高考数学填空题压轴题精选3.pdf

第1页 (共17页) 江苏高考压轴题精选 1. 如图为函数( )(01)f xxx的图象，其在点( )M tf t，lly处的切线为， 与轴和直线1y分别 交于点 P、Q，点 N（0，1） ，若PQN 的面积为b 时的点 M 恰好有两个，则 b 的取值范围为 . 解： 2. 已知 A： 22 1xy， B: 22 (3)(4)4xy，P 是平面内一动点，过 P 作A、B 的 切线，切点分别为D、E，若PEPD，则 P 到坐标原点距离的最小值为 . 解：设)(yxP，因为PEPD，所以 22 PDPE，即14)4()3( 2222 yxyx，整 理得：01143yx，这说明符合题意的点P 在直线01143yx上，所以点)(yxP，到 坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143yx的距离，为 5 11 3. 等差数列 n a各项均为正整数， 1 3a，前n项和为 n S，等比数列 n b中， 1 1b，且 22 64b S， n b 是公比为64 的等比数列求 n a与 n b； 解： 设 n a的公差为d， n b的公比为q，则d为正整数， 3(1) n and， 1n n bq 依题意有 1 3 6 3 (1) 22 642 (6)64 n n nd ad nd a b q q bq S bd q 由(6)64d q知q为正有理数，故d为6的因子 1，2，3，6 之一， 解得2,8dq故 1 32(1)21,8 n nn annb 4. 在ABC中，2BCACAB （1）求 22 ACAB的值； y x O P M Q N 第2页 (共17页) （2）求ABC面积的最大值 解： （1）因为| |2BCACAB uuu ruuu ruuu r ，所以42 22 ABABACAC， 又因为2AB AC uuu r uuu r ，所以 22 8ABAC uuu ruuu r ； （2）设|ABcACbBCa uuu ruuu ruuu r ，由（ 1）知8 22 cb，2a， 又因为 bcbcbc acb A 2 2 28 2 cos 222 ， 所以AbcAbcS ABC 2 cos1 2 1 sin 2 1 = 22 2222 4 2 1 cb cbcb34) 2 ( 2 1 2 22 cb ， 当且仅当cba时取 “=”，所以ABC的面积最大值为3 5. 设等差数列 n a的公差为d，0d，数列 n b是公比为q等比数列，且 11 0ba （1）若 33 ab， 75 ab，探究使得 nm ab成立时nm与的关系； （2）若 22 ab，求证：当2n时， nn ba. 解： 记aba 11 ，则 1 ,)1( m mn aqbdnaa，1分 （1）由已知得 2 4 2 6 adaq adaq ， ， 消去d得 42 32aqaqa， 又因为0a，所以023 24 qq，所以21 22 qq或，5 分 若1 2 q ，则0d，舍去； 6 分 若2 2 q，则 2 a d，因此 1 2 )1( m mn aq a naba 1 2 1 1 m q n ， 所以12 2 1m n（m是正奇数）时， mn ba；8 分 （2）证明：因为0, 0 ad，所以11 1 2 1 2 a d a da a a b b q，11分 2n时， 1 ) 1( n nn aqdnaba=dnqa n )1()1( 1 =dnqqqqa n ) 1()1)(1( 22 dnnqa) 1() 1)(1(=0)(1()1() 1( 22 bandqan 所以，当 nn ban时，2. 16 分 6. 已知圆 O： 22 1xy，O 为坐标原点 （1）边长为2的正方形ABCD 的顶点 A、B 均在圆 O 上，C、D 在圆 O 外，当点 A 在圆 O 上运 动时，C 点的轨迹为E （）求轨迹E 的方程； （）过轨迹E 上一定点 00 (,)P xy作相互垂直的两条直线 12 ,ll，并且使它们分别与圆O、轨迹 E 相交，设 1 l被圆 O 截得的弦长为a，设 2 l被轨迹 E 截得的弦长为b，求ab的最大值 （2）正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，求线段 OC 长度的最值 O D C B A y x 1 1 1 1 第3页 (共17页) 解： （1） （）连结OB，OA，因为 OA=OB=1，AB=2，所以 222 ABOBOA， 所以 4 OBA，所以 3 4 OBC，在OBC中，52 222 BCOBBCOBOC， 所以轨迹E 是以 O 为圆心，5为半径的圆， 所以轨迹E 的方程为5 22 yx ； （）设点O 到直线 12 ll，的距离分别为 12 dd， 因为 21 ll，所以 22222 1200 5ddOPxy， 则 2 2 2 1 5212ddba， 则)5)(1(2)(64)( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ddddba 4 2 6 2)(6 2 2 2 1 2 2 2 1 dd dd= 22 12 4122()dd =4(12 10)8， 当且仅当 22 12 22 12 5, 15, dd dd ，即 2 2 2 1 9 , 2 1 , 2 d d 时取 “=”， 所以ba的最大值为2 2； （2）设正方形边长为a，OBA，则cos 2 a ，0, 2 当 A、B、C、 D 按顺时针方向时，如图所示，在OBC中， 22 12 cos 2 aaOC ， 即 2 (2cos)12 2cossinOC 2 4cos12sin 2 2cos 22sin 232 2sin 23 4 ， 由2, 444 ，此时(1,21OC； 当 A、B、C、 D 按逆时针方向时，在OBC中， 22 12 cos 2 aaOC， 即 2 (2cos)12 2cossinOC 2 4cos12sin 2 2cos 22sin 232 2sin 23 4 ， 由2, 444 ，此时21,5)OC， 综上所述，线段 OC 长度的最小值为21，最大值为21 x O D B A 1 1 1 1 C y x O D B A 1 1 1 1 C y 第4页 (共17页) 7. 已知函数( )1ln()f xxax aR. （1）若曲线( )yf x在1x处的切线的方程为330xy，求实数a的值； （2）求证：0)(xf恒成立的充要条件是1a； （3）若0a，且对任意1 ,0, 21 xx，都有 12 12 11 |()()|4 |f xf x xx ，求实数a的取值范围 . 第5页 (共17页) 另解：04 2 axx在1 ,0x上恒成立，设4)( 2 axxxg，只需 0, 3 0 041) 1( 04)0( a a ag g . 8. 已知函数 2 ( )3,( )2f xmxg xxxm. （1）求证：函数( )( )f xg x必有零点； （2）设函数( )G x( )( )1f xg x （）若|( ) |G x在1,0上是减函数，求实数m的取值范围； （）是否存在整数,a b，使得( )aG xb的解集恰好是 ,a b ，若存在，求出,a b的值； 若不存在，说明理由 . 第6页 (共17页) 第7页 (共17页) 9. 已知函数( ) 1 a x x ，a为正常数 . （1）若( )ln( )f xxx，且 9 2 a，求函数( )f x的单调增区间； （2）若( )| ln|( )g xxx，且对任意 12 ,(0,2x x， 12 xx，都有 21 21 ()() 1 g xg x xx ，求a 的的取值范围 . 解： （ 1） 2 22 1(2)1 '( ) (1)(1) axa x fx xxx x ， 9 2 a，令'( )0fx，得2x，或 1 2 x， 函数( )f x的单调增区间为 1 (0,) 2 ，(2,). （ 2） 21 21 ()() 1 g xg x xx ， 21 21 ()() 10 g xg x xx ， 2211 21 ()() 0 g xxg xx xx ，设( )( )h xg xx，依题意，( )h x在0,2上是减函数 . 当12x时，( )ln 1 a h xxx x ， 2 1 '( )1 (1) a h x xx ， 令'( )0h x，得： 2 22(1)1 (1)33 x axxx xx 对1,2x恒成立， 设 21 ( )33m xxx x ，则 2 1 '( )23m xx x ，12x， 2 1 '( )230m xx x ， ( )m x在1,2上是增函数，则当2x时，( )m x有最大值为 27 2 ， 27 2 a. 当0 1x 时，( )ln 1 a h xxx x ， 2 1 '( )1 (1) a h x xx ， 令'( )0h x，得： 2 22 (1)1 (1)1 x axxx xx ， 第8页 (共17页) 设 21 ( )1t xxx x ，则 2 1 '( )210txx x ， ( )t x在(0,1)上是增函数，( )(1)0t xt， 0a，综上所述， 27 2 a 10. （1）设10ab，若对于x的不等式 22 axbx的解集中的整数恰有3 个，则实数a的取 值范围是. （2）若关于x的不等式 2 2 21xax的解集中的整数恰有3 个，则实数a的取值范围是 . 解： （ 1）3, 1 （2） 16 49 , 9 25 11. 已知na是公差不为0 的等差数列，nb是等比数列 ,其中 112243 2,1,2ababab，且存在 常数 、 ，使得 n a=log n b对每一个正整数n都成立 ,则= . 第9页 (共17页) 12. 在直角坐标系平面内两点QP,满足条件：QP,都在函数)(xf的图象上；QP,关于原点对称， 则称点对),(QP是函数)(xf的一个“友好点对” （点对),(QP与),(PQ看作同一个“有好点对”）. 已知函数 , 0, 2 ,0, 142 )( 2 x e xxx xf x 则函数)(xf的“友好点对”有个. 13. 已知ABC的三边长cba,满足bacacb22 ，则 a b 的取值范围是. 解： 2 3 , 3 2 x y O 第10页 (共17页 ) 已知ABC的三边长cba,满足bacacb3232，则 a b 的取值范围是. 解： 3 5 , 4 3 14. 已知分别以 21,d d为公差的等差数列 n a, n b,满足 12009 1,409ab （ 1）若1 1 d,且存在正整数m,使得2009 2009 2 m mba,求 2 d的最小值； （ 2）若0 k a，1600 k b且数列 200921121 ,bbbbaaa kkkk ,的前项n和 n S满足 2009 20129045 k SS,求 n a的通项公式 . 解： （1）证明 : 2 2009 2009 m m abQ, 第11页 (共17页 ) 2 1120092 (1)2009amdbmd，即2009409 2 2 mdm, 4 分 2 16001600 280dmm mm . 等号当且仅当“ 1600 “ m m即“40“ m时成立 , 故40m时， 2min 80d. 7 分 （2）0 k aQ，1600 k b， 12009 1,409ab 200912112009 ()() kkkk SaaaabbbLL = 2 )( 1 kaa k 2 )12009)( 2009 kbbk2009(2010) 22 kk ， 10 分 2009 20129045 k SSQ 1 () 20129045 2 k aak =9045 2 2012 k 20129045 2 k2009(2010) 22 kk 40202009 2010 18090k，220099k，1000k 13分 故得1,0 11000aa又 ， 1 1 999 d, 12 10001 (1) 999999 n aandn，因此 n a的通项公式为nan 999 1 999 1000 . 15分 15. 已知函数)(3ln)(Raaxxaxf （ 1）当1a时，求函数)(xf的单调区间； （ 2） 若函数)(xfy的图像在点)2(,2(f处的切线的倾斜角为45，问： m 在什么范围取值时，对 于任意的2, 1t，函数 )( ' 2 )( 23 xf m xxxg在区间)3 ,(t上总存在极值？ （ 3）当2a时，设函数3 2 )2()( x ep xpxh，若在区间e, 1上至少存在一个 0 x，使 得)()( 00xfxh 成立，试求实数 p 的取值范围 2 4 , 1 e e 16. 如图，在 ABC 中，已知3AB，6AC，7BC，AD是BAC平分线 . （ 1）求证：2DCBD； （ 2）求 AB DC uu u ru uu r 的值 . （ 1）在 ABD中， 由正弦定理得 sinsin ABBD ADBBAD ， 在ACD中，由正弦定理得 sinsin ACDC ADCCAD ， 所以BADCAD，sinsinBADCAD， sinsin()sinADBADCADC ， A B C D 第12页 (共17页 ) 由得 3 6 BDAB DCAC ，所以2DCBD（2）因为2DCBD，所以BCDC 3 2 . 在ABC中，因为 222222 37611 cos 22 3721 ABBCAC B AB BC ， 所以 22 ()| |cos() 33 AB DCABBCABBCB uuu r uuu ruu u ruu u ruuu ruuu r 21122 3 7() 3213 17. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，数列1 n S是公比为2 的等比数列 . （ 1）证明：数列 n a成等比数列的充要条件是 1 3a； （ 2）设 n nn n ab)1(5（Nn） ，若 1nn bb对任意Nn成立，求 1 a的取值范围 . 第13页 (共17页 ) 18. 已知分别以 1 d和 2 d为公差的等差数列 n a和 n b满足18 1 a，36 14 b. （ 1）若18 1 d，且存在正整数m，使得45 14 2 mm ba，求证：108 2 d； （ 2）若0 kk ba，且数列 142121 bbbaaa kkk ，的前n项和 n S满足 k SS2 14 ，求 数列 n a和 n b的通项公式； （ 3）在（ 2）的条件下，令0aadac nnb n a n ，且1a，问不等式 nnnn dcdc1是 否对一切正整数n都成立？请说明理由. 第14页 (共17页 ) 19. 若椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 过点（ -3，2） ，离心率为 3 3 ，O 的圆心为原点，直径为椭 圆的短轴， M 的方程为4)6()8( 22 yx，过 M 上任一点P 作O 的切线 PA、 PB，切 点为 A、B. （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若直线P A 与M 的另一交点为Q，当弦 PQ 最大时，求直线 PA 的直线方程； （ 3）求OBOA的最大值与最小值. （1）1 1015 22 yx ； （2）直线 PA 的方程为：0509130103yxyx或 （3） 第15页 (共17页 ) 21. 设函数xmmxxxf)4( 3 1 )( 223 ，Rx，且函数)(xf有三个互不相同的零点,0，且 ，若对任意的,x，都有)1()(fxf成立，求实数m的取值范围 . 解： 20. 已知集合kxxxxxxD 212121 ,0, 0),(，其中k为正常数 . （ 1）设 21x xu，求u的取值范围； （ 2）求证：当1k时，不等式 k k x x x x 2 2 11 2 2 1 1 对任意Dxx),( 21 恒成立； 第16页 (共17页 ) （ 3）求使不等式 k k x x x x 2 2 11 2 2 1 1 对任意Dxx),( 21 恒成立的k取值范围 . 第17页 (共17页 )