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习题 1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 3. 33,.3,3.3, ,3132.961,9124,3 1.3 ,93,3,3., ,. , , pp p qpqp qq ppkpkpkkpkk ppkkqqkqp q pp aa pa bpapb bb 证明为无理数 若不是无理数 , 则为互素自然数除尽 必除尽否则或除 将余故类似得除尽与互素矛盾. 设 是正的素数证明是无理数 设为互素自然数 , 则素 证 2. 证 1. 2 22222 2 , ., : (1)|1|3.;(2) |3|2. 0,13,22,1,( 1,0); 01,13,13,(0,1); 1,13,3/ 2,(1,3/ 2). ( 1,0)(0,1) papa apk p kpbpkbpba b xxx xxxxx xxx xxxx X 数 除尽故 除尽 类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若则 若则 若则 3. 解 (1) 222 (1,3/ 2). (2)232,15,1 |5,1 |5,(1,5)(5,1). ,(1)| |;(2)| 1,| | 1. (1)| |()| | |,| |. (2) | |()| | | xxxxx a babababab aabbabbabbabab ababbabb 设为任意实数证明设证明 证 4., | 1. (1)|6 | 0.1;(2) |. 60.160.1.5.96.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1,1.11 n n nn xxal xxxxX lXalallxalX a aan n aabaa 解下列不等式 或或 若若若 若证明其中 为自然数 若显然 解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 (1)(1)(1). ( , ),( , ). 1/10. |.( , ),|, 10 |./10 ,(1)/10, /10(1)/101/10 nnnn n nnn nn nnn abbna a ba b nba m A AmAa bABC BAx xb CAx xa BmmC bamm Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数 取自然数 满足考虑有理数集合 =若则 中有最小数 -= 证 7. ( , ),( , ). 1/10.2|. 10 n n n n a ba b m nbaAmZ , 此与 的选取矛盾 . 设为任意一个开区间证明中必有无理数 取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 习题 1.2 642 6 6426426 666 13.1(1,) ( 1)( 1)11 1(1). 1121 13.(,). 1 3 | 13,| 1,3, 11 |3,(,). yxx xxxx yxxx xxxx xxx y x xxxxxxx xx xxx yyx 证明函数在内是有界函数. 研究函数在内是否有界 时,时 证 解 习题 1.4 22 1.- (1) lim(0);(2)lim;(3) lim;(4) lim coscos. |-|-|-| 1)0,|, | ,|.,|,|,lim. (2)0 xa xaxaxaxa xa xa axaeexa xaxaxa xa xaxaa xa xaaaxaxaxa a 直接用说法证明下列各极限等式: 要使由于 只需取则当时故 证( 22 2222 ,|1.| |, | | 2|1| 2|, 1| 2|) |,|.min,1,|, 1| 2|1| 2| |,lim (3)0,.|(1),01),1 xa xaaxaxa a xaxaxaxa xaxaaa axaxaxa aa xaxa xaeeeee e 不妨设要使由于 只需(取则当时 故 设要使即( . 1, 0ln1,min,1,0,|, 1| 2| limlimlim 0,| coscos|2 sinsin2 sinsin|, 2222 ,|,| coscos xa a xa a xaxaxa xaxaxa e e xaxaee ea eeeeee xaxaxaxa xaxa xaxa 取则当时 故类似证故 要使 取则当|时 . (4) 2 0 |,lim coscos. 2.lim(),(,)(,),() . 1,0,0|-|,|()|1, |() | |()| |()|1|. (1)1 (1) limlim 2 xa xa xx xa fxlaaaa aufx xafxl fxfxllfxlllM x x 故 设证明存在的一个空心邻域使得函数在 该邻域内使有界函数 对于存在使得当 时从而 求下列极限 证 3.: 2 00 2 2 2 22 000 00 2 2 1 2 2 0 2 lim(1)1. 22 2sinsin 1cos111 22 (2) limlimlim1. 222 2 1 (3) limlim(0). ()2 22 (4) lim. 2233 2 (5) lim 22 x xxx xx x x xxx x xx x x xx xaax a xxxaaa xx xx xx xx 2 . 33 201030 3030 00 22 322 111 2 1 (23)(22)2 (6) lim1. (21)2 112 (7)limlim1. ( 11) 131 32 (8) limlimlim 11(1)(1)(1)(1) (1)(2) limlim (1)(1) x xx xxx xx xx x xxx x xxx xxxx xxxxxxxx xx xxx 2 1 44 4 2 100 (2)3 1. (1)3 123( 123)(2)( 123) (9)limlim 2(2)(2)( 123) (28)(2)2 44 lim. 63(4)( 123) (1) 1(1)1 2 (10)limlimlim. 1 (11)lim xx x n nn xyy x x xx xxxx xxxx xx xx n n nyyy xy n xyy x 22 22 1 01 1 0 01 00 1 01 001 01 4 2 2 11lim0. 11 (12)lim(0). /, (13)lim(0)0, ,. 818 (14) limlim 1 x mm mm n nn x nn mm m nn x n xx x xx a xa xaa b b xb xbb ab mn a xa xa a bnm b xb xb mn x x 4 2 / 1. 1 1/ x x 33 2 0 22 333333 22 02 3333 22 0 3333 22 0 3333 1312 (15)lim ( 1312 )(13131212) lim ()(13131212) 5 lim (1)( 13131212) 55 lim. 3 (1)(13131212) (16)0, l x x x x xx xx xxxxxx xxxxxx x xxxxxx xxxxx a 222200 0 1 imlim ()()1 lim () xaxa xa xaxaxa xa xaxa xaxa xaxaxaxa 0 0 ()1 lim () 11 lim. ()2 xa xa xa xaxaxaxa xa xaxaxaa 000 222 2 00 000 sin1 4.lim1lim 1 sinsin (1)limlimlim cos. tansin sin(2)sin(2)2 (2)limlimlim1 00 323 tan3sin2tan3sin2 (3)limlimlim sin5sin5 x xx xxx xxx xxx x e xx xx x xx xxx xxx xxx xx 利用及求下列极限: 00 () 1/ 0 321 . sin5555 (4) limlim2. 1cos 2sin 2 cossin sinsin 22 (5)limlimcos . 2 (6)lim 1lim 1lim 1. (7)lim(15 ) xx xaxa k xx xk kk k xxx y y x x xx x x xaxa xa a xa xa kkk e xxx y 5 1/(5)5 0 100 100 lim(15 ). 111 (8)lim 1lim 1lim 1. 5.lim( )lim( ). lim( ):0,0,0 |-|( ). lim( y y xx xxx xax xa x ye e xxx f xf x f xAx af xA f x 给出及的严格定义 对于任意给定的存在使得当时 ):0,0,( ).Axf xA对于任意给定的存在使得当时 习题 1.5 2 22 222 22 2222 1. (1) 10 (2)sin 5. (1)0,| 110 |., 1111 ,|,| 110 |,10 555() (2)(1)0,|sin5sin5 | 2|cos|sin|. 22 xx xxa xx xx xx xxxxxx xaxa xa 试用说法证明 在连续 在任意一点连续 要使由于只需 取则当时有故在连续. 要使 由于 证 000 000 555() 2|cos|sin| 5|,5|,|, 225 ,|sin5sin5 |,sin5 5 ( )()0,0|( )0. ( ),()/ 2,0| ( xaxa xaxaxa xaxaxxa yf xxf xxxf x f xxf xxx f x 只需 取则当时有故在任意一点连续. 2. 设在 处连续且证明存在使得当时 由于在处连续 对于存在存在使得当时证 00000 000 0000 )()|() /2,( )()()/2()/ 20. 3.( )( , ),|( )|( , ),? ( , ),.0,0| |( )() |,|( )|() | |( )() |,|. f xf xf xf xf xf x f xa bf xa b xa bfxxx f xf xf xf xf xf xfx 于是 设在上连续 证明在上也连续 并且问其逆命题是否成立 任取在连续 任给存在使得当时 此时故在连续 其 证 2 2 000 1, ,( ),( ) | 1 1, ln(1),1, 1,0, (1) ( )(2) ( ) arccos,1. 0; lim( )lim11(0), lim( )(0) xxx x f xf x x a xx xx f xf x ax x axx f xxff xf 逆命题 是有理数 不真 例如处处不连续 但是|处处连续. 是无理数 4. 适当地选取, 使下列函数处处连续 : 解(1) 0 1111 2 2 sin2 lim sin3 0 1. (2) lim( )lim ln(1)ln2(1),lim( )limarccos(1)ln2, ln 2. 5.3: 11 (1)lim coscos limcos01. (2)lim2 . (3)lim x xxxx xx x x x x x a f xxff xaxaf a xxxx xx x ee 利用初等函数的连续性及定理求下列极限 sin22 sin33 44 22 . 88 (4) lim arctanarctanlimarctan1. 114 x x xx e xx xx