初中圆的定理和公式汇总.pdf
初中圆的定理和公式汇总 1 不在同一直线上的三点确定一个圆。 圆：由定点到定长点的集合叫做圆。符号0 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦： 经过圆心的弦叫直径 半径不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆 同圆、等圆或半径相同的叫做等圆 两个完全重合的弧叫等弧 经过平面上一点可画无数个圆； 经平面上二点可画无数个圆； 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形 的外接圆。 外心：三角形三条中垂线的交点。 三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形。 2 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 A B 4 圆是定点的距离等于定长的点的集合 5 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7 同圆或等圆的半径相等 8 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 9 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 10 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 12 直线 L 和O 相交 dr 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 dr 13 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线 14 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角 18 圆的外切四边形的两组对边的和相等 19 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 20 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 30 相交弦定理圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积 相等 31 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 32 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 33 推论 从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等 34 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 35 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdR+r(R r) 两圆内切d=R-r(R r) 两圆内含 dR-r(R r) 36 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 37 定理 把圆分成 n(n 3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 经过各分点作圆的切线， 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这 个圆的外切正 n 边形 38 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同 心圆 39 正 n 边形的每个内角都等于（n-2）× 180° n 40 定理 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角 三角形 41 正 n 边形的面积 Sn=pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长 42 正三角形面积 3a 4 a 表示边长 43 如果在一个顶点周围有k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360° ，因此 k× (n-2)180 °n=360° 化为（n-2）(k-2)=4 44 弧长计算公式： L=n 兀 R180 45 扇形面积公式： S 扇形=n 兀 R2360=LR 2 46 内公切线长 = d-(R-r) 外公切线长 = d-(R+r) 47 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 48 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆 周角所对的弧也相等 49 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所 对的弦是直径 切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“ 切线长 ” 是切 线上一条线段的长，具有数量的特征，而“ 切线 ” 是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 如图 1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若 已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连 结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切 点的两个半径的夹角互补； （5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹 的角。 3.弦切角（如图2） ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线 AB 切 O 于 P， PC、 PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）APC,APD,BPD,BPC 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中APC=CDP 等 证明：如图2，连接 CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2 CPO 而 CPO=90 -APC,故COP=2APC,即CDP=APC。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“ 角” 弦切角， “ 线” 切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交 弦定 理 O 中， AB 、CD 为弦，交 于 P. PA· PBPC· PD 连结 AC 、BD ，C=B,A=D, 所以 APC DPB 相交 弦定 理的 推论 O 中， AB 为直 径， CDAB 于 P. PC 2PA · PB 用相交弦定理. 切割 线定 理 O 中， PT 切 O 于 T，割 线 PB 交 O 于 A PT 2PA · PB 连结 TA、 TB， 则 PTA= B （弦 切角等于同弧圆周角）所以 PTA PBT ，所以 PT 2PA · PB 图 1 图 2 切割 线定 理推 论 PB、 PD 为 O 的 两条割 线，交 O 于 A、C PA· PBPC· PD 过 P作 PT 切 O 于 T， 用两次切 割线定理 圆幂 定理 O 中， 割线 PB 交 O 于 A， CD 为 弦 P'C ·P'Dr 2OP'2 PA· PBOP 2r2 r 为 O 的半径 延长 P'O 交 O 于 M，延长 OP' 交 O 于 N，用相交弦定理证； 过 P作切线用切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理： 过一定点P 向 O 作任一直线，交O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线 段之积为常数 |（R 为圆半径），因为叫做点对于 O 的幂，所以将上 述定理统称为圆幂定理。 例1.如图 1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆O，过 A 作半圆 切线，切点为F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。 图 1 例2.O 中的两条弦AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm， BE2cm，CD7cm，求 CE。 图2 例3.已知 PA 是圆的切线， PCB 是圆的割线，则: 22 PBACAB_。 例4.如图 3，P 是 O 外一点， PC 切 O 于点 C，PAB 是 O 的割线，交 O 于 A、B 两点， 如果 PA： PB1： 4， PC12cm， O 的半径为 10cm， 则圆心 O 到 AB 的距离是 _cm。 图 3 例5.如图 4，AB 为 O 的直径，过B 点作 O 的切线 BC， OC 交 O 于点 E，AE 的延长线 交 BC 于点 D，求证：（1）CBCDCE 2 ； （2）若 AB BC2厘米，求CE、CD 的长。 图4 例6.如图 5，AB 为 O 的直径，弦CDAB ，AE 切 O 于 A，交 CD 的延长线于E。求证： DEABBC 2 图5 例7.如图 6，PA、PC 切 O 于 A、C，PDB 为割线。求证：AD ·BC CD ·AB 图 6 例8.如图 7，在直角三角形ABC 中， A90° ，以 AB 边为直径作O，交斜边 BC 于点 D， 过 D 点作 O 的切线交AC 于 E。求证： BC 2OE。 图 7 例9.如图 8，在正方形ABCD 中， AB1，AC是以点 B 为圆心， AB 长为半径的圆的一段 弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点E 与点 A、D 不重合），过 E 作AC所在圆的切线，交 边 DC 于点 F，G 为切点。 当 DEF 45° 时，求证 :点 G 为线段 EF 的中点； 图8 【模拟试题】 （答题时间： 40分钟） 一、选择题 1.已知：PA、PB 切 O 于点 A、 B，连结 AB ，若 AB 8， 弦 AB 的弦心距 3， 则 PA（） A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（） A.平行四边形B.矩形 C.菱形D.梯形 3.已知：如图 1直线 MN 与 O 相切于 C， AB 为直径，CAB 40° ， 则 MCA 的度数 （） 图1 A. 50 °B. 40 °C. 60 °D. 55 ° 4.圆内两弦相交， 一弦长 8cm 且被交点平分， 另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为 （） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在 ABC 中， D 是 BC 边上的点， AD=22cm，BD 3cm，DC4cm，如果 E是 AD 的延长线与 ABC 的外接圆的交点，那么DE 长等于（） A. 32cm B. 23cm C. 22cm D. 33cm 6. PT 切 O 于 T，CT 为直径， D 为 OC 上一点，直线PD 交 O 于 B 和 A，B 在线段 PD 上，若 CD2，AD 3，BD 4，则 PB 等于（） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题 7. AB 、CD 是 O 切线， AB CD，EF 是 O 的切线，它和AB 、CD 分别交于E、F，则 EOF_度。 8.已知： O 和不在 O 上的一点P，过 P 的直线交 O 于 A、B 两点，若PA· PB24， OP5，则 O 的半径长为 _。 9.若 PA 为 O 的切线， A 为切点， PBC 割线交 O 于 B、 C，若 BC20，PA=310， 则 PC 的长为 _。 10.正 ABC 内接于 O，M、N 分别为 AB 、AC 中点， 延长 MN 交 O 于点 D，连结 BD 交 AC 于 P，则 PA PC =_。 三、解答题 11.如图 2， ABC 中， AC 2cm，周长为 8cm，F、K、N 是 ABC 与内切圆的切点，DE 切 O 于点 M，且 DE AC，求 DE 的长。 图2 12.如图 3，已知 P 为 O 的直径 AB 延长线上一点，PC 切 O 于 C，CDAB 于 D，求证： CB 平分 DCP。 图 3 13.如图 4，已知 AD 为 O 的直径， AB 是 O 的切线，过B 的割线 BMN 交 AD 的延长 线于 C，且 BM MN NC，若 AB=22cm，求 O 的半径。 图4
