2014青岛数学中考试卷).pdf

1 2014年青岛市初中学生学业考试 数学试题（含答案全解全析） 第卷 (选择题, 共 24 分) 一、选择题( 本题满分24 分, 共有 8 道小题 , 每小题 3 分) 下列每小题都给出标号为A、 B、C、D的四个结论 , 其中只有一个是正确的.每小题选对得 分; 不选、选错或选出的标号超过一个的不得分. 1.-7的绝对值是 ( ) A.-7 B.7 C.-D. 2. 下列四个图形中, 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 3. 据统计 , 我国 2013 年全年完成造林面积约6 090 000公顷 .6 090 000用科学记数法可 表示为 ( ) A.6.09 × 0 6 B.6.09 × 0 4 C.609× 0 4 D.60.9 × 0 5 4. 在一个有15 万人的小镇 , 随机调查了3 000 人, 其中有 300 人看中央电视台的早间新闻. 据此 , 估计该镇看中央电视台早间新闻的约有( ) A.2.5 万人B.2 万人C.1.5 万人D.1 万人 5. 已知O1与O2的半径分别是2 和 4,O1O2=5, 则O1与O2的位置关系是 ( ) A.内含B.内切C.相交D.外切 6. 某工程队准备修建一条长1 200 m的道路 , 由于采用新的施工方式, 实际每天修建道路的 速度比原计划快20%,结果提前 2 天完成任务 . 若设原计划每天修建道路x m,则根据题意可 列方程为 ( ) A. 00 - 0 - 00 =2 B. 00 0 - 00 =2 C. 00 - 00 - 0 =2 D. 00 - 00 0 =2 7. 如图 , 将矩形 ABCD沿 EF折叠 , 使顶点 C 恰好落在AB边的中点C' 上 , 若 AB=6,BC=9,则 BF 的长为 ( ) A.4 B.3C.4.5 D.5 8. 函数 y=与 y=-kx 2+k k 0 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) 第卷( 非选择题 , 共 96 分) 二、填空题( 本题满分18 分, 共有 6 道小题 , 每小题 3 分) 9. 计算 : 0 = . 10. 某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶( 每袋茶叶的标准质量为200 g). 为了监控分 装质量 , 该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50 袋, 测得它们的实际质量分析如下: 2 平均数 (g)方差 甲分装机20016.23 乙分装机2005.84 则这两台分装机中, 分装的茶叶质量更稳定的是( 填“甲”或“乙” . 11. 如图, ABC的顶点都在方格线的交点( 格点 ) 上, 如果将 ABC绕 C点按逆时针方向旋转 90°, 那么点B的对应点B' 的坐标是. 12. 如图 ,AB 是O 的直径 ,BD,CD 分别是过O上点 B,C 的切线 , 且BDC= 0°. 连结AC, 则A的度数是°. 13. 如图 , 在等腰梯形ABCD中,AD= , BCD=60 °, 对角线CA 平分 BCD,E,F 分别是底边 AD,BC 的中点 , 连结EF.点 P 是 EF 上的任意一点, 连结PA,PB, 则PA+PB的最小值 为. 14. 如图 , 是由一些小立方块所搭几何体的三种视图, 若在所搭几何体的基础上( 不改变原 几何体中小立方块的位置), 继续添加相同的小立方块, 以搭成一个大正方体, 至少还需要 个小立方块 . 三、作图题( 本题满分4 分) 用圆规、直尺作图, 不写作法 , 但要保留作图痕迹. 15. 已知 : 线段 a, . 求作: ABC, 使AB=AC=a, B=. 四、解答题( 本题满分74 分, 共有 9 道小题 ) 16.( 本小题满分8 分, 每题 4 分) (1) 计算 : - ÷ (2) 解不等式组 : -0, - . 3 17.( 本小题满分6 分) 空气质量状况已引起全社会的广泛关注, 某市统计了2013 年每月空气质量达到良好以上 的天数 , 整理后制成如下折线统计图和扇形统计图. 根据以上信息解答下列问题: (1) 该市2013 年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是天 , 众数是 天; (2) 求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数; (3) 根据以上统计图提供的信息, 请你简要分析该市的空气质量状况( 字数不超过30 字). 18.( 本小题满分6 分) 某商场为了吸引顾客, 设立了可以自由转动的转盘( 如图 , 转盘被均匀分为20 份), 并规定 : 顾客每购买200 元的商品 ,就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止后, 指针正好对准 红色、 黄色、绿色区域, 那么顾客就可以分别获得200 元、100 元、50 元的购物券 , 凭购物 券可以在该商场继续购物. 如果顾客不愿意转转盘, 那么可以直接获得购物券30 元 . (1) 求转动一次转盘获得购物券的概率; (2) 转转盘和直接获得购物券, 你认为哪种方式对顾客更合算? 19.( 本小题满分6 分) 甲、乙两人进行赛跑,甲比乙跑得快, 现在甲让乙先跑10 米, 甲再起跑 . 图中 l1和 l2分别表 示甲、乙两人跑步的路程y(m) 与甲跑步的时间x(s) 之间的函数关系, 其中 l1的关系式为 4 y1=8x, 问甲追上乙用了多长时间? 20.( 本小题满分8 分) 如图 , 小明想测山高和索道的长度. 他在 B处仰望山顶A,测得仰角 B= °, 再往山的方向 ( 水平方向 ) 前进 80 m 至索道口C处,沿索道方向仰望山顶, 测得仰角 ACE= 9 °. (1) 求这座山的高度(小明的身高忽略不计); (2) 求索道 AC的长 ( 结果精确到0.1 m). 参考数据: a ° , °, a 9° 9 , 9° 21.( 本小题满分8 分) 已知 : 如图 , ?ABCD中,O 是 CD的中点 ,连结 AO并延长 , 交 BC的延长线于点E. (1) 求证: AOD EOC; (2) 连结 AC,DE,当B=AEB=°时 , 四边形 ACED 是正方形 ?请说明理由 . 22.( 本小题满分10 分) 某企业设计了一款工艺品, 每件的成本是50 元, 为了合理定价, 投放市场进行试销. 据市场 调查 , 销售单价是100 元时 , 每天的销售量是50 件 , 而销售单价每降低1 元,每天就可多售 5 出 5 件, 但要求销售单价不得低于成本. (1) 求出每天的销售利润y( 元) 与销售单价x( 元) 之间的函数关系式; (2) 求出销售单价为多少元时, 每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3) 如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000 元, 且每天的总成本不超过7 000 元, 那 么销售单价应控制在什么范围内?( 每天的总成本=每件的成本×每天的销售量) 23.( 本小题满分10 分) 数学问题 : 计算 + + + ( 其中 m,n 都是正整数 , 且 m , . 探究问题 : 为解决上面的数学问题, 我们运用数形结合的思想方法, 通过不断地分割一个面 积为1 的正方形 , 把数量关系和几何图形巧妙地结合起来, 并采取一般问题特殊化的策略 来进行探究 . 探究一 : 计算 + + +. 第 1 次分割 , 把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为; 第 2 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积继续二等分, 阴影部分的面积之和为+ ; 第 3 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积继续二等分, ; 第n 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积最后二等分, 所有阴影部分的面积之和为 + + +, 最后空白部分的面积是. 根据第 n 次分割图可得等式: + + +=1- . 探究二 : 计算 + + +. 第 1 次分割 , 把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为; 第 2 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积继续三等分, 阴影部分的面积之和为+ ; 第 3 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积继续三等分, ; 第n 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积最后三等分, 所有阴影部分的面积之和为 + + +, 最后空白部分的面积是. 6 根据第 n 次分割图可得等式: + + +=1- , 两边同除以2, 得 + + += -. 探究三 : 计算 + + +. ( 仿照上述方法, 只画出第n 次分割图 , 在图上标注阴影部分面积, 并写出探究过程) 解决问题 : 计算 + + + . ( 只需画出第n 次分割图 , 在图上标注阴影部分面积, 并完成以下填空) 根据第 n 次分割图可得等式: , 所以 , + + += . 拓广应用 : 计算 - + - + - + - . 24.( 本小题满分12 分) 已知 : 如图 , 菱形 ABCD 中, 对角线 AC,BD相交于点O,且 AC=12 cm,BD=16 cm.点 P从点 B出 发, 沿 BA方向匀速运动 , 速度为 1 cm/s; 同时 ,直线 EF从点 D出发 , 沿 DB方向匀速运动 , 速 度为cm/ ,EF BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F; 当直线 EF停止运动时 , 点 P也停止 运动 . 连结 PF,设运动时间为t(s)(00 时, 反比例函数y=的图象在第一、 三象限内 , 二次函数y=-kx 2+k 的图象开口向 下, 与 y 轴的交点在x 轴上方 , 选项 B符合 ; 当 k . 解不等式 , 得x30 元, 选择转转盘对顾客更合算.(6 分) 19. 解析设 l2:y2=kx+b k 0 , 根据题意 , 可得方程组 0, , 解这个方程组, 得 6, 0, 所以 y2=6x+10. 当 y1=y2时,8x=6x+10, 解这个方程 , 得 x=5. 答: 甲追上乙用了5 s.(6分) 20. 解析(1) 过点 A作 AD BE于 D, 设山 AD的高度为x m. 9 在 R ABD中, ADB=90 °, a °=, BD= a ° = x m. 在 R ACD中, ADC=90 °, a 9°=, CD= a 9 ° 9 = 9 x m. BC=BD -CD, x- 9 x=80, 解这个方程 , 得 x=180. 即山的高度为180 m.(6分) (2) 在 R ACD中, ADC=90 °, 9°=, AC= 9° 80 8 .9 m . 答: 索道 AC的长约为 282.9 m.(8分) 评析本题是解直角三角形的典型题目. 由一般三角形转化为直角三角形, 并利用三角函 数进行运算 , 关键是把实际问题转化为数学问题加以解决. 21. 证明 四边形ABCD 是平行四边形 , AD BC. D= OCE, DAO= E. 又OC=OD, AOD EOC. 分) (2) 当B=AEB= °时 , 四边形 ACED是正方形 . AOD EOC, OA=OE. 又OC=OD, 四边形ACED 是平行四边形 . B=AEB= °, AB=AE, BAE=90 °. 四边形ABCD 是平行四边形 , AB CD,AB=CD. COE= BAE=90 °. ?ACED 是菱形 . AB=AE,AB=CD, AE=CD. 菱形 ACED 是正方形 .(8分) 评析本题主要考查了四边形的特殊情况, 要充分利用好平行四边形和正方形的特殊性 质. 22. 解析(1)y=(x-50)50+5(100-x) 10 =(x-50)(-5x+550) =-5x 2+800x-27 500, y=-5x 2+800x- 00 0 x 00 . 分) (2)y=-5x 2+800x-27 500 =-5(x-80) 2+4 500, a=-50, 抛物线开口向下. 0 x 00, 对称轴是直线x=80, 当 x=80 时,y 最大值=4 500. 销售单价为80 元时 , 每天的销售利润最大, 最大销售利润为4 500 元.(6分) (3) 当 y=4 000 时 ,-5(x-80) 2+4 500=4 000, 解这个方程 , 得 x1=70,x2=90. 当 0 x90 时, 每天的销售利润不低于4 000 元. 由每天的总成本不超过7 000 元, 得 50(- x+ 0 000, 解这个不等式, 得 x8 . 8 x90. 0 x 00, 销售单价应该控制在82 元至 90 元之间 .(10分) 评析本题考查了二次函数的实际应用, 根据实际问题建立二次函数模型, 再由二次函数 的性质来解决实际问题. 23. 解析探究三 : 第 1 次分割 , 把正方形的面积四等分,其中阴影部分的面积为; 第 2 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积继续四等分, 阴影部分的面积之和为+; 第 3 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积继续四等分, ; 第n 次分割 , 把上次分割图中空白部分的面积最后四等分, 所有阴影部分的面积之和为 + +, 最后空白部分的面积是. 根据第 n 次分割图可得等式: + +=1- , 两边同除以3, 得 + + += -.(4 分) 解决问题 : - + - + - + - =1- ; - - - .(8 分) 拓广应用 : 原式 =1- +1-+1-+ - =n- =n- 11 =n- +或 - .(10分) 评析此题充分体现了数形结合的思想. 24. 解析 四边形ABCD 是菱形 , AB CD,AC BD,OA=OC=AC=6 cm,OB=OD= BD=8 cm. 在 R AOB中,AB=68 =10 cm. EF BD, FQD= COD=90 °. 又 FDQ= CDO, DFQ DCO. =. 即 0 =8, DF= t cm. 四边形APFD 是平行四边形 , AP=DF. 即 10-t=t, 解这个方程 , 得 t= 0 9 . 答: 当 t= 0 9 时, 四边形 APFD 是平行四边形.(4 分) (2) 过点 C作 CG AB于点 G, S菱形 ABCD=AB ·CG=AC ·BD, 即 0 ·CG=× × 6, CG= 8 cm. S 梯形 APFD= AP+DF ·CG = 0 - · 8 = 6 8cm 2. DFQ DCO, =. 即 8=6, QF= t cm. 同理 ,EQ= t cm. EF=QF+EQ= t cm. SEFD= EF ·QD=× × =t 2 cm2. y= 6 8- t 2=- t2+6t+48.(8 分) (3) 若 S四边形 APFES菱形 ABCD= 0, 则- t 2+6t+48= 0 ×96, 即 5t 2-8t-48=0, 解这个方程 , 得 t1=4,t 2=-( 舍去 ). 12 过点 P作 PM EF 于点 M,PN BD 于点 N, 当 t=4 时, PBN ABO, =, 即 6= 0 =8. PN= cm,BN= 6 cm. EM=EQ -MQ=3- = cm, PM=BD-BN-DQ=16- 6 -4= cm. 在 R PME中, PE= E = = 9 cm.(12分) 评析本题主要考查菱形和四边形的面积, 是动态几何的典型题目, 中考中常以压轴题目 出现 , 也是几何背景下的函数应用题.