初中数学的中点模型地构造及的应用.pdf

实用标准文档 精彩文案 中点模型的构造及应用 一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、 等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中 点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 （一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图， 在ABC中， D为 BC中点， 延长 AD到 E使 AD=DE ， 连接 BE ， 则有：ADC EDB 。作用：转移线段和角。 （二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问 题。 如图， 在ABC中， D为 BC中点， 延长 ED到 F使 ED=DF ， 连接 CF ， 则有：BED CFD 。作用：转移线段和角。 实用标准文档 精彩文案 （三）直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线， 然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。 如 下 图 ， 在RtABC 中 ，A C B9 0， D 为AB 中 点 ， 则 有 ： 1 2 CDADBDAB （四）等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线 合一。 在ABC中:（1） AC=BC ；（2） CD平分ACB；（3） AD=BD ，（4）CDAB “知二得二”：比如由（ 2） （3）可得出（ 1） （4）. 也就是说，以上四条语句，任 意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 （五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线； 或出现一个 中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在ABC中，D，E分别是 AB 、AC边中点，则有DEBC， 1 DEBC 2 =。 三、练习 （一）倍长中线法 1. （2014 秋? 津南区校级期中） 已知：在 ABC 中，AD是 BC边上的中线， E是 AD上一点，且 BE AC ，延长 BE交 AC于 F，求证： AFEF 实用标准文档 精彩文案 2. （2017? 湘潭） 如图，在 ? ABCD 中，DE CE ，连接 AE并延长交 BC的延长线 于点 F （1）求证： ADE FCE ； （2）若 AB 2BC ，F36°求 B的度数 3.（2017 江西萍乡， 15）如图，在 ABC中，CD是 AB边上的中线， E是 CD的中 点，过点 C作 AB的平行线交 AE的延长线于点 F，连接 BF （1）求证： CF AD ； （2）若 CA CB ，试判断四边形CDBF 的形状，并说明理由 4.（2014? 鄂尔多斯） 如图 1，在? ABCD 中，点 E是 BC边的中点，连接 AE并延 长，交 DC的延长线于点 F且 AEC 2ABE 连接 BF、AC （1）求证：四边形 ABFC 的是矩形； （2）在图 1 中，若点 M是 BF上一点，沿 AM折叠 ABM ，使点 B恰好落在线段 DF上的点 B处（如图 2） ，AB 13，AC 12，求 MF的长 实用标准文档 精彩文案 5. （2017? 贵阳,24 ） （1）阅读理解：如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，E是 BC的中点，若 AE是BAD的平分线，试判断AB ，AD ，DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法： 延长 AE交 DC的延长线于点 F， 易证AEB FEC ， 得到 AB FC ，从而把 AB ，AD ，DC转化在一个三角形中即可判断 AB 、AD 、DC之间的等量关系为 _ ； （2）问题探究：如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AF与 DC的延长线交于点 F，E是 BC的中点，若 AE是BAF的平分线，试探究AB ，AF ，CF之间的等量关 系，并证明你的结论 （3）问题解决：如图， AB CF ，AE与 BC交于点 E，BE ：EC 2：3，点 D在线 段 AE上，且EDF BAE ，试判断 AB 、DF 、CF之间的数量关系，并证明你的结 论 （二）倍长类中线法 1.（2016 秋? 江都区期中） 已知：如图，E是 BC的中点，点 A在 DE上，且BAE CDE 求证： AB CD 实用标准文档 精彩文案 2. （2017? 重庆， 24）在ABM中， ABM 45°，AM BM ，垂足为 M ，点 C 是 BM延长线上一点，连接AC （1）如图 1，若 AB3 2 ，BC 5，求 AC的长； （2）如图 2，点 D是线段 AM上一点， MD MC ，点 E是ABC外一点， EC AC ， 连接 ED并延长交 BC于点 F，且点 F是线段 BC的中点，求证： BDF CEF 3. （2017? 山西，17）已知：如图，在 ? ABCD 中，延长 AB至点 E，延长 CD至点 F，使得 BE DF 连接 EF，与对角线 AC交于点 O 求证： OE OF （三）直角三角形斜边中线法 1. （2016? 乌鲁木齐， 9）如上图，在 RtABC 中，点 E在 AB上，把这个直角三 角形沿 CE折叠后，使点 B 恰好落到斜边 AC的中点 O处，若 BC 3，则折痕 CE 的长为（） A.3 B. 2 3 C. 3 3 D.6 2. （2015? 乌鲁木齐， 9）如图，将斜边长为4 的直角三角板放在直角坐标系 xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点现将此三角板绕点O 顺时针旋转 120°后点 P的对应点的坐标是（） A31（， ） B. 3（1，-） C. 32（2， ） D. 3（2，-2） 实用标准文档 精彩文案 3. （2017? 新疆， 22）如图，AC为O的直径， B为O上一点， ACB 30°， 延长 CB至点 D，使得 CB BD ，过点 D作 DE AC ，垂足 E在 CA的延长线上，连 接 BE （1）求证： BE是O的切线； （2）当 BE 3 时，求图中阴影部分的面积 4. （2017? 北京，22）如图，在四边形ABCD 中，BD为一条对角线， AD BC ， AD 2BC ，ABD 90°，E为 AD的中点，连接 BE （1）求证：四边形 BCDE 为菱形； （2）连接 AC ，若 AC平分 BAD ，BC 1，求 AC的长 5. （2015北京东城， 23）如图，ABC中，BCA 90°，CD是边 AB上的中线， 分别过点 C，D作 BA ，BC的平行线交于点 E，且 DE交 AC于点 O ，连接 AE （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若 AC 2DE ，求 sin CDB 的值 （四）等腰三角形三线合一 1. （2017? 荆州） 如图，在 ABC中，AB AC ，A30°，AB的垂直平分线l 交 AC于点 D ，则 CBD 的度数为（） A.30°B.45° C.50° D.75° 实用标准文档 精彩文案 2. （2017? 陕西， 9）如图， ABC是O的内接三角形， C 30°， O的半 径为 5，若点 P是O上的一点，在 ABP中，PB AB ，则 PA的长为（） A.5 B. 5 3 2 C. 5 2 D. 5 3 3. （2017? 呼和浩特， 18）如图，等腰三角形ABC中，BD ，CE分别是两腰上的 中线 （1）求证： BD CE ； （2）设 BD与 CE相交于点 O ，点 M ，N分别为线段 BO和 CO的中点，当 ABC 的重心到顶点 A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理 由 （五）中位线法 1.（2015? 郑州）如图，D是ABC内一点，BD CD ，AD 12，BD 8，CD 6，E、 F、G 、H分别是 AB 、AC 、CD 、BD的中点，则四边形EFGH 的周长是（） A.14 B.18 C.20 D.22 2. （2013? 乌鲁木齐， 15）如图， ABC中，AD是中线， AE是角平分线， CF AE于 F，AB 5，AC 2，则 DF的长为 _ 3.（2017? 遵义）如图，ABC的面积是 12，点 D 、E、F、G分别是 BC 、AD 、BE 、 CE的中点，则 AFG的面积是（） A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 实用标准文档 精彩文案 4. （2017? 天津， 17）如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1， 点 F，G分别在边 BC ，CD上，P为 AE的中点，连接 PG ，则 PG的长为 _ 5. （2014 春? 硚口区期末） 如图，已知 ABC的中线 BD 、CE相交于点 O 、M 、N 分别为 OB 、OC的中点 （1）求证： MD 和 NE互相平分； （2）若 BD AC ，EM 2 2 ，OD CD 7，求 OCB 的面积 6.（2017? 云南，20）如图， ABC 是以 BC为底的等腰三角形， AD是边 BC上的 高，点 E、F 分别是 AB 、AC的中点 （1）求证：四边形 AEDF 是菱形； （2）如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于7，求四边形 AEDF 的 面积 S 7. （2017? 长春） 【再现】如图，在 ABC中，点 D ，E分别是 AB ，AC的中点， 可以得到： DE BC ，且 1 DEBC 2 （不需要证明） 【探究】如图，在四边形ABCD 中，点 E，F，G ，H分别是 AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明 【应用】在（ 1） 【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边 形 EFGH 是菱形？你添加的条件是：_ （只添加一个条件） （2）如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G ，H分别是 AB ，BC ，CD ，DA的中 点，对角线 AC ，BD相交于点 O 若 AO OC ，四边形 ABCD 面积为 5，则阴影部分 实用标准文档 精彩文案 图形的面积和为 _. 8. （2015? 巴东县模拟） 如图，在四边形 ABCD 中，AB DC ，E、F 分别是 AD 、BC 的中点， G 、H分别是对角线 BD 、AC的中点 （1）求证：四边形 EGFH 是菱形； （2）若 AB 5 4 ，则当 ABC DCB 90°时，求四边形 EGFH 的面积