初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27数形结合_答案.pdf
专题 27 数形结合 例 1 5 提示 :作出 B点关于 x 轴的对称点B'(2,-3)， 连结 AB'交 x 轴于 C， 则 AB'=AC 十 CB' 为 所要求的最小值. 例 2 D 提示 :设两直角边长为a， b， 斜边长为 c， 由题意得 a+b+c=x，xab 2 1 ,又 222 cba， 得 . 4 24 b b a.因 a,h 为边长且是整数.故当 , 04 , 02 b b 得 b4，要使 a,b 为整数， 只有两种取法:若 b=5 时，a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 时， a=6(或 b=6,a=8). 例 3 设 AB=x， 则 BC=2x,AC= x3 , BE=x 2 1 ,DF =DA= . 3 2 , 3 1 xBDx .在 RtAEB 中求得 AE=, 2 3 xBFx代入证明即可. 例 4 如图，作出函数xxy5 2 图象，由图象可以看出: 当 a=0 时， y=0 与xxy5 2 有且只有相异二个交点;当 4 25 0a时， y=a 与xxy5 2 图象有四个不同交点; 当 4 25 a时， y=a 与xxy5 2 图象有三 个不同交点，当 4 25 a时， y=a 与xxy5 2 图象有且只有相异二个交点. 例 5 由L c s c b s b a s a 222 ,知正数cba,适合方程. 2 L x s x当0x时， 有02 2 sLxx，故cba,是方程的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所 以cba,中的某两数必相同.设ba,若ac，由得ca ac s ac sca 211 2， 则 ac=2s=a a h，这样 ABC 就是以 B 为直角的直角三角形，ba，矛盾，故a=c，得证 . 例 6, ABCAOCBOCAOB SSSS ,34 2 1 120sin 2 1 32 1 150sin 32 1 xz y z y x 即 ,6 2 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 xz y z y x 化简得.32432zxyzxy 能力训练1.32提示 :构造含15 的 Rt ABC. 2.062，提示 :如图，分别过点A,C 作 x 轴的垂线，垂足分别 为 E, F.设 OE=a, BF=b，则 AE=a3, CF=b3，所以点A,C 的 坐 标 为.3,2,3,bbaaa ,3323 ,333 2 bab a 解 得 .36 ,3 b a 点 D 坐标为0,62. 3. 5 2 -提示 :当 R,P， Q 三点在一条直线上时，PR+RQ 有最小值 . 4.axb 5. 36提示 :由01 2 xx得 2 1xx1，则有ABOB.在 OB 上截取 OC=AB=x，又由 01 2 xx得 xx x1 1 ，即 AB OA BC AB ，则OAB ABC,AB=AC=OC. 6. C 提示 :由题所给的数据结合坐标系可得， 55 A是第 14 个正方形上的第三个顶点，位于第 一象限，所以 55 A的横纵坐标都是14. 7. A 8. B 提示：由条件, 22 babacaba即 b ca a b caab, 2 ，延长 CB 至 D， 使 BD=AB，易证 ABC DAC，得 ABC=D+BAD=2D=2BAC. 9. D 10. C 提示 :设直角三角形的两条直角边长为,baba则abkbaba 2 1 22 (kba,均为正整数 )，化简得 44 , 24 84 , 14 ,844 kb ka kb ka kbka或解得 8 , 6 , 1 4 , 3 , 2 12 , 5 , 1 b a k b a k b a k 或或即有 3组解 . 11. (1)12 2 xxy(2)过 D 作 DM EH 于 M，连结 DG, 2,DODGtDM, .222 2 tMGFG若 EF+GH=FG 成立， 则 EH= 2FG.由 EF/x 轴，设 H 为 tx , 4 ，又 E,H为 抛 物 线 上 的 两 个 点 ，,12 3 2 3txx,124 2 4 txx即 43,x x是 方 程 txx12 2 的两个不相等的实数根，txxxx1,2 4343 ， 2 43 2 4334 22222,224tttxxxxxxEH,解得 8 197 , 8 197 11 tt(舍去 ). 12.a 十 A=b+B=c 十 C=k，可看作边长为k 的正三角形，而从 2 k联想到边长为k 的正方形的 面积 .如图，将 aB+bC+cA 看作边长分别为a 与 B,b 与 C,c 与 A 的三个小矩形面积之和，将三 个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB+bC+cAk 2 . 13. AC=AG+GF+FC=16，由 AH· AI=AG· AF，得 AH (AH7)2× (2 13)，解得 AH3，从而 HI7，BI 6设 BDx，CE y，则由圆幂定理 得 CE ?CDCF ?CG BD?BEBI?BH，即 y(16x)1× 14 x(16y)6× 13 .解得 x1022 y622 .故 DE16(xy)222. 14. t 2或 3 t7 或 t8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想. 由题意知 AMQ60°， MN 2当 t2 时，圆 P与 AB 相切；当3t7 时，点 P到 AC的距离为3，圆 P与 AC相切；当t8 时，圆 P与 BC相切 15设 AD 2，DC1，作 BEAC，交 AC 于 E又设 EDx,则 BE 3x,BE EC 3x又 1 x3x, x 31 2 ,BE 33 2 , AEADED2 x 33 2 ， AB 2 AE 2BE2 （ 33 2 ） 2（ 33 2 ） 2 6，而 AD?AC6 AB2 AD?AC.故由切割线定理逆定理 知， AB是 BCD的外接圆的切线 16设 AD AB AE AC m(0m1). SABE SABC AE AC m，SABEm SABC又 SBDE SABE BD AB ABAD AB 1m， SBDE(1m)? SABE m(1 m)? SABC即 K (1m)?mS，整理得Sm 2 SmK0,由 0 得 K 1 4S . 17分以下几种情况： 若此等腰三角形以OA 为一腰，且 BAC为顶角，则AOAG 2设 C1（ x,2x） ， 则 x2（ 2x2） 222，解得 x8 5，得 C 1（ 8 5， 16 5 ） 若此等腰三角形以OA 为一腰， 且 O 为顶角顶点， 则 OC2OC3OA 2设 C2（x，2x ）, 则 x 2（ 2x ）222，解得 x 2 5 5，得 C2（ 2 5 5， 4 5 5） 又由点 C2与 C3关于原点对称，得C3（ 2 5 5， 4 5 5） 若等腰三角形以OA 为底边，则C4的纵坐标为1，其横坐标为 1 2，得 C 4 (1 2，1) 所以， 满足题意的点C有 4 个，坐标分别为：（8 5， 16 5 ）, （ 2 5 5，4 5 5）, （ 2 5 5， 4 5 5）,(1 2， 1).
