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里 的 C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往 C处护航， 已知 C位于 A 处的北偏东 45° 方向上，A 位于 B 的北偏西 30° 的方向上，求 A、 C之间的距离 20 （8 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作 程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待 加热到 100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（）和通电时 间 x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复 上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下 6 / 29 图所示，回答下列问题： （1）分别求出当 0x8 和 8xa 时，y 和 x 之间的关系式； （2）求出图中 a 的值； （3）李老师这天早上7：30 将饮水机电源打开，若他想再8：10 上课前能喝到 不超过 40的开水，问他需要在什么时间段内接水 21 （8 分）在 RtABC与 RtABD中， ABC= BAD=90 ° ，AC=BD ，AC ，BD相 交于点 G，过点 A 作 AEDB交 CB的延长线于点 E，过点 B 作 BF CA交 DA 的延长线于点 F，AE，BF相交于点 H （1）证明： ABD BAC （2）四边形 AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明 （3）若使四边形 AHBG是正方形，还需在RtABC添加一个什么条件？请添加 条件并证明 22 （10 分）某公司营销 A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函 数关系，如图所示： 信息 2：销售 B 种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例 函数关系 y=0.3x 根据以上信息，解答下列问题； 7 / 29 （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售A、 B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 23 （10 分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现 要将一块四边形的空地 （如图 5，四边形 ABCD ）铺上草皮，但由于年代久远， 小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC ，BD的长 度分别为 20cm，30cm 及夹角 AOB为 60° ，你能利用这些数据，帮助物业人 员求出这块空地的面积吗？ 问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出 ABD与BCD （也可以 是ABC与ACD ）的面积，再相加就可以了 建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况： 如图 1，ABC中，O为 BC上任意一点 （不与 B，C两点重合），连接 OA，OA=a， BC=b ，AOB= （为 OA与 BC所夹较小的角），试用 a，b，表示 ABC的 面积 解：如图 2，作 AMBC于点 M， AOM 为直角三角形 又 AOB= ，sin =即 AM=OA?sin ABC的面积 =?BC?AM= ?BC?OA?sin = absin 问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题 如图 3，四边形 ABCD中，O 为对角线 AC ，BD的交点，已知 AC=20m ，BD=30m， AOB=60 ° ，求四边形 ABCD的面积 （写出辅助线作法和必要的解答过程） 新建模型：若四边形ABCD中，O 为对角线 AC，BD的交点，已知 AC=a ，BD=b， AOB= （为 OA 与 BC 所夹较小的角），直接写出四边形ABCD 的面积 8 / 29 = 模型应用： 如图 4，四边形 ABCD中，AB+CD=BC ，ABC= BCD=60 ° ，已知 AC=a ， 则四边形 ABCD的面积为多少？（ “ 新建模型 ” 中的结论可直接利用） 24 （12 分）如图，已知RtABC中， C=90° ，AC=8cm ，AB=12cm ，点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC方向向点 C匀速运 动，速度均为 1cm/s以 AQ、PQ为边作 ?AQPD ，连接 DQ，交 AB于点 E设 运动的时间为 t（单位： s） （0t6） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时， ?AQPD为矩形 （2）当 t 为何值时， ?AQPD为菱形 （3）是否存在某一时刻t，使四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若 存在，请求出 t 值，若不存在，请说明理由 9 / 29 2017-2018 学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分24分，共有 8 道小题，每小题3 分）下列每小题都给出 标号为 A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分， 不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 1 （3 分）已知 2x=3y，则下列比例式成立的是（） A=B=C=D= 【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的 比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断 【解答】 解：A、变成等积式是： xy=6，故错误； B、变成等积式是： 3x=2y，故错误； C、变成等积式是： 2x=3y，故正确； D、变成等积式是： 3x=2y，故错误 故选： C 2 （3 分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左 视图是（） ABCD 【分析】 左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案 【解答】 解：所给图形的左视图为C选项说给的图形 故选： C 10 / 29 3 （3 分）一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10 个球， 记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20 次，发现共有黑 球 48 个，由此估计袋中的白球数是（）个 A28 个B38 个C48 个D50 个 【分析】同样条件下， 大量反复试验时， 随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附 近，根据题中条件求出黑球的频率，再近似估计白球数量 【解答】 解：设袋中的白球数是x 个，根据题意得： =， 解得： x=38， 答：袋中的白球数是38 个； 故选： B 4 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） Ak1Bk1 且 k0Ck1Dk1 且 k0 【分析】 根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围即可 【解答】 解：关于 x 的一元二次方程kx22x1=0 有两个不相等的实数根， ，即， 解得 k1 且 k0 故选： B 5 （3 分）二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列说法不正确的 是（） Ab 24ac0 Ba0Cc0D 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 11 / 29 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所 得结论进行判断 【解答】 解：A、正确，抛物线与x 轴有两个交点， =b 24ac0； B、正确，抛物线开口向上，a0； C、正确，抛物线与y 轴的交点在 y 轴的正半轴， c0； D、错误，抛物线的对称轴在x 的正半轴上，0 故选： D 6 （3 分）随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高 架桥上车辆的行驶速度y（千米 /时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆） 的关系如图所示，当x10 时，y 与 x成反比例函数关系，当车行驶速度低于 20 千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的 数量 x 应该满足的范围是（） Ax40Bx40Cx40Dx40 【分析】利用已知反比例函数图象过 （10，80） ，得出其函数解析式， 再利用 y=20 时，求出 x 的最值，进而求出x 的取值范围 【解答】 解：设反比例函数的解析式为：y= ， 则将（ 10，80） ，代入得： y=， 故当车速度为 20 千米/时，则 20=， 解得： x=40， 故高架桥上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是： x40 故选： A 7 （3 分）如图，在宽为 20 米、长为 32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图 中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为540 平方米，则道路的 12 / 29 宽为（） A5 米B3 米C2 米D2 米或 5 米 【分析】 设道路的宽为x，利用 “ 道路的面积 ” 作为相等关系可列方程20x+32x x2=20×32540，解方程即可求解 解题过程中要根据实际意义进行x 的值的 取舍 【解答】 解：设道路的宽为 x，根据题意得 20x+32xx2=20×32540 整理得（ x26）2=576 开方得 x26=24或 x26=24 解得 x=50（舍去）或 x=2 所以道路宽为 2 米 故选： C 8（3分）在同一直角坐标系中， 函数 y=kx+1 与 y= （k0） 的图象大致是（） AB CD 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k0，所以分 k0 和 k0 两种情 况讨论当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的 即为正确答案 【解答】 解：分两种情况讨论： 13 / 29 当 k0 时，y=kx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数 的图象在第一三象限； 当 k0 时，y=kx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数 的图象在第二四象限 故选： A 二、填空题（本题满分18 分，共有 6 道小题，每小题3 分） 9 （3 分）计算 cos60°+sin30 °=1 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】 解：原式 = +=1， 故答案为： 1 10 （3 分）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面 积是96cm2 【分析】 因为周长是 40，所以边长是 10根据对角线互相垂直平分得直角三角 形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘 积的一半计算求解 【解答】 解：因为周长是 40cm，所以边长是 10cm 如图所示： AB=10cm ，AC=16cm 根据菱形的性质， AC BD ，AO=8cm， BO=6cm ，BD=12cm 面积 S= ×16×12=96（cm2） 故答案是： 96cm2 11 （3 分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如 图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y=x2+x+（单位： m） ， 14 / 29 绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2 点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的 身高为1.5m 【分析】 实际上告诉了抛物线上某一点的横坐标x=2，求纵坐标代入解析式即 可解答 【解答】 解：在 y=x2+x+中， 当 x=2时，得 y=1.5 即小明的身高为 1.5 米 故答案为： 1.5 12 （3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5 ，点 E在 AB上，将 DAE 沿 DE折叠，使点 A 落在对角线 BD上的点 A 处，则 AE的长为 【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得 AD=A D=5 ，进而得 到 AB的长，再设 AE=x ，则 AE=x，BE=12 x，再在 RtAEB 中利用勾股定理 可得方程：（12x） 2=x2+82，解出 x 的值，可得答案 【解答】 解： AB=12 ，BC=5 ， AD=5 ，BD=13， 根据折叠可得： AD=A D=5 ， AB=135=8， 设 AE=x ，则 AE=x，BE=12 x， 在 RtAEB 中： （12x）2=x 2+82， 解得： x=， 故答案为： 15 / 29 13 （3 分）如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2 所示的几何图形，已知 BC=BD=15cm ， CBD=40 ° ， 则点 B到 CD的距离为14.1 cm（参考数据 sin20 °0.342，cos20°0.940，sin40 °0.643，cos40°0.766， 结果精确到 0.1cm，可用科学计算器） 【分析】作 BE CD于 E，根据等腰三角形的性质和CBD=40 ° ，求出 CBE的度 数，根据余弦的定义求出BE的长 【解答】 解：如图 2，作 BE CD于 E， BC=BD ，CBD=40 ° ， CBE=20 ° ， 在 RtCBE中，cosCBE=， BE=BC?cos CBE =15×0.940 =14.1cm 故答案为： 14.1 14 （3 分）如图，都是由边长为1 的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的 表面积为 6 个平方单位，第（ 2）个图形的表面积为18 个平方单位，第（ 3） 个图形的表面积是36 个平方单位依此规律，则第 （6） 个图形的表面积126 个平方单位 16 / 29 【分析】 结合图形，发现第（ 1）个图形的表面积是1×6=6，第（ 2）个图形的 表面积是（ 1+2）×6=18，第（3）图形的表面积是（ 1+2+3）×6=36；以此类 推即可求解 【解答】 解：结合图形，发现： 第（1）个图形的表面积是1×6=6， 第（2）个图形的表面积是（ 1+2）×6=18， 第（3）图形的表面积是（ 1+2+3）×6=36， 第（4）图形的表面积是（ 1+2+3+4）×6=60， 故第 n 个图形的表面积是（ 1+2+3+ +n）×6=3n（n+1） ， 第（ 6）个图形的表面积是3×6×（6+1）=126， 故答案为： 126 三、作图题（本题满分4 分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕 迹 ） 15 （4 分）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（C为直角）的铁皮 加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、 BC 、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线 【分析】直接利用正方形的性质得出C的角平分线交 AB于点 M，进而过 M 作 MDAC ，MEBC得出答案即可 【解答】 解：如图所示：点 M 即为所求 17 / 29 四、解答题（本题满分74分，共有 9 道小题） 16 （8 分） （1）用配方法解方程： x22x3=0 （2）求二次函数 y=3x2+6x+2 的图象与 x 轴的交点坐标 【分析】 （1）根据配方法的步骤计算可得； （2）求出 y=0时 x 的值可得 【解答】 解： （1）x22x3=0， x 22x=3， 则 x22x+1=3+1，即（ x1）2=4， x1=2 或 x1=2， 解得： x=3或 x=1 （2）令 y=0得3x2+6x+2=0， 解得： x=， 该二次函数图象与x 轴的交点为（，0） 、 （，0） 17 （6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉图中线段AB表示站在广场上的小 亮，线段 PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯 （1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）如果灯杆高 PO=12m，小亮的身高 AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m， 请求出小亮影子的长度 18 / 29 【分析】 （1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶 端； （2）根据中心投影的特点可知CAB CPO ，利用相似比即可求解 【解答】解： （1）连接 PA并延长交地面于点C，线段 BC就是小亮在照明灯（ P） 照射下的影子（2 分） （2）在 CAB和CPO中， C= C，ABC= POC=90 ° CAB CPO （5 分） BC=2m ， 小亮影子的长度为2m（7 分） 18 （6 分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足， 某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同 （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图 或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率 【分析】 （1）由商店只有雪碧、 可乐、果汁、奶汁四种饮料， 每种饮料数量充足， 某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式 19 / 29 求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好 买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量 充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同， 他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：； 故答案为：； （2）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2 种情况， 他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：= 19 （6 分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进 行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里 的 C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往 C处护航， 已知 C位于 A 处的北偏东 45° 方向上，A 位于 B 的北偏西 30° 的方向上，求 A、 C之间的距离 【分析】作 ADBC ，垂足为 D，设 CD=x ，利用解直角三角形的知识， 可得出 AD， 20 / 29 继而可得出 BD，结合题意 BC=CD +BD可得出方程，解出x 的值后即可得出答 案 【解答】 解：如图，作 ADBC ，垂足为 D， 由题意得， ACD=45 ° ，ABD=30 ° 设 CD=x ，在 RtACD中，可得 AD=x， 在 RtABD中，可得 BD=x， 又BC=20 （1+） ，CD +BD=BC ， 即 x+x=20（1+） ， 解得： x=20， AC=x=20（海里） 答：A、C之间的距离为 20海里 20 （8 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作 程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待 加热到 100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（）和通电时 间 x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复 上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下 图所示，回答下列问题： （1）分别求出当 0x8 和 8xa 时，y 和 x 之间的关系式； （2）求出图中 a 的值； （3）李老师这天早上7：30 将饮水机电源打开，若他想再8：10 上课前能喝到 不超过 40的开水，问他需要在什么时间段内接水 21 / 29 【分析】 （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定 系数法即可求得 y 与 x 的关系式； （2）将 y=20代入 y=，即可得到 a 的值； （3）要想喝到不超过40的开水， 7：30 加 20 分钟即可接水，一直到8：10； 【解答】 解： （1）当 0x8 时，设 y=k1x+b， 将（0，20） ， （8，100）代入 y=k1x+b， 得 k1=10，b=20， 所以当 0x8 时，y=10x+20； 当 8xa 时，设 y=， 将（8，100）代入，得 k2=800， 所以当 8xa 时，y=； 故当 0x8 时，y=10x+20；当 8xa 时，y=； （2）将 y=20代入 y=， 解得 a=40； （3）8：108 分钟=8：02， 10x+2040， 0x2， 40， 20x40 所以李老师这天早上7：30 将饮水机电源打开， 若他想在 8：10 上课前能喝到不 22 / 29 超过 40的热水， 则需要在 7：508：10 时间段内接水 21 （8 分）在 RtABC与 RtABD中， ABC= BAD=90 ° ，AC=BD ，AC ，BD相 交于点 G，过点 A 作 AEDB交 CB的延长线于点 E，过点 B 作 BF CA交 DA 的延长线于点 F，AE，BF相交于点 H （1）证明： ABD BAC （2）四边形 AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明 （3）若使四边形 AHBG是正方形，还需在RtABC添加一个什么条件？请添加 条件并证明 【分析】 （1）可根据已知条件 ABC= BAD=90 ° ，AB=BA ，AC=BD即可得到 ABC BAD （2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（ 1）可知 ABD= BAC ，得到 GAB为等腰三角形， ?AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是 菱形 （3）根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可 【解答】 解： （1）ABC= BAD=90 ° ，AB=BA ，AC=BD ， RtABC RtBAD （HL） （2）四边形 AHBG是菱形 证明： AHGB，BHGA， 四边形 AHBG是平行四边形 ABC BAD ， ABD= BAC ， GA=GB ， 23 / 29 平行四边形 AHBG是菱形 （3）需要添加的条件是AB=BC 证明： AB=BC ，ABC=90 ° ， ABC是等腰直角三角形， BAG=45 ° ， 又 ABC BAD ， ABG= BAG=45 ° ， AGB=90 ° ， 菱形 AHBG是正方形 22 （10 分）某公司营销 A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函 数关系，如图所示： 信息 2：销售 B 种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例 函数关系 y=0.3x 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数的表达式； （2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售A、 B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 24 / 29 【分析】 （1）由抛物线过原点可设y 与 x 间的函数关系式为 y=ax 2+bx，再利用待 定系数法求解可得； （2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（ 10m）吨，销售 A、B 两种产品获得 的利润之和为W 元，根据： A 产品利润 +B 产品利润 =总利润可得W= 0.1m2+1.5m+0.3（10m） ，配方后根据二次函数的性质即可知最值情况 【解答】解： （1）根据题意，设销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函 数关系式为 y=ax 2+bx， 将（1，1.4） 、 （3，3.6）代入解析式， 得：， 解得：， 销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为y=0.1x 2+1.5x； （2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（ 10m）吨，销售 A、B 两种产品获得 的利润之和为 W 元， 则 W=0.1m2+1.5m+0.3（10m） ， =0.1m 2+1.2m+3， =0.1（m6） 2+6.6， 0.10， 当 m=6 时，W 取得最大值，最大值为6.6 万元， 答：购进 A 产品 6 吨，购进 B产品 4 吨，销售 A、B两种产品获得的利润之和最 大，最大利润是 6.6 万元 23 （10 分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现 要将一块四边形的空地 （如图 5，四边形 ABCD ）铺上草皮，但由于年代久远， 25 / 29 小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC ，BD的长 度分别为 20cm，30cm 及夹角 AOB为 60° ，你能利用这些数据，帮助物业人 员求出这块空地的面积吗？ 问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出 ABD与BCD （也可以 是ABC与ACD ）的面积，再相加就可以了 建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况： 如图 1，ABC中，O为 BC上任意一点 （不与 B，C两点重合），连接 OA，OA=a， BC=b ，AOB= （为 OA与 BC所夹较小的角），试用 a，b，表示 ABC的 面积 解：如图 2，作 AMBC于点 M， AOM 为直角三角形 又 AOB= ，sin =即 AM=OA?sin ABC的面积 =?BC?AM= ?BC?OA?sin = absin 问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题 如图 3，四边形 ABCD中，O 为对角线 AC ，BD的交点，已知 AC=20m ，BD=30m， AOB=60 ° ，求四边形 ABCD的面积 （写出辅助线作法和必要的解答过程） 新建模型：若四边形ABCD中，O 为对角线 AC，BD的交点，已知 AC=a ，BD=b， AOB= （为 OA 与 BC 所夹较小的角），直接写出四边形ABCD 的面积 = absin 模型应用： 如图 4，四边形 ABCD中，AB+CD=BC ，ABC= BCD=60 ° ，已知 AC=a ， 则四边形 ABCD的面积为多少？（ “ 新建模型 ” 中的结论可直接利用） 26 / 29 【分析】 问题解决，如图5 中，作 AEBD于 E，CF BD于 F根据 S四边形ABCD=S ABD+SBCD计算即可； 新建模型，如图5 中，作AEBD 于 E，CF BD 于 FS四边形 ABCD=S ABD+S BCD=?BD?AE +?BD?CF= ?BD?（ AE+CF） =?BD?（ OA?sin +OC?sin ） =?BD?AC?sin ； 模型应用，如图 4 中，在 CB上取 CE=CD ，连接 DE，AE，BD 只要证明 BD=AC ， APB=60 ° 即可； 【解答】 解：问题解决，如图5 中，作 AEBD于 E，CF BD于 F S四 边 形 ABCD=SABD+SBCD=?BD?AE +?BD?CF= ?BD?（ AE+CF） =?BD? （OA?sin60° +OC?sin60°）=?BD?AC=150 新建模型，如图 5 中，作 AEBD于 E，CF BD于 F S 四 边 形ABCD=SABD+SBCD=?BD?AE +?BD?CF=?BD?（ AE+CF） =?BD? （OA?sin +OC?sin ）=?BD?AC?sin = absin ， 故答案为absin 模型应用，如图 4 中，在 CB上取 CE=CD ，连接 DE，AE，BD AB+DC=BC ， 27 / 29 AB=BE ， ABC= BCD=60 ° ， ABE与CDE均为等边三角形， AE=BE ，DE=CE ， AEB= CED=60 ° ， BED= AEC=120 ° ， 在BED与AEC中， ， BED AEC （SAS ） ， AC=BD ，EAC= EBD ， AOP= BOE ， APO= AEB=60 ° ， S四边形ABCD= ?a?a?sin60 °= a2 24 （12 分）如图，已知RtABC中， C=90° ，AC=8cm ，AB=12cm ，点 P 由 B 出发沿 BA方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC方向向点 C匀速运 动，速度均为 1cm/s以 AQ、PQ为边作 ?AQPD ，连接 DQ，交 AB于点 E设 运动的时间为 t（单位： s） （0t6） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时， ?AQPD为矩形 （2）当 t 为何值时， ?AQPD为菱形 （3）是否存在某一时刻t，使四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若 存在，请求出 t 值，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用矩形的性质得到APQ ABC ，利用相似三角形对应边的比 相等列出比例式即可求得t 值； 28 / 29 （2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答； （3）过点 P作 PMAC于 M先表示出 APQ的面积和 S四边形 PQCB=S ABCSAPQ， 进而建立方程即可得出结论 【解答】 解： （1）如图 2，当?AQPD是矩形时， PQ AC ， PQ BC ， APQ ABC =， 由运动知， QA=t，BP=t， AP=AB BP=12t， 即， 解之t=， 当 t=时，?AQPD是矩形； （2）当?AQPD是菱形时， DQAP，AE= AP 则 cosBAC=， 由运动知， QA=t，BP=t， AP=AB BP=12t，AE=6 t， 解之t=， 所以当 t=时， AQPD是菱形； （3）存在时间 t，使四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积 在 RtABC中，根据勾股定理得， BC=4， 如图 3，过点 P作 PMAC于 M 则=， 29 / 29 即， 故 PM=（12t） SAPQ=AQ×PM=×t×（12t） ， S四边形PQCB=SABCSAPQ=×4×8×t×（12t） ， 四边形 AQPD的面积等于四边形PQCB的面积， 2××t×（12t）=×4×8×t×（12t） ， t=（舍）或 t=