希尔伯特公里体系简介.pdf
实用标准文案 精彩文档 希尔伯特公理体系 希尔伯特 (Hilbert，公元 18621943) 在历代数学家所积累的极其丰富的公理资料基础上，德国数学家 希尔伯特 (Hilbert， 公元 18621943)完成了几何学的基础构造工作。 他于 1899年出版名著 几何基础，建立了几何学完善的公理体系 “希尔伯特公理体系” 。 希尔伯特的公理体系建立在基本概念和公理的基础上，基本概念 由两部分组成：一部分是几何学研究对象(也称基本元素 ), 如点、线、 面等；另一部分是元素间的基本关系，如结合关系、合同关系等。公 理共有 5 组 20 条。希尔伯特公理体系满足他自己提出的三个基本要 求，即相容性（公理间互不矛盾） 、独立性（每条公理都不能从其余 的公理推出）、完备性（公理体系所有模型都是互相同构的）。 基本元素： 点，线，面。 基本关系： 结合关系（如点在直线上，直线在面上等），顺序关 实用标准文案 精彩文档 系（如一点在两点之间，一射线在两射线之间等），合同关系（如两 线段合同，两角合同等） 基本公理： 、结合公理 8 条 几何基本元素 “点” 、 “直线” 、 “平面”之间的结合关系就是：“点 在直线上”可以说成“直线通过点或直线含有点或点属于直线”；点 和平面也有这种关系，结合公理要求满足8 条公理： （1）通过不同两点必有一条直线。 （2）通过不同两点的直线至多有一条。 （3） 每一条直线上至少有两点； 至少有三点不在同一条直线上。 （4）通过不共线的三点必有一个平面；每一个平面上至少有一 点。 （5）至多有一个平面通过不共线的三点。 （6）若一直线有不同两点在某个平面上，则该直线上所有点都 在这平面上。 （7）若两个平面有一个公共点，则至少还有一个公共点。 （8）至少有四个点不同在一个平面上。 、顺序公理 4 条 直线上的点与点之间有一种“介于”关系，通常用“介于之 间”的语言来表示。“介于”关系表示点与点之间的“顺序关系”，它 们必须满足 4 条顺序公理。 （1）若点B介于两点 A、C之间，则A、B、C是同一直线上的 实用标准文案 精彩文档 三个不同点，并且 B也介于C和A之间。 （2） 对于任意不同的两点 A和B， 直线AB上至少有一点C存在， 使得B介于 A和C之间。 （3）在共直线的不同三点中，至多有一点介于其余两点之间。 （4）巴士公理 。设 A、B、C是不在同一直线上的三个点， a是 平面ABC上的一条直线，它不通过 A、B、C中的任一点。若 a有一 点介于 A和B之间，则 a必须还有一点介于 B和C之间或A和C之间。 、合同公理 5 条 根据“介于之间”的关系和顺序公理，可以定义“线段”、 “射线” 、 “角”等概念，线段与线段之间具有一种关系，这种关系用 词语“合同”或“相等”来表示。合同关系必须满足5 条公理： （1） 若A、B是直线a上两点， 'A是该直线或另一直线'a上一点， 则在直线 'a上点'A的任意指定的一侧，总存在一个而且只有一个点 'B，使得线段''A B合同于（或等于）线段AB。 （2）若线段 ''A B合同于AB，''''A B合同于AB，则''A B合同于 ''''A B。即若''A BAB，''''A BAB, 则''''''A BA B。 （3） 若B点介于 A和C之间，'B介于'A和'C之间，且''ABA B， ''BCB C,则''ACA C。 （4）设平面上给定由点 O发出的射线h、k所成的角( , )h k， 在平面 '上给定直线'a并指定其一侧，设'h是'上从'O点发出的射线， 则'上'a指定的一侧存在由'O发出的唯一射线'k, 使得 ( , )( ',')h kh k，又( , )( , )h kk h。 实用标准文案 精彩文档 （5）设A、B、C是不在同一直线上的三点， 'A、'B、'C也不 在同一直线上。若线段 ''ABA B,''ACA C，且'''ABCA B C，则 '''BACB A C,'''ACBA C B。 、连续公理 2 条 （1）阿基米德公理 。设AB和CD是任意两条线段， ABCD，则 在直线 AB上必定存在着有限个点 12n A AA使得 1 A介于A和 2 A之间， 2 A介于 1 A和 3 A之间，线段之间有合同关系 112231nn AAA AA AAACD，并且使得点B介于点A和 n A之间。 亦即存在自然数n，使得 nCDAB。 （2）康托尔公理 。设在任意直线a上给了线段的无穷序列 1122 , nn AB A BA B，其中每一个后面的线段连同端点完全落在前一个 线段的内部，并设对于任何预先给定的无论多么短的线段 CD，总可 以找到一个自然数n，使得 nn A BCD。则在直线a上存在着一点X， 落在所有线段 1122 , nn AB A BA B的内部。 、平行公理 1 条 同一平面上没有公共点的两条直线叫做平行线，或称该两条直线 互相平行。 平行公理： 设a是任意一条直线， A是a外的任意一点，那么在 a 和A所决定的平面上，至多只有一条直线通过 A且与a平行。 这条公里是英国数学家普雷菲尔(Playfair)首先用来代替欧几 里得第 5 公设的，因而又称普雷菲尔公理， 它与欧几里得第 5 公设等 价，但形式上较为简单。 实用标准文案 精彩文档 前四组公理、 、及其推论组成的几何学称为绝对几何 学，由绝对几何学加上欧氏平行公理展开的几何学称为欧氏几何学 ， 由绝对几何学加上 罗巴切夫斯基平行公理 展开的几何学称为 罗氏几 何学。 希尔伯特公理体系分类图 基本元素：点、线、面 结合关系 基本概念 基本关系顺序关系 合同关系 几何基础 结合公理 8条 顺序公理 4条 基本公理 20条 合同公理 5条 连续公理 2条 平行公理 1条
