初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题18简单的不定方程、方程组.pdf

专题 18 简单的不定方程、方程组 阅读与思考 如果方程 (组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的 方程 (组)称为不定方程(组) 对于不定方程 (组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解加上这类限制后，解可能唯一 确定，或只有有限个，或无解这类问题有以下两种基本类型： 1判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组 )常常转化为二元一次不定方程求其整数 解 解不定方程 (组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、 因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法根据方程(组 )的特点进行适当变形，并 灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路 例题与求解 【例 1】 满足 2222 19981997mn(0mn1 998)的整数对 (m，n)共有 _对 (全国初中数学联赛试题) 解题思路： 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答 【例 2】 电影票有 10 元， 15 元， 20 元三种票价，班长用500 元买了 30 张电影票，其中票价为20 元的 比票价为10 元的多 ( ) A 20 张B15 张C10 张D5 张 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 解题思路： 设购买 10 元， 15 元， 20 元的电影票分别为x，y，z张根据题意列方程组，整体求 出的zx值 【例 3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前 三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码 (湖北省武汉市竞赛试题) 解题思路： 探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手 【例 4】一个盒子里装有不多于200 粒棋子，如果每次2 粒，3 粒， 4 粒或 6 粒地取出，最终盒内都剩一 粒棋子；如果每次11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子? (重庆市竞赛试题) 解题思路： 无论怎样取， 盒子里的棋子数不变。恰当设未知数， 把问题转化为求不定方程的正整数解 【例 5】甲组同学每人有28 个核桃，乙组同学每人有30 个核桃，丙组同学每 人有 31 个核桃，三组的核桃总数是365 个问：三个小组共有多少名同学? (海峡两岸友谊赛试题) 解题思路： 根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手 【例 6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22 人，就会余下1 人；如果开 走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车 问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32 人) 解题思路： 设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，根据题意列出方程求解，注意 排除不符合题设条件的解 能力训练 A 级 1若 22 5 440 4 abab，则ab_ 2已知4360xyz，270xyz(xyz 0) ，则 222 222 236 57 xyz xyz 的值等于 _ 31998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_岁 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 4已知a，b，c为整数，且2006ab，2005ca若ab，则abc的最大值为 _ (全国初中数学竞赛试题) 5x，y都是质数，则方程1999xy共有 ( ) A1 组解B2 组解C3 组解D4 组解 (北京市竞赛试题) 6如图，在高速公路上从3 千米处开始，每隔 4 千米设一个速度限制标志，而且从10 千米处开 始每隔9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( ) A 32 千米B37 千米C55 千米D90 千米 7给出下列判断： 不定方程230xy的整数解可表示为 3 2 xt yt (t为整数 ) 不定方程245xy无整数解 不定方程231xy无整数解 其中正确的判断是( ) ABCD 8小英在邮局买了10 元的邮票， 其中面值0.10 元的邮票不少于2 枚，面值 O.20 元的邮票不少于5 枚， 面值 0.50 元的邮票不少于3 枚，面值2 元的邮票不少于1 枚，则小英最少买了( )枚邮票 A 17 B18 C19 D20 (“ 五羊杯 ” 邀请赛试题 ) 9小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12 颗，每个小盒子装5 颗，若弹子共有99 颗，所用 大小盒子多于10 个，问这两种盒子各有多少个? 10中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡问鸡翁、鸡母、 鸡雏各几何 ? (出自中国数学家张丘建的著作算经) 11已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 12已知k是满足19102010k的整数，并且使二元一次方程组 547 45 xy xyk 有整数解问：这样 的整数k有多少个？ （“ 华罗庚金杯 ” 竞赛试题 ） B 级 1如果a，b，c满足 222 2222690abcabbcc，那么 2 abc_ (“ 祖冲之杯 ” 邀请试题 ) 2已知x，y为正偶数，且 22 96x yxy，则 22 xy_ 3一个四位数与它的四个数字之和等于1 991这个四位数是_ (重庆市竞赛试题) 4城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一 种奖牌每个盒中装奖牌枚数依次是3， 6，9，14，18现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是 金牌枚数的2 倍则有金牌 _枚，银牌 _枚，铜牌 _枚 5若正整数x，y满足 22 72xy，则这样的正整数对(x，y)的个数是 ( ) A1 个B2 个C3 个D 4 个 6有甲、乙、丙3 种商品，单价均为整数，某人若购甲3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购甲4 件、 乙 10 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各1 件共需 ( )元 A 6 元B8 元C9 元D10 元 7在方程组 333 0 36 xyz xyz 中，x，y，z是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( ) A 6 B3 C多于 6 D少于 3 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 8一个两位数中间插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变 成的三位数是原来两位数的9 倍，这样的两位数有( )个 A 1 B4 C10 D超过 10 9李林在银行兑换了一张面额为l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看 倒置了 (例如，把1234 元看成了3412 元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去350 元之后， 发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元? (“ 五羊杯 ” 邀请赛试题 ) 10某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看 到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。他看到的里程碑上的数又 恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少? (“ 勤奋杯 ” 竞赛试题 ) 11已知四位数abcd满足 3333 110abcdcd，求这样的四位数 (“ 数学周报杯” 全国初中数学竞赛试题) 12求方程 1115 6xyz 的正整数解 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 )