数列知识点总结与题型归纳总结.pdf

让学习成为一种习惯！ 1 高三总复习 -数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 n a，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位 置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作 na； 数列的一般形式： 1 a， 2 a， 3 a， n a，简记作 n a。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010 年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列 n a的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如： 1 ，2 ，3 ，4， 5 ， ： 5 1 4 1 3 1 2 1 1， 数列的通项公式是 n a= n（n7，nN） ， 数列的通项公式是 n a= 1 n （nN ） 。 说明： n a表示数列， n a表示数列中的第n项， n a= fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， n a= ( 1) n = 1,21( ) 1,2 nk kZ nk ； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4 ，1.41 ，1.414 ， （3）数列的函数特征与图象表示： 序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看， 数列 实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值(1), (2),(3),fff，( )f n，通常用 n a来代替fn，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12nan的图像 . （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3， 4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a, （5）数列 n a 的前n项和 n S与通项 n a的关系： 1 1 (1) (2) n nn Sn a SS n 例：已知数列 n a的前 n项和32 2 nsn，求数列 n a的通项公式 让学习成为一种习惯！ 2 练习： 1根据数列前4 项，写出它的通项公式： （1）1，3， 5，7； （2） 2 21 2 ， 2 31 3 ， 2 41 4 ， 2 51 5 ； （3） 1 1*2 ， 1 2*3 ， 1 3*4 ， 1 4*5 。 （4）9，99，999，9999 （ 5）7，77，777，7777， (6)8, 88, 888, 8888 2数列 n a中，已知 2 1 () 3 n nn anN （1）写出 , 1 a， 2 a， 3 a，1na ， 2 n a； （2） 2 79 3 是否是数列中的项？若是，是第几项？ 3 （2003 京春理14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。 4、由前几项猜想通项： 根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. 5. 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（） ，其通项公式 为 . A40 个 B45 个 C50 个 D 55 个 2条 直 线 相 交，最多有1 个交点 3 条 直 线 相 交，最多有3 个交点 4 条 直 线 相 交，最多有6 个交点 （ 1）（4） （7） （） （） 让学习成为一种习惯！ 3 二、等差数列 题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个 数 列 就 叫 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 ， 公 差 通 常 用 字 母d表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为 1 (2) nn aad n或 1 (1) nn aad n。 例：等差数列12nan， 1nn aa 题型二 、等差数列的通项公式： 1 (1) n aand； 说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。 例： 1. 已知等差数列 n a中， 12497 116aaaa，则，等于（） A15 B 30 C 31 D 64 2. n a是首项 1 1a，公差3d的等差数列，如果2005 n a，则序号n等于 （A） 667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列12, 12nbna nn ，则 n a为 n b为（填“递增数列”或 “递减数列” ） 题型三 、等差中项的概念： 定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 2 ab A a，A，b成等差数列 2 ab A即： 21 2 nnn aaa（ mnmnn aaa2） 例： 1（14 全国 I ） 设 n a是公差为正数的等差数列，若 123 15aaa， 123 80a a a， 则 1 11 21 3 aaa（） A120 B105C90 D75 2. 设数列 na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A1 B.2 C.4 D.8 题型四 、等差数列的性质： （1）在等差数列 n a中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列 n a中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列 n a中，对任意m，nN，() nm aanm d， nm aa d nm ()mn； （4）在等差数列 n a中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpq aaaa； 题型五 、等差数列的前n和的求和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snadn d a）（ 2 n 2 1 1 2 。 (),( 2 为常数BABnAnSn n a是等差数列 ) 递推公式： 2 )( 2 )()1( 1 naa naa S mnm n n 例： 1. 如果等差数列 n a 中， 345 12aaa，那么 127 .aaa （ A）14 （ B）21 （ C）28 （D）35 让学习成为一种习惯！ 4 2. （2015 湖南卷文）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a， 6 11a，则 7 S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 3. （2015 全国卷理）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 72S, 则 249 aaa= 4. （2015 重庆文）（2）在等差数列 n a中， 19 10aa，则 5 a的值为（） （A）5 （ B）6 （C） 8 （D）10 5. 若一个等差数列前3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（） A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项 6. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1185212 21aaaaS，则 7. （2014 全国卷理）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 53 5aa则 9 5 S S 8 （2014 全国）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100. （）求数列bn的通项bn； 9. 已知 n a数列是等差数列，10 10 a，其前 10 项的和70 10 S，则其公差d等于 ( ) 3 1 3 2 BA C. 3 1 D. 3 2 10. （2015 陕西卷文）设等差数列 n a 的前 n 项和为 n s , 若 63 12as , 则 n a 11 （2013 全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7 7，S15 75，Tn为数列 n Sn 的前n项和，求Tn。 12. 等差数列 n a的前n项和记为 n S，已知5030 2010 aa， 求通项 n a；若 n S=242，求n 13. 在等差数列 n a中， （1）已知 8121 48,168,SSad求和； （2）已知 6588 10,5,aSaS求和；(3) 已知 31517 40,aaS求 让学习成为一种习惯！ 5 题型六 . 对于一个等差数列： （1）若项数为偶数，设共有 2n项，则S偶S奇nd； 1 n n Sa Sa 奇 偶 ； （2）若项数为奇数，设共有 21n 项，则 S奇S偶 naa中 ； 1 Sn Sn 奇 偶 。 题型七 . 对与一个等差数列， nnnnn SSSSS 232 ,仍成等差数列。 例： 1. 等差数列 an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（） A.130 B.170 C.210 D.260 2. 一个等差数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为。 3已知等差数列 n a的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4. 设 n S为等差数列 n a的前n项和， 97104 3014SSSS，则，= 5 （2015 全国 II ）设Sn是等差数列an的前n项和，若 3 6 S S 1 3 ，则 6 12 S S A 3 10 B 1 3 C 1 8 D 1 9 题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法： ）常数）（Nndaa nn ( 1n a是等差数列 中项法： )2 21 Nnaaa nnn （ n a是等差数列 通项公式法： ),(为常数bkbknan n a是等差数列 前n项和公式法： ),( 2 为常数BABnAnSn na是等差数列 例： 1. 已知数列 n a满足2 1nn aa，则数列 n a为 （） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列 n a的通项为52nan ，则数列 n a为 （） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3. 已知一个数列 n a的前 n项和42 2 nsn，则数列 n a为（） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4. 已知一个数列 n a的前 n项和 2 2nsn，则数列 n a为（） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 让学习成为一种习惯！ 6 5. 已知一个数列 n a满足02 12nnn aaa，则数列 n a为（） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6. 数列 n a满足 1 a=8，022 124nnn aaaa，且（Nn） 求数列 n a的通项公式； 7 （14 天津理， 2）设Sn是数列 an的前n项和，且Sn=n 2，则 an是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 题型九 . 数列最值 （1） 1 0a，0d时，nS有最大值； 1 0a，0d时，nS有最小值； （2） n S最值的求法：若已知 n S， n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn的最值； 可用二次函数最值的求法（nN ） ；或者求出 n a中的正、负分界项，即： 若已知 n a，则 n S最值时n的值（nN）可如下确定 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 。 例： 1等差数列 n a中， 1291 0SSa，则前项的和最大。 2设等差数列 na的前n项和为n S，已知0012 13123SSa， 求出公差d的范围， 指出 1221 SSS，中哪一个值最大，并说明理由。 3 （12 上海）设an （nN *）是等差数列， Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误 的 是（） A.d0 B.a70 C.S9 S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 让学习成为一种习惯！ 7 4已知数列 n a的通项 99 98 n n （Nn ） ，则数列 n a的前 30 项中最大项和最小项分别是 5. 已知 n a是等差数列，其中131a，公差8d。 （ 1）数列 n a从哪一项开始小于0？ （ 2）求数列 n a前n项和的最大值，并求出对应n的值 6. 已知 n a是各项不为零的等差数列，其中 1 0a，公差0d，若 10 0S, 求数列 n a前n项和的最大 值 7. 在等差数列 n a中， 1 25a， 179 SS，求 n S的最大值 题型十 . 利用 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 求通项 1. 数列 n a的前n项和 2 1 n Sn （1）试写出数列的前5 项； （2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数 列 n a的通项公式吗？ 让学习成为一种习惯！ 8 2已知数列 na 的前n项和，14 2 nnSn 则 3. 设数列 n a的前 n 项和为 Sn=2n 2，求数列 n a的通项公式； 4. 已知数列 n a中，3 1 a前n和1)1)(1( 2 1 nn anS 求证：数列 n a是等差数列 求数列 n a的通项公式 5. （2015 安徽文）设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为（） （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D） 64 等比数列 等比数列定义 一般地， 如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即： 1n a ：(0) n aq q。 一、递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa aa 推广： 通项公式： 递推关系： 1 1 1 q 1 在等比数列 n a中,2,4 1 qa，则 n a 2 在等比数列 n a中, 3 7 12,2aq, 则 19 _.a 3. （2014 重庆文）在等比数列an 中，a28，a164， ，则公比q 为（） （ A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4.在等比数列na中， 2 2 a ，545a，则8a= 让学习成为一种习惯！ 9 5. 在各项都为正数的等比数列 n a中，首项 1 3a，前三项和为21，则 345 aaa（） A 33 B 72 C 84 D 189 二、等比中项：若三个数cba,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb 2 ，注：是成等 比数列的必要而不充分条件. 例： 1.23和23的等比中项为( ) ()1A( )1B()1C()2D 2.（2013 重庆卷文） 设 n a是公差不为0 的等差数列， 1 2a且 136 ,a aa成等比数列， 则 n a的前n项 和 nS=（） A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 三、等比数列的基本性质， 1. （ 1） qpnm aaaaqpnm，则若),(Nqpnm其中 （2）)( 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn ， （3） na 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4） n a既是等差数列又是等比数列 n a是各项不为零的常数列. 例： 1在等比数列 n a中, 1 a和 10 a是方程 2 2510xx的两个根 , 则 47 aa( ) 5 ( ) 2 A 2 ( ) 2 B 1 () 2 C 1 () 2 D 2. 在等比数列 n a，已知5 1 a，100 109a a，则 18 a= 3. 在等比数列 n a中， 143613233nnaaaaaa， 求 n a 若 nnn TaaaT求,lglglg 21 让学习成为一种习惯！ 10 4. 等比数列 n a的各项为正数，且 56473132310 18,loglogloga aa aaaa则（） A 12 B10 C8 D2+ 3 log 5 5.（2014 广东卷理） 已知等比数列 n a 满足 0,1,2, n an ，且 2 525 2 (3 ) n n a an ，则当 1n 时， 2123221 logloglog n aaa （） A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 2. 前n项和公式 )1( 11 )1( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 例： 1. 已知等比数列 n a的首相5 1 a，公比2q，则其前n 项和 n S 2. 已知等比数列 n a的首相5 1 a，公比 2 1 q，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项 和 n S 3. 设等比数列 n a的前 n项和为 n S，已,6 2 a306 31 aa，求 n a和 n S 4 （2015 年北京卷）设 4710310 ( )22222() n f nnN，则( )f n等于（） A 2 (81) 7 n B 1 2 (81) 7 n C 3 2 (81) 7 n D 4 2 (81) 7 n 5 （2014 全国文， 21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； 6设等比数列 n a的公比为q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为 . 3. 若数列 n a是等比数列， n S 是其前 n项的和， * Nk，那么 k S ，kk SS2， kk SS 23成等比数列 . 例： 1. （2014 辽宁卷理）设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 3 S S =3 ，则 6 9 S S = A. 2 B. 7 3 C. 8 3 D.3 2. 一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为（） A83 B108 C75 D63 让学习成为一种习惯！ 11 3. 已知数列 n a是等比数列，且 mmm SSS 32 3010，则， 4. 等比数列的判定法 （1）定义法： （常数）q a a n n 1 n a为等比数列； （2）中项法： )0(2 2 1nnnnaaaan a为等比数列； （3）通项公式法：为常数）qkqka n n ,( n a为等比数列； （4）前n项和法：为常数）（qkqkS n n ,)1( n a为等比数列。 为常数）（qkkqkS n n , n a为等比数列。 例： 1. 已知数列 n a的通项为 n n a2 ，则数列 n a为 （） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2. 已知数列 n a满足)0( 2 2 1nnnn aaaa，则数列 n a为 （） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3. 已知一个数列 n a的前 n项和 1n 22 n s，则数列 n a为（） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5. 利用 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 求通项 例： 1. （2015 北京卷）数列 an 的前n项和为Sn，且a1=1， 1 1 3 nn aS，n=1， 2，3，求a2，a3，a4 的值及数列 an 的通项公式 2. （2015 山东卷）已知数列 n a的首项15,a前n项和为nS，且 * 15()nnSSnnN，证明数 列1 n a是等比数列 让学习成为一种习惯！ 12 四、求数列通项公式方法 （1） 公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 例： 1 已知等差数列 n a满足：26,7 753 aaa， 求 n a； 2. 已知数列 n a满足) 1( 1, 2 11 naaa nn ，求数列 n a的通项公式； 3.数列 n a满足 1 a=8，022 124nnn aaaa，且（Nn） ，求数列 n a的通项公式； 4. 已知数列 n a满足2 11 ,2 1 1 nn aa a，求数列 n a的通项公式； 5. 设数列 n a满足0 1 a且1 1 1 1 1 1nn aa ，求 n a的通项公式 让学习成为一种习惯！ 13 6. 已知数列 n a满足 11 2 ,1 2 n n n a aa a ，求数列 n a的通项公式。 7. 等比数列 n a的各项均为正数，且132 21 aa， 62 2 3 9aaa，求数列 n a的通项公式 8. 已知数列 n a满足) 1(3,2 11 naaa nn ，求数列 n a的通项公式； 9. 已知数列 n a满足 2 1221 42 nnn aaaaa且，（Nn） ，求数列 n a的通项公式； 10. 已知数列 n a满足，2 1 a且 1 1 52(5 ) nn nn aa（Nn） ，求数列 n a的通项公式； 让学习成为一种习惯！ 14 11. 已知数列 na 满足，2 1 a且 1 1 5223(5 22) nn nn aa（Nn） ，求数列 na 的通项公 式； 12. 数列已知数列 n a满足 11 1 ,41(1). 2 nn aaan则数列 n a的通项公式 = （2）累加法 1、累加法适用于： 1 ( ) nn aaf n 若 1 ( ) nn aaf n (2)n，则 21 32 1 (1) (2) ( ) nn aaf aaf aaf n 两边分别相加得 11 1 ( ) n n k aaf n 例： 1.已知数列 n a满足 14 1 , 2 1 2 11 n aaa nn ，求数列 n a的通项公式。 让学习成为一种习惯！ 15 2. 已知数列na满足 11 211 nn aana，求数列 n a的通项公式。 3. 已知数列na满足112313 n nn aaa，求数列 na的通项公式。 4. 设数列 na满足21a， 12 1 23 n nn aa，求数列 na的通项公式 （3）累乘法 适用于： 1 ( ) nn af n a 若 1 ( ) n n a f n a ，则 312 12 (1)(2)( ) n n aaa fff n aaa ， 两边分别相乘得， 1 1 1 1 ( ) n n k a af k a 让学习成为一种习惯！ 16 例： 1. 已知数列 na 满足 11 2(1)53 n nn anaa，求数列 na 的通项公式。 2.已知数列 n a满足 3 2 1 a， nn a n n a 1 1 ，求 n a。 3.已知3 1 a， nn a n n a 23 13 1)1(n ，求 n a。 （4）待定系数法 适用于 1 ( ) nn aqaf n 解题基本步骤： 1、确定( )f n 2、设等比数列 1 ( ) n af n，公比为 3、列出关系式)()1( 2211 nfanfa nn 4、比较系数求 1，2 5、解得数列 1 ( ) n af n的通项公式 6、解得数列 n a的通项公式 让学习成为一种习惯！ 17 例： 1. 已知数列 n a中， 11 1,21(2) nn aaan，求数列 n a的通项公式。 2.（2015， 重庆 ,文,14） 在数列 n a中， 若 11 1,23(1) nn aaan， 则该数列的通项 n a_ 3.（2014.福建 .理 22.本小题满分14 分）已知数列 n a满足 * 11 1,21(). nn aaanN 求数列 n a的通 项公式； 4.已知数列na满足112356 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 解：设 1 1 52(5 ) nn nn axax 5. 已知数列 n a满足 11 35241 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 解：设 1 1 23(2) nn nn axyaxy 让学习成为一种习惯！ 18 6.已知数列 na 中， 6 5 1 a, 1 1 ) 2 1 ( 3 1n nn aa，求na 7. 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna，求数列 n a的通项公式。 解：设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 8. 已知数列 n a满足 1 11 24 31 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 递推公式为 nnn qapaa 12 （其中 p，q 均为常数）。先把原递推公式转化为)( 112nnnn saatsaa 其中 s，t 满足 qst pts 9. 已知数列 n a满足 2112 56,1,2 nnn aaaaa，求数列 n a的通项公式。 让学习成为一种习惯！ 19 （5）递推公式中既有 n S 分析：把已知关系通过 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn 转化为数列 n a或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。 1. （2015 北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1， 1 1 3 nn aS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值 及数列 an 的通项公式 2. （ 2015 山东卷）已知数列 n a的首项 1 5,a前n项和为 n S， 且 * 1 5 () nn SSnnN， 证明数列1 n a 是等比数列 3已知数列 n a中，3 1 a前n和1)1)(1( 2 1 nn anS 求证：数列 n a是等差数列 求数列 n a的通项公式 让学习成为一种习惯！ 20 4.已知数列 na 的各项均为正数，且前n 项和 nS满足 1 (1)(2) 6 nnn Saa，且 249 ,aaa成等比数列，求数 列 n a的通项公式。 （6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例： 1. 已知数列 n a满足 11 2 ,1 2 n n n a aa a ，求数列 n a的通项公式。 （7）对无穷递推数列 消项得到第1n与n项的关系 例： 1. （2014 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan，求na的通项公式。 2. 设数列 n a满足 21 123 333 3 n n n aaaa，a * N求数列 n a的通项； 让学习成为一种习惯！ 21 五、数列求和 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 )1( 1 )1( )1( 1 1 q q qa qna S n n 公比含字母时一定要讨论 ( 理) 无穷递缩等比数列时， q a S 1 1 例： 1. 已知等差数列 n a满足, 1 1 a3 2 a，求前n项和 n S 2. 等差数列 an 中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100, 则n=（） A9 B 10 C11 D12 3. 已知等比数列 n a满足, 1 1 a3 2 a，求前n项和 n S 4. 设 4710310 ( )22222() n f nnN，则( )f n等于（） A. 2 (81) 7 n B. 1 2 (81) 7 n C. 3 2 (81) 7 n D. 4 2 (81) 7 n 2错位相减法求和：如：., 2211 的和求等比等差 nnnn babababa 例： 1求和 21 123 n nSxxnx 2. 求和： n n a n aaa S 32 321 让学习成为一种习惯！ 22 3. 设 n a是等差数列， n b是各项都为正数的等比数列，且 11 1ab， 35 21ab， 53 13ab（） 求 n a， n b的通项公式； （）求数列 n n a b 的前n项和 n S 3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 1 11 )1( 1 nnnn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn ) 2 11 ( 2 1 )2( 1 nnnn )2)(1( 1 )1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn !)!1(!nnnn )!1( 1 ! 1 )!1(nnn n i n i n i n CCC 1 1 1 例： 1. 数列 n a的前n项和为 n S，若 1 (1) n a n n ，则 5 S等于（） A1 B 5 6 C 1 6 D 1 30 2. 已知数列 n a的通项公式为 1 (1) n a n n ，求前n项的和； 3. 已知数列 n a的通项公式为 1 1 n a nn ，求前n项的和 让学习成为一种习惯！ 23 4. 已知数列 n a的通项公式为 n a 1 2 n ，设 13242 111 n nn T aaaaaa ，求 n T 5求)( , 321 1 4321 1 321 1 21 1 1 * Nn n 。 6已知1,0 aa，数列 n a是首项为 a，公比也为a 的等比数列， 令)(lgNnaab nnn ，求数列 n b 的前n项和 n S。 4倒序相加法求和 例： 1. 求SCCnC nnnn n 363 12 2. 求证： nn nnnn nCnCCC2)1()12(.53 210 让学习成为一种习惯！ 24 3设数列 n a是公差为d，且首项为da0的等差数列， 求和： n nnnnn CaCaCaS 1 1 0 01 综合练习： 1. 设数列 n a满足0 1 a且1 1 1 1 1 1nnaa （1）求 n a的通项公式 （2）设, 1 1 n a b n n 记 n k kn bS 1 ，证明：1 n S 2. 等比数列 n a的各项均为正数，且132 21 aa， 62 2 3 9aaa （1）求数列 n a的通项公式 （2）设 naaa n b 333 log.loglog 21 ，求数列 1 nb 的前 n 项和 让学习成为一种习惯！ 25 3. 已知等差数列 n a满足0 2 a, 10 86 aa. (1) 求数列 n a的通项公式及 n S （2）求数列 2 1n n a 的前 n 项和 4. 已知两个等比数列 n a， n b，满足)0( 1 aaa，1 11 ab，2 22 ab，3 33 ab （1）若, 1a求数列 n a的通项公式 （2）若数列 n a唯一，求a的值 5. 设数列 n a满足2 1 a， 12 1 23 n nn aa （1）求数列 n a的通项公式 （2）令 nn nab，求数列 n b的前 n 项和 n S 让学习成为一种习惯！ 26 7. 已知等差数列 n a满足：26,7 753 aaa， n a的前 n 项和 n S （1）求 n a及 n S （2）令 1 1 2 n n a b（Nn） ，求数列 n b前 n 项和 n T 8已知数列 n a中，3 1 a前n和1)1)(1( 2 1 nn anS 求证：数列 n a是等差数列 求数列 n a的通项公式