高中数学第二章点2.3.1直线与平面垂直的判定优化练习新人教A版必修6.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课时作业 A 组基础巩固 1如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径； 正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是( ) ABCD 解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两直线有可能平行 答案： A 2.如图，BC是 RtABC的斜边，过A作ABC所在平面的垂线AP， 连接PB、PC，过A作ADBC于D，连接PD，那么图中直角三角形 的个数是 ( ) A5 B6 C7 D8 解析：题图中直角三角形有ABC，ADC，ADB，PAD，PAC，PAB，PDC， PDB. 答案： D 3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO平面ABCD， O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( ) A75°B60° C45°D30° 解析：SO平面ABCD，则SAC就是侧棱与底面所成的角，在RtSAO中，SA2，AO 2，SAO45°. 答案： C 4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 ( ) A垂直且相交 B相交但不一定垂直 C垂直但不相交 D不垂直也不相交 解析：取BD中点O，连接AO，CO， 则BDAO，BDCO， BD面AOC， BDAC，又BD、AC异面，选C. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： C 5已知P是ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等， 且点P在ABC 上的射影O在ABC内，则O一定是ABC的( ) A内心B外心C重心D中心 解析：如图所示，过点P作PDAB，PEAC，PFBC，分别交AB、 AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、 OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO平面ABC，所以PD PEPF，POPOPO，又因为PODPOEPOF90°，所 以ODOEOF，因为POAB，PDAB，且PDPOP.所以AB平面POD，所以 ABOD.同理可证得OFBC，OEAC.又因为ODOEOF，所以点O到三角形三边的 距离相等，故点O为ABC的内心，故选A. 答案： A 6在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC，M是AB 的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是_ 解析：画出三棱锥(图略 )，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解，易知 tanOMC OC OM 1 2 2 2. 答案：2 7已知a，b，c是三条直线，是平面若ca，cb，a?，b?，且 _(填上一个 条件即可 )，则有c. 解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c，需c垂直平面内的两条相交直线 答案：abA 8.如图所示，在正三棱锥A-BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF CF，则直线BD与平面ACD所成的角为 _ 解析：因为三棱锥A-BCD为正三棱锥，所以可证ABCD.又EFCF， 所以ABCF，所以AB平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的 角为BDA45° . 答案： 45° 9.如图，在ABC中，B90°，SA平面ABC，点A在SB和SC上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的射影分别为N、M. 求证：MNSC. 证明：SA平面ABC，BC? 平面ABC，SABC. B90°，即ABBC，ABSAA， BC平面SAB. AN? 平面SAB，BCAN. 又ANSB，SBBCB，AN平面SBC. SC? 平面SBC.ANSC. 又AMSC，AMANA，SC平面AMN. MN? 平面AMN，SCMN. 10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面 圆周上一点，且ABBC2，CBD45°. (1)求证：CD平面ABC； (2)求直线BD与平面ACD所成角的大小 解析： (1)证明：BD是底面圆的直径， CDBC.又AB平面BCD，CD? 平面BCD， ABCD.ABBCC，CD平面ABC. (2)取AC的中点E，连接DE(图略 )，由 (1)知BECD，又E是AC的中点，ABBC2， ABC90°， BEAC，BE面ACD， 直线BD与面ACD所成的角为BDE. 而BE面ACD，则BEED， 即BED为直角三角形 又ABBC2，CBD45°，则BD22，BE2， sinBDE BE BD 1 2， BDE 30°. B 组能力提升 1.如图所示，在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是 正方形ABCD的中心 )中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及 其边界上运动，并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与SCD组 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 成的相关图形最有可能是图中的( ) 解析：如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO， 取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG， 因为E，F分别是BC，SC的中点， 所以EFSB，EF? 平面SBD，SB? 平面SBD， 所以EF平面SBD，同理可证EG平面SBD. 又EFEGE，所以平面EFG平面SBD， 由题意得SO平面ABCD，ACSO， 因为ACBD， 又SOBDO， 所以AC平面SBD， 所以AC平面EFG，所以ACGF，所以点P在直线GF上 答案： A 2如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所 在棱的中点，能得出l平面MNP的图形的序号是_ (写出所有符合要求的图形的 序号 ) 解析： 按照线面垂直的判定定理判断，关键是在平面MNP内找到两条与l垂直的相交直线 答案： 3.如图所示，ACB90°，平面ABC外有一点P，PC4 cm，PF，PE 垂直于BC，AC于点F，E，且PFPE23 cm，那么PC与平面ABC 所成角的大小为_ 解析：过P作PO垂直于平面ABC于O，连接CO，则CO为ACB 的平分线连接OF，可证明CFO为直角三角形，CO22， RtPCO中， cosPCO 2 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PCO45°. 答案： 45° 4.如图所示， 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形 已知AD2，PA 2，PD22，求证：AD平面PAB. 证明：在PAD中，由题设PA2，AD 2，PD22，可得PA2AD 2 PD2，于是ADPA.在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA， 所以AD平面PAB. 5.如图所示，已知RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为 斜边AC上的中点 (1)求证：SD平面ABC. (2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 证明： (1)因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC. 连接BD，在 RtABC中，有ADDCDB， 所以SDBSDA，所以SDBSDA， 所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC. (2)因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC. 又由 (1)知SDBD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD平面SAC.