高中数学第一章集合1.2.1集合之间的关系学案新人教B版必修60.pdf
积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.1 集合之间的关系 1理解集合之间的包含与相等的含义(重点 ) 2能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系(难点、易混点 ) 3在具体情境中，了解空集的含义并会应用(难点 ) 基础·初探 教材整理 1 子集与真子集 阅读教材 P10P11“例 1”以上部分内容，完成下列问题 1子集与真子集 定义符号语言 图形语言 (Venn 图) 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素， 那么集合A叫做集合B的子集 A?B(或B? A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一 个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子 集 AB(或 BA) 2.子集的性质 (1)规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合A，都有 ? ?A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A. (3)如果A?B，B?C， ，则A?C. (4)如果AB，BC，则AC. 判断 (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)0 是 ? .( ) (2)正整数集是自然数集的子集( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)空集是任何集合的子集( ) 【解析】(1)集合 0 是以 0 为元素的集合，是非空集合，故(1)错； (2)对任意xN，都有xN， N? N ，故 (2)正确； (3)空集不是空集的真子集，但是空集的子集， (3)对 【答案】(1)×(2)(3) 教材整理 2 集合的相等 阅读教材 P11“集合的相等”P13“思考与讨论”以上的内容，完成下列问题 1集合相等 定义符号语言 图形语言 (Venn 图) 集合相 等 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反 过来， 集合B的每一个元素也都是集合A的元素， 那么就说集合A等于集合B AB 2.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则AB；反之，如果AB，则A?B，且B?A. 设集合Ax，y，B 0，x 2，若 AB，则 2xy等于 ( ) A 0 B1 C2 D 1 【解析】由元素的互异性知x0， xx 2， y0 ? x1， y0， 2xy 2. 【答案】C 教材整理 3 集合关系与其特征性质之间的关系 阅读教材 P12“思考与讨论”以下P13“第一行”内容，完成下列问题 1一般地，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，如果A?B，则xA?xB.于是x具有性 质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“? ”是“推出”的意思 2如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”都是正确的命题，这时我们常说，一个 命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“? ”表示于是，上述两个正确的互 逆命题可表示为p(x)?q(x)显然，如果p(x)?q(x)，则AB；反之，如果AB，则p(x)? q(x) 已知集合M 1,2,3,4,5，N1,5 ，则有 ( ) ANMBNM CNMDNM 【解析】由题意知N中任意元素都是M中的元素，且M中存在不属于N的元素， 所以NM. 【答案】B 小组合作型 子集、真子集问题 (1)下列命题中正确的有_(写出全部正确的序号). 2,4,6 ? 2,3,4,5,6； 菱形 ? 矩形 ； x|x20? 0 ； (0,1) ? 0,1 ； 1 0,1,2 ； x|x1x|x2 (2)已知集合A x|x3k，kZ，Bx|x6k，kZ，则A与B之间最适合的关系 是( ) AA?BBA?B CABDAB 【精彩点拨】利用子集、真子集的定义进行判断 【自主解答】(1)根据子集的定义，显然正确；中只有正方形才既是菱形，也是 矩形，其他的菱形不是矩形；中集合x|x 20 中的元素只有一个“ 0” ，因此是集合 0 的 子集；中 (0,1) 的元素是有序实数对，而0,1 是数集，元素不同；中两个集合之间使用 了“”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间； 中两集合的关系应该是x|x1x|x2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因此正确的是、，错误的是、. (2)因为A中元素是3 的整数倍，而B的元素是3 的偶数倍，所以集合B是集合A的真 子集，故选D. 【答案】(1)(2)D 1判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 判断一个集合A中的元素是否全部属于另一个集合B，若是，则A?B， 否则A不是B的子集 (2)数形结合判断利用数轴或Venn 图判断 2写有限集合的子集时，要注意两个特殊的子集? 和自身，按照元素个数分类写出， 避免重复或遗漏 再练一题 1写出满足条件?M0,1,2 的所有集合M. 【解】?M0,1,2 ，M中元素个数为1 或 2. 当M中只有 1 个元素时，可以是0 ，1 ， 2 ； 当M中只有 2 个元素时，可以是0,1 ， 0,2 ，1,2 所求集合M可以是 0 ，1 ，2 ， 0,1 ，0,2 ，1,2 ，共有 6 个. 集合的相等及应用 集合 1，a， b a 0，a2，ab，则a 2 016 b2 015的值为 ( ) A 0 B1 C 1 D± 1 【精彩点拨】根据集合相等的定义求出字母a与b的值， 注意集合中元素互异性的应 用 【自主解答】 1，a， b a 0，a 2， ab ，又a0， b a0， b0.a 21， a± 1. 又a 1，a 1，a 2 016b2 015 (1) 2 01602 015 1. 【答案】B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1若两集合相等，则集合中的元素完全相同 2本题以“ 0”为着眼点， b a中 a不为 0为突破口进行解题 3解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a1 舍去 ) 再练一题 2设A4，a，B2，ab ，若AB，则ab_. 【解析】因为A4，a，B2，ab ，AB，所以 4ab， a2， 解得a2，b2，所 以ab4. 【答案】4 探究共研型 由集合间的关系求参数 探究 1 设集合A1,2 ，若B?A，则集合B可能是什么？设集合A1,2,3 ，若B ?A，则集合B共有几个？设集合A1,2,3，n，若B?A，则集合B共有几个？ 【提示】? ，1 ，2 ，1,2 ；8 个； 2 n 个 探究 2 “空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？ 【提示】正确 探究 3 设集合A x|ax10，Bx|ax 2x1 0， Cx|a1 1 4时，集合 B 是空集，当a1 时，集合C是空集 已知集合Ax| 3x4，Bx|2m1xm1，且B?A.求实数m的 取值范围 【精彩点拨】讨论集合B 列不等式组 求m的取值范围 【自主解答】B?A， (1)当B? 时，m 12m1，解得m2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)当B? 时，有 32m1， m14， 2m1m1， 解得 1m2， 综上得m 1. 1解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴表示所给集合，然后列出不等式(组)， 解端点之间的大小关系，求出参数的取值范围 2列不等式 (组)时要根据具体的题目条件确定不等号中是否含有“等号” 3对集合B分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对B? 的讨论 再练一题 3 已知集合Px|x21， 集合Qx|ax1， 若Q?P， 那么a的取值集合是 _. 【导学号： 60210009】 【解析】由题意得P1,1， 又因为Q?P， 若Q? ，则a0，此时满足Q?P， 若Q? ，则Qx x 1 a ，由题意知， 1 a 1 或 1 a 1，解得a± 1.综上可知，a 的取值是0，± 1. 【答案】1,0,1 1集合A 1,0,1，A的子集中含有元素0 的子集共有 ( ) A 2个B4 个 C6 个D8 个 【解析】根据题意，在集合A的子集中，含有元素0 的子集有 0 、0,1 、0，1、 1,0,1四个，故选B. 【答案】B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2已知集合Mx| 5x3，xZ，则下列集合是集合M的子集的为 ( ) AP 3,0,1 BQ 1,0,1,2 CRy| y1，yZ DSx|x| 3，xN 【解析】集合M 2，1,0,1，集合R 3， 2，集合S0,1 ，不难发现集 合P中的元素 3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素 3?M，而集合S0,1 中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M.故选 D. 【答案】D 3 00 ， ?0 ， 0,1 ? (0,1) ， (a，b) (b，a)上面关系中正确 的个数为 ( ) A 1 B2 C3 D4 【解析】正确， 0 是集合 0 的元素；正确，? 是任何非空集合的真子集；错 误，集合 0,1 含两个元素0,1，而(0,1) 含一个元素点 (0,1)，所以这两个集合没关系；错误， 集合 (a，b)含一个元素点 (a，b)，集合 (b，a)含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以 集合不相等故选B. 【答案】B 4设集合Ax|1x2 ，Bx|xa，若A?B，则a的取值范围是 ( ) A a|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a 2 【解析】由Ax|1x2 ，Bx|xa ，A?B，则 a|a2 【答案】D 5已知集合A(x，y)|xy2，x，yN ，试写出A的所有子集 . 【解】因为A(x，y)|xy2，x，yN， 所以A(0,2)，(1,1)，(2,0) 所以A的子集有： ? ，(0,2) ，(1,1) ，(2,0) ，(0,2)，(1,1)， (0,2)，(2,0)，(1,1)， (2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)
