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导数与函数的含参问题 例1.已知函数 1 ( )ln1() a f xxaxaR x （1）当1a时，求曲线( )yf x在 点(2,(2)f处的切线方程； （2）当 1 2 a时，讨论( )f x的单调性 . 解:（1） 当1 ( )af x时，),0(,1 2 lnx x xx 所以 2 2 2xx fx x 因此 21f, 即曲线( )2(2) 1.yf xf在点（ ，处的切线斜率为，又,22ln)2(f所以曲线 ( )2(2) (ln 22)2, yf xfyx在点（ ，处的切线方程为ln 20. xy即 （ 2） 因 为1 1 ln)( x a axxxf , 所 以 2 11 )( ' x a a x xf 2 2 1 x axax ),0(x, 令,1)( 2 axaxxg),0(x (I)当0a时 ，( )1,0,g xxx所 以当0,1x时 ，g x0 ， 此 时 0fx，函数fx单调递减； 当1,x时，g x0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 max 1 (1) 2 ffa。 分析 :区间01 ，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定 待定量 a 的值。 例 5. 2013·新课标I 理）（ 21）（本小题满分共12 分） 已知函数f(x)x 2axb，g(x)ex(cxd) ，若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)， 且在点 P处有相同的切线y4x+2 （）求a，b， c，d 的值（）若x 2 时， f(x)kg(x)，求 k 的取值范围。 解: （1）因为曲线yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，所以 b=d=2；因为 ' ( )2fxxa， 故 '(0) 4fa； '( ) () x g xe cxdc， 故 ' ( 0 )24gc， 故2c； 所 以 2 ( )42f xxx，( )(22) x g xex； （2） 令()()()Fxk gxf x， 则 ' () (1 ) ( 24 ) x F xk ex， 由题设可得(0)0F， 故1k， 令 '( ) 0F x得 12 ln ,2xk x， （1）若2ln,k即 2 1ke，则 1 20x，从而当 1 ( 2,)xx时， ' ( )0F x，当 1 (,)xx时 ' ( )0F x，即( )F x在( 2,)上最小值为 2 111111 ()2242(2)0F xxxxx x，此时 f(x)kg(x)恒成立； （2）若ln2k即 2 ke， '2 ( )(1)(24)0 x Fxex，故( )F x在( 2,)上单调 递增，因为(2)0F所以 f(x)kg(x)恒成立 （3）若ln2k即 2 ke，则 2 ( 2)220Fke，故 f(x)kg(x)不恒成立； 综上所述k 的取值范围为 2 1,e. 分析 :（2）构造函数“( )( )( )F xkg xf x” ，转化为( )0F x恒成立问题 , 本题用分离变 量法做法太复杂, 不妨直接求 min F, 只要 min F0 即可 . 在求 min F时, 有一个极值点 1 x不确定 , 需讨论 1 x与区间端点 -2 的关系 , 从而找到正确答案. 注意 :由 5 个例题可知 ,(1)不是所有含参的问题都需要分类讨论,要善于根据给出的参数范围, 定义域确定导数符号,尽量避开分类讨论;(2)讨论函数的单调区间、极值、最值，都要注意结 合定义域，都是通过讨论函数的单调性来求极值、最值的，思路方法一致。 导数与函数的含参问题最值与恒成立问题 二典例分析 例 2. 已知函数( )() x f xxk e（1）求( )f x 的单调区间；（2）求 ( )fx 在区间 0，1上的 最小值 例 3. （2011 北京， 18，13）已知函数 2 ( )() x k f xxke （1）求( )f x的单调区间； （2）若对于任意的 1 (0,),( )xf x e 都有，求 k 的取值范 围。 变式训练： 1. 已知a是实数， 函数 2 ( )()f xxxa。 （） 若 ' (1)3f，求a的值及曲线( )yf x在 点(1, (1)f处的切线方程； （）求( )fx在区间2, 0上的最大值。 2.已知 x x xgexxaxxf ln )(,0(,ln)(，其中e是自然常数，.aR （）讨论1a时, ( )f x的单调性、 极值； （）求证：在 （）的条件下， 1 ( )( ) 2 f xg x; 3.已知函数 2 ( )ln ,f xxaxbx曲线( )yf x过点 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为2, 求(1) 求,a b的值 ;(2)证明 :( )22f xx 4.（2012 安徵）设函数 1 (0) x x aeb a ae （1） 求( )f x在0,)的最小值； （2） 设曲线( )f x在点(2,(2)f处的切线方程为 3 2 yx， 求,a b 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 设函数 2 1 x fxxekx( 其中kR). ( ) 当1k时, 求函数fx的单调区间； ( ) 当 1 ,1 2 k 时, 求函数fx在0,k上的最大值M. 设函数( )lnf xxax， ( ) x g xeax，其中a为 实数 . （1）若( )f x在(1,)上是单调减函数，且( )g x在(1,)上有最小值，求 a的取值范围； （2）若( )g x在( 1,)上是单调增函数，试求( )f x的零点个数，并证明你的结论. 导数与函数的含参问题已知单调性求参数 例 3.（2011 北京， 18，13）已知函数 2 ( )() x k f xxke （2）求( )f x的单调区间； （2）若对于任意的 1 (0,),( )xf x e 都有，求 k 的取值范 围。 变式训练 1.(2010年北京理18) ( 本小题共13 分) 已知函数f(x)=In(1+x)-x+ 2 2 k x (k0)。 ( )k=2时，求曲线y=f(x) 在点 (1 ，f(1) 处的切线方程；( ) 求f(x) 的单调区间。 2. 已知 x x xgexxaxxf ln )(,0(,ln)(，其中e是自然常数，.aR （）讨论1a时, ( )f x的单调性、 极值； （）求证：在 （）的条件下， 1 ( )( ) 2 f xg x; 例 1. 解 （1） 当1 ( )af x时，),0(, 1 2 lnx x xx所以 2 2 2xx fx x 因此21f, 即曲线( )2(2) 1.yfxf在点（ ，处的切线斜率为，又,22ln)2(f所以 曲线 ( )2(2) (ln 22)2, yf xfyx在点（ ，处的切线方程为ln 20. xy即 （ 2） 因 为1 1 ln)( x a axxxf, 所 以 2 11 )( ' x a a x xf 2 2 1 x axax ),0(x,令,1)( 2 axaxxg),0(x当0a时， ()1,0,gxxx所以 当 0,1x 时， g x 0，此时 0fx ，函数 fx 单调递减； 当1,x时，g x0，此时0fx，函数fx单调递增 . 当0a时，由0fx，即 2 10axxa，解得 12 1 1,1xx a . 当 1 2 a时， 12 xx，0g x恒成立，此时0fx，函数fx在（ 0，+） 上单调递减 ; 当 1 0 2 a时， 1 110 a ，0,1x时，0g x, 此时0fx, 函数fx单 调递减 1 1,1x a 时 ，g x0, 此时0fx, 函数fx单 调递 增 1 1,x a 时， 0g x，此时0fx，函数fx单调递减 当0a时，由于 1 10 a ,0,1x时，0g x, 此时0fx, 函数fx单调递 减： 1,x时，g x0, 此时0fx,函数fx单调递增 . 综上所述：当0a时，函数fx在0,1上单调递减 ; 函数fx在1,上单调递增 当 1 2 a时, 函数fx在0,上单调递减当 1 0 2 a时， 函数fx在0,1上单调递 减；函数fx在 1 1,1 a 上单调递增；函数fx在 1 1, a 上单调递减 . 4.已知函数 2 23yxx在区间 ,2a上的最大值为 15 4 ，求a的值 导数与函数的含参问题讨论函数的零点