人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十五2.3.1抛物线及其标准方程精讲优练课型Word版含答案.pdf

温馨提示： 此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word文档返回原板块。 人教 A版高中数学选修1-1 课时提升作业十五 2.3.1 抛物线及其标准方程 精讲优练课型 Word 版含答案 课时提升作业十五 抛物线及其标准方程 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分) 1. (2019·日照高二检测) 抛物线 y=4x 2 的焦点坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) C.D. 【解析】选C.由 y=4x 2 得 x 2= y, 所以抛物线焦点在y 轴正半轴上且2p= , 所以 p= , 所以焦点为. 【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式, 认为 2p=4 而出错 . 2. (2019·四川高考 ) 抛物线 y 2 =4x 的焦点坐标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 【解题指南】根据抛物线的标准方程求解. 【解析】选D.由题意 ,y 2=4x 的焦点坐标为 (1,0). 【补偿训练】在平面直角坐标系内, 到点 (1,1)和直线x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是 ( ) A.直线B.抛物线 C.圆D.双曲线 【解析】选A.因为点 (1,1) 在直线 x+2y=3 上, 故所求点的轨迹是过点(1,1) 且与直线x+2y=3 垂直的直线 . 3. 以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆x 2+y2-2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方程是 ( ) A.y=-3x 2 B.y 2=9x C.y 2=-9x 或 y=3x2 D.y=-3x 2 或 y 2=9x 【解析】选 D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x 轴上时设抛物线的方程是y 2=ax, 将(1,-3) 代入得 a=9, 所以方程为y 2=9x, 当焦点在 y 轴上时设抛物线的方程是x 2=ay, 将(1,-3) 代入得 a=-, 所以方程为y=-3x 2. 4.(2019 ·成都高二检测) 抛物线 y 2 =4x 的焦点到双曲线x 2- =1 的渐近线的距离是( ) A.B.C.1 D. 【解题指南】 先求得抛物线的焦点坐标, 然后求得双曲线的渐近线方程, 利用点到直线的距离 公式进行求解即可. 【解析】选B.抛物线 y 2=4x 的焦点是 (1,0), 双曲线 x 2- =1 的一条渐近线方程为x-y=0, 根据点到直线的距离公式可得d=. 【补偿训练】抛物线y 2=8x 的焦点到直线 x-y=0 的距离是( ) A.2B.2 C.D.1 【解析】选D.抛物线 y 2=8x 的焦点为 (2,0), 根据点到直线的距离公式可得d=1. 5.(2019 · 肇庆高二检测) 已知 M是抛物线y 2=2px(p0) 上的点 , 若 M到此抛物线的准线和对称 轴的距离分别为5 和 4, 则点 M的横坐标为( ) A.1 B.1 或 4 C.1 或 5 D.4 或 5 【解析】选B.因为点 M到对称轴的距离为4, 所以点 M的坐标可设为 (x,4)或(x,-4), 又因为 M到准线的距离为5, 所以解得或 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 15 分) 6.(2019 ·浙江高考) 若抛物线y 2=4x 上的点 M 到焦点的距离为10, 则 M 到y 轴的距离 是. 【解题指南】根据抛物线的定义求解. 【解析】 xM+1=10? xM=9. 答案 :9 7.(2019 ·烟台高二检测) 已知抛物线y 2=2px(p0) 的准线与圆 (x-3)2+y2=16 相切 , 则 p 的值 为. 【解析】 由抛物线方程y 2=2px(p0), 得其准线方程为 x=-. 又圆的方程为 (x-3) 2+y2=16, 所以 圆心为 (3,0),半径为 4. 依题意 , 得 3-=4, 解得 p=2. 答案 :2 8.(2019 · 西安高二检测) 如图是抛物线形拱桥,当水面在l时, 拱顶离水面2 米, 水面宽 4 米, 水位下降1 米后 , 水面宽米. 【解题指南】建立平面直角坐标系, 求出抛物线方程, 根据方程求解. 【解析】以抛物线的顶点为原点, 对称轴为y 轴建立直角坐标系. 设抛物线方程为 x 2=-2py(p0), 则点 (2,-2)在抛物线上 , 代入可得 p=1, 抛物线方程为x 2=-2y. 当 y=-3 时,x2=6, 所以水面宽为2米. 答案 :2 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 9. 根据下列条件求抛物线的标准方程. (1) 抛物线的焦点是双曲线16x 2-9y2=144 的左顶点 . (2) 抛物线的焦点F在 x 轴上 , 直线 y=-3 与抛物线交于点A,|AF|=5. 【解析】 (1) 双曲线方程化为-=1, 左顶点为 (-3,0). 由题意设抛物线方程为 y 2=-2px(p0) 且 =-3, 所以 p=6, 所以方程为y 2=-12x. (2) 设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为 y 2=2px(p 0),A 点坐标为 (m,-3). 由抛物线定义得5=|AF|=|m+|. 又(-3) 2=2pm, 所以 p=±1 或 p=±9, 故所求抛物线方程为y 2=± 2x 或 y2=±18x. 10. 如图所示 , 花坛水池中央有一喷泉, 水管 O P=1m,水从喷头P 喷出后呈抛物线状,先向上 至最高点后落下, 若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多 少米 ?( 精确到 1m) 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x 2=-2py(p0). 依题意有P(1,-1)在此抛物线上, 代入得 p= . 故得抛物线方程为x 2=-y. 点 B在抛物线上 , 将 B(x,-2)代入抛物线方程得x=, 即|AB|=, 则|AB|+1=+1, 因此所求水池的直径为2(1+)m, 约为 5m, 即水池的直径至少应设计为5m. 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 1.(2019 ·厦门高二检测) 抛物线 y 2=mx的焦点为 F, 点 P(2,2 ) 在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点 , 则点 M到该抛物线准线的距离为( ) A.1 B.C.2 D. 【解析】选D.因为点 P(2,2) 在抛物线上 , 所以 (2) 2=2m, 所以 m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2, 所以 M到抛物线准线的距离 为 d= . 2.(2015 · 全国卷 ) 已知椭圆E的中心为坐标原点, 离心率为,E 的右焦点与抛物线C:y 2=8x 的焦点重合 , 点 A,B 是 C的准线与E的两个交点 , 则= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】选B.设椭圆 E 的方程为+=1(ab0), 右焦点为 (c,0),依题意得解得 a=4, 由 b 2=a2-c2=16-4=12, 所以椭圆 E的方程为 +=1, 因为抛物线C:y 2=8x 的准线为 x=-2, 将 x=-2 代入到+=1, 解得 y=±3, 所以 A(-2,3),B(-2,-3),故=6. 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 3.(2015 ·陕西高考) 若抛物线y 2=2px(p0) 的准线经过双曲线 x 2-y2 =1 的一个焦点, 则 p= . 【解题指南】 利用抛物线和双曲线的简单性质, 以及抛物线方程y 2=2px 中 p 的意义可以求解 . 【解析】双曲线 x 2-y2=1 的左焦点为 (- ,0), 故抛物线y 2=2px 的准线为 x=- , 所以=, 所以 p=2. 答案 :2 4.(2019 · 南昌高二检测 ) 抛物线 x 2=2py(p0) 的焦点为 F, 其准线与双曲线 -=1相交于 A,B 两点 , 若 ABF为等边三角形, 则 p= . 【解题指南】 A,B,F 三点坐标都能与p 建立起联系 , 分析可知 ABF的高为 p, 可构造 p 的方 程解决 . 【解析】由题意知,ABF 的高为p, 将 y=-代入双曲线方程得A,B 两点的横坐标为x=± , 因为 ABF为等边三角形 , 所以=tan60 °, 从而解得p 2=36, 即 p=6. 答案 :6 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 5. 一辆卡车高3m,宽 1.6m, 欲通过断面为抛物线型的隧道, 已知拱口宽恰好是拱高的4 倍, 若 拱口宽为am,求使卡车通过的a 的最小整数值. 【解析】以隧道顶点为原点, 拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系, 如图所示 , 则 B 点 的坐标为, 设隧道所在抛物线方程为x 2=my,则 =m ·, 所以 m=-a, 即抛物线方程为x 2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程, 得 0.8 2=-ay, 即 y=-. 欲使卡车通过隧道,应有 y-3, 即-3, 由于 a0, 得上述不等式的解为a12.21, 所以 a 应取 13. 6. 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点 F在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C上的两个动点 (AB 不垂直于 x 轴), 且|AF|+|BF|=8,线段 AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程. 【解析】设抛物线的方程为y 2=2px(p0), 则其准线为x=-. 设 A(x1,y1),B(x 2,y2), 因为 |AF|+|BF|=8, 所以 x1+ +x2+ =8, 即 x1+x2=8-p. 因为 Q(6,0) 在线段 AB的垂直平分线上, 所以 |QA|=|QB|, 即 =, 又=2px1,=2px2, 所以 (x1-x2)(x 1+x2-12+2p)=0, 因为 AB与 x 轴不垂直 , 所以 x1x2. 故 x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即 p=4. 从而抛物线的方程为y 2=8x. 关闭 Word 文档返回原板块