高考数学知识点总结.pdf

- 1 - 2020 高考河北方向数学应知应会 一、代数 一、常用数集的符号表示： 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 非零实数集 合 正实 数集 非负实 数集合 符号N N* (或 N ) Z Q R R* R + R+ 二、集合与集合间的包含关系： 三、集合的基本运算： 四、充要条件： 在判断充分条件与必要条件时，需注意条件与结论对应的方向。即若p 是 q 的充分条件，则 p? q；若 p 是 q 的必要条件，则 q? p；若 p 是 q 的充要条件，则 p? q并且 q? p，也可 q? p。 五、比较两个实数大小的法则： 若 a，b R，则(1)ab? ab0；(2)ab? ab0；(3)ab? ab0. 六、不等式的基本性质： (1)ab? ba；对称性(2)ab，bc? a c；传递性 (3)ab? acb c；可加性 *(4) ab，c0? acbc；ab，c0? acbc；可乘性 七、不等式的其他常用性质： - 2 - (1)a+bc? ac-b；移项；(2)a b，cd? a cbd；同向可加性； (3)ab0，cd0? ac bd；同向同正可乘性； (4)ab0? a nbn (n * N，且 n2)；乘方性 (5)ab0? n a n b(n N，且 n2) ；开方性 (6)ab 且 ab0?倒数性 八、利用一元二次函数的性质解一元二次不等式： 判别式 b24ac 0 0 0 方程 ax2bxc0 有两不等实根 x1和x2，且x1x2 有两相等实根 x1x2 无实根 一元二次函数 f(x) ax2bxc (a0) 的图像 不等式 ax2bxc0 (a0) 的解集 x|xx1，或xx2 x|x b 2aR 不等式 ax2bxc0 (a0) 的解集 x|x1xx2 ? 九、函数的定义： 设 A、B 非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中任意一个数x，在集合 B 中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数函数的三要素：定 义域、值域和对应关系 十、函数的单调性： 函数单调性增函数减函数 图像 描述 11 ab - 3 - 定 义 前提 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间（ a， b）上的 任意 自变量 x1， x2 核心 实质 当 x1 f(x2) ， 那么就说函数f(x) 在区间 (a，b)是减 函数。 单调 区间 区间（ a，b）叫做函数f(x)的 曾区间 。 区间（ a，b）叫做函数f(x)的 减区间 。 十一、函数的奇偶性： 函数奇偶性偶函数奇函数 图像 描述 定 义 前提设函数 f(x)的定义域为I，如果对于 任意 的 xI，都有 -xI， 核心 实质 并且 f(x)f(x)，那么函数f(x)就 叫做偶函数 并且 f(x) f(x)，那么函数f(x) 就叫做奇函数 。 定义域具 备性质 函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质，不可用区间分开。定义域必须 关于原点对称。 十二、函数图象的变换： (1)平移变换： 水平平移：yf(x± a)(a 0)的图像，可由 yf(x)的图像向左 ()或向右 ()平移 a 个单位而得到 竖直平移：yf(x)±b(b 0)的图像，可由 yf(x)的图像向上 ()或向下 ()平移 b 个单位而得到 (2)对称变换： yf(x)与 yf(x)的图像关于y 轴对称 y f(x)与 yf(x)的图像关于x 轴对称 y f(x)与 yf(x)的图像关于原点对称 yf1(x)与 yf(x)的图像关于直线yx 对称 要得到y|f(x)|的图像，可将 yf(x)的图像在x 轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余 部分不变 要得到yf(|x|)的图像，可将 yf(x)，x0 的部分作出，再利用偶函数的图像关于y 轴的对称性， 作出 x0 的图像 - 4 - (3)伸缩变换： yAf(x)(A0)的图像，可将 yf(x)图像上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到 yf(ax)(a0)的图像，可将 yf(x)图像上所有点的横坐标变为原来的 1 a倍， 纵坐标不变而得到 十三、指数幂的转化： 十四、指数式和对数式的互化：设 a0，且 a 1，N0， 十五、对数的性质与运算法则： (1)对数的基本性质：设a0，且 a1则 零和负数没有对数，即： N 0 1 的对数等于0，即 loga1=0；lg1=1,ln1=1 底数的对数等于1，即 logaa=1, lg10=1, lne=1 两个重要的恒等式：alogaNN； logaaNN (2)对数的运算法则：设a0，且 a1则，对于任意正实数M、N 以及任意实数P、m(m0)、n，都 有 loga(M· N)=logaM+logaN loga =logaMlogaN logaM P=Plog aM loga logaN logaM nn mlog aM lg2+lg5=1 (3)换底公式： logbN logaN logab ( a0 且 a1；b0 且 b1) ； logab 1 logba (a，b 均大于零，且不等于1)； 推广 logab · logbc · logcd logad (a、b、c 均大于零，且不等于1；d 大于 0). 十六、Sn与 an的关系： 十七、等差数列通项公式：ana1(n1)d. 或 anam(nm)d，(n，mN*) 十八、等差中项：如果 A ab 2 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 十九、等差数列的常用性质： (1)若an为等差数列，m npq，(m，n ，p，qN*)则有 aman= a paq . 特殊情况， 当 m n=2p 有 am+an2ap, 其中 ap是 am与 an的等差中项 log b aNbaN M N m N 1 m - 5 - (2)有穷数列中，与首末两端距离相等的两项和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，则等 于中间项的2 倍，即 a2+an-1= a3+an-2 = = ap+an-p+1 = a1+an = 2a 中 (3)若an是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an是等差数列，则 ak， akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列 (5)若 n aknb（,k bR），则 an 是等差数列，其中 k 为公差 (6) 若公差为 d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn， 则 Sn，S 2nSn， S3nS2n仍成等差数列。 二十、等差数列前n 项和性质： 项数为偶数的等差数列中，S 偶- S奇= 2 nd ； 项数为奇数项的等差数列中S 奇- S偶=中间项 . 二十一、等差数列的前n 项和公式： S n n a1an 2 ，或 S nna1 n n1 2 d . 注意：若S n 2 pnqn(,p qR)，则an 是等差数列，其中 2p 为公差 二十二、等比数列的通项公式：ana1· qn1或 anam· qnm(n， mN*) 二十三、等比中项：若 G2a· b，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 ,Gab. 二十四、等比数列的常用性质： (1)若an为等比数列，且 mn=pq (m，n ，p，qN*)，则有 am· an ap· aq特殊情况， 当 mn=2p 时，有 am· an ap2. (2)在有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项积相等，并等于首末两项之积，若该数列的项数 为奇数，则等于中间项的平方，即 a2· an-1= a3· an-2 = = ap· an-p+1 = a1· an = 2 a 中 (3)在等不数列中，连续 n 项的积构成的新数列，仍是等比数列。 (4)等比数列的前n 项和公式： 当 q1 时，Snn 1 a；当 q1 时， . 二十五、等比数列前n 项和的性质：若公比不为 1 的等比数列 an的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n S n， S3nS2n仍成等比数列。 二、三角函数 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq - 6 - . 2 kkZ 一、终边相同角集合：|=k·360° (kZ) 或|= 2k(kZ) 终边在x 轴上的角的集合|= k·180° (kZ) 或|= k(kZ) 终边在y 轴上角 |= 90 0+k·180°( kZ) 或|= 2 +k(kZ) 第一象限上所有角组成的集合|k·360° 90 0+k·360°( k Z) 第二象限上所有角的集合|90 0+k·360° 180 0+k·360° ( kZ) 第三象限上所有角的集合|180 0+k·360° 270 0+k·360°( kZ) 第四象限上所有角的集合|270 0+k·360° (k+1)·360°(k Z) “锐角”形成的集合：表示为|0 ° 90 0 “小于90 0 的角”形成的集合：表示| 90 0 二、弧度制及相关公式： 在半径为r 的圆中，长度为 l 的圆弧对圆心角的大小是 l r 弧度。即 | | l r (rad)。弧长公式：l| |r， 扇形面积公式：S扇形 1 2lr 1 2| |r 2 角度弧度互换： 180 180,1,1()57.3 180 radrad 三、任意角的三角函数定义：设 是平面直角坐标系中一个任意角，角 的终边上任意一点P(x，y)， 它与原点的距离为(r0)，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为sin y r ，cos x r ， tan y x， 四、一些特殊角的三角函数值对照表： 0 6432 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 不存 在 3 1 3 3 0 不存 在 0 五、同角三角函数的基本关系式及重要变形： (1)平方关系： sin2 cos2 1. R (2)商数关系： sin cos tan . + 4 + 4 22 rxy - 7 - (3)常用的变形公式：sin2cos21，sin2cos21 (sin ± cos )21± 2 sin ·cos (4) 1 tancot sincos 六、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限。 ” k· 2(k Z)、 、 ± 、 2± 可以归结为 k· 2± (kZ)， 其中 k 为奇数，函数名变为其余名函数；k 为偶数，函数名不改变。符号取原来函数值的符号，符号符合三角函数值的符号规律。 第一组： sin ( k·2)= sin，cos( k·2)= cos，tan( k·2)= tan； 第二组： sin( )sin，cos( ) cos，tan( ) tan； 第三组： sin( + ) sin，cos( + ) cos，tan( + )tan； 第四组： sin ( )= sin，cos( )= cos，tan( )=tan； 第五组： sin( )=cos，cos( )=sin 第六组： sin( )=cos，cos( )=sin 第七组： sin( )=cos，cos( )=sin 第八组： sin( )=cos，cos( )= sin 七、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: sin()sincos cossinsin()sincoscossin cos() coscossinsincos()coscossinsin tan( ) tan tan 1tan tan tan( ) tan tan 1tan tan 八、二倍角公式及其变形公式: sin2 2sin cos ，cos2 cos2 sin2 2cos2 112sin 2 ， tan2 2tan 1tan2 ； sin 2sin 2 cos 2 ， 21cos2 sin 2 ， 变形公式： tantantan1tantan tantantan1tantan g g 九、辅助角公式： 函数 f( )acos bsin (a，b 为常数 )，可以化为f( )a2b2sin( )， 或 f( )a2b2cos( )， 其中，所在象限由a、b 的符 号确定。 十、三角函数及其图象： ysinx 在 0,2 图像，描出五个关键点(0,0)、 2， 1 、( ， 0)、 3 2 ， 1 、(2 ， 0） ycos 在0,2 图像，描出五个关键点(0,1)、 ,0 2 、( ，-1)、(2 ，1) 十一、利用函数y sinx 的图像变换得到yAsin(x)的图像： 方法一： 22 22 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 22 cos = a ab 22 sin= b ab 21cos2 cos 2 3 ,0 2 - 8 - 十二、正弦定理： a sinA b sinB c sinC2R， R 是 ABC 外接圆半径 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 ； a 2RsinA，b2RsinB，c2RsinC； sinA 2R， sinB b 2R， sinC c 2R ， a bcsinAsinBsinC，asinB bsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA。 十三、余弦定理：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2 b22abcosC. 求角公式： cosA b2c2a2 2bc cosB a2 c2 b2 2ac cosC a2b2c2 2ab 已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 十四、已知a，b 和 A 解三角形： A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系absinAabsinAbsinAabababab 解无解一解两解一解一解无解 三、解析几何 一、线段中点坐标公式： 12 2 yy y 二、两点间距离公式： 22 1212 ()()ABxxyy， 三、斜率计算公式：tank - 9 - 四、直线方程：0AxByC（A,B 不全为 0） 五、平行线、垂直线系方程 六、点到直线的距离、平行线间距离公式 七、两直线的夹角公式： 12 12 tan 1 kk k k 八、圆的一般方程，标准方程，过圆上一点圆的切线方程 22 0xyDxEyF( 22 40DEF)圆心（, 22 DE ）半径 22 4 2 DEF r 九、椭圆的标准方程 - 10 - （ 1）通径： 2 2b a ； （2） 12 22 MF F Cac； （ 3） ， 12 2 tan 2 MF F Sb特殊地 12 MFMF时 2 Sb （ 4）特殊地 112 MFF F时， 12 22 1 2 2 MF F bb c SC aa （5） 2 4 MNF Ca 十、双曲线的标准方程 （ 1）通径： 2 2b a ； （2） 2 1 b e a ； （3） ， 1 2 2 cot 2 MF F Sb特殊地 12 MFMF时 2 Sb （ 4）特殊地 112 MFF F时， 12 22 1 2 2 MF F bb c SC aa （5） 2 42 MNF CaMN 十一、抛物线的标准方程 （1）通径： 2p （2）开口向右的焦点弦长公式： 12 xxp （3）两个直角的结论（自己补上） 重点：圆锥曲线的弦长公式 22 1212 1()4ABkxxx x 四、立体几何 一、几个比较常用的结论： 1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直. 3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 4、过直线外一点有无数多个平面与已知直线平行. - 11 - l C A B l P A B O 5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等. 6、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直. 7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面. 8、垂直于同一条直线的两个平面平行. 9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是：平行或相交. 10、平行于同一个平面的两个平面平行，平行于同一条直线的两条直线平行. 11、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面. 12、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另外一个. 13、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等. 14、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行. 15、两条直线被三个平行平面所截，截得的线段成比例. 二、易错易混概念及部分结论： 1、两条直线的夹角范围是_. 2、两条异面直线的夹角范围是_. 3、直线与平面所成角的范围是_. 4、斜线与平面所成角的范围是_. 说明： （1）斜线与平面所成的角实际上是斜线与其在平面内的射影所成的角. （2）斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角. （3）直线 m 与某平面平行，则直线 m 与该平面的距离就是直线m 上任一点到平面的距离. 三、二面角概念及部分结论： 二面角的平面角的找法：过棱上一点，分别在二面角的两 个平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角 叫做二面角的平面角。. （1）做出二面角的平面角时要注意：顶点必须在棱上，两条射线必须分别在两个平面内， 且都与棱垂直，二面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关， 因此，常选用棱上特殊的点作为平面角的顶点，如：端点或者中点是经常找得位置. 0, 2 (0, 2 0, 2 (0,) 2 ,1,2 3 lBAClABCABC ABC （2）如图：二面角是它的平面角 . 则有：平面平面， 平面 (3)二面角的取值范围是：0, (4).平面角是直角的二面角叫做直二面角，也称为两平面垂直 , ,. lP PAA PB BAPB （5）二面角内有一点垂足为点垂足为 点 ，若则二面角的大小为： - 12 - 四、证明平行、垂直的定理 （一）线线平行 公理 4：_ 在三角形中有中点时，要构造 _ 在平行四边形中通过证明一组对边平行且相等，得出 _ 线面垂直的性质定理：若,ab，则_ 线面平行的性质定理：若/ /,aalI，则_ 面面平行的性质定理：若/ /,abII，则_ (二)线面平行 线面平行的判定定理：若/ / ,ab ab，则_ 面面平行的性质定理：若/ /,a，则_ (三)面面平行 面面平行的判定定理：若,/ /,/ /a babo abI，则_ 推论 1：若,', '/ /,/ /,a babo a babI则_ 推论 2：若,a b是异面直线，/ /,/ /ab，则_ 传递性：若/ /,/ /，则_ (四)线线垂直 线面垂直的定义：若,ab，则 _ 若/ / ,ab ac，则_ 三垂线定理：若,AOBOl，则_ 三垂线逆定理：若,AOABl，则_ (五)线面平行 线面垂直的判定定理：若,la lb aaboI，b，则_ 面面垂直的性质定理：若,l aalI，则_ 若/ / ,ab a，则_ 若/ /,a，则_ (六)面面垂直 - 13 - 2 P B C A 面面垂直的判定定理：若,aa，则_ 定义法：证明二面角的平面角是直角，就可以得出二面角的两个半平面垂直 五、线面的位置关系 1、两条直线的位置关系：_ 2、直线与平面的位置关系：_ 3、平面与平面的位置关系：_ 六、常见定理及结论 1、平面的基本性质 推论 推论 推论 2、射影长定理：若,POPAPB，则_ 3、最小角定理：PA 为的一条斜线，PO,AB,PAO是 PA 与内所有直线所成的角中的 最小角。 4、角平分线定理： （1）若 P 为外的一点，BAC,PABPAC,则点 P 在内的射影 O 在BAC的角平分线 上。 （2）若 P 为外的一点，BAC,点 P到BAC的两边 AB,AC 的距离相等，即 PM=PN ,则点 P 在内的射影O 在BAC的角平分线上。 5、三面角余弦定理 6、正方体的结论：如图 若其棱长为a,则正方体的对角线长为_ 正方体的体对角线与和它异面的面对角线的夹角为_（） 正方体的面对角线的夹角： 1 B C与 AD1 _, 1 D C与 1 A B_， 1 DC与 1 AD_ 7、正四面体（各棱长都相等，各面是全等的正三角形）如图 相对棱互相垂直_ 相对棱的中点连成的线段的长为这两条相对棱之间的距离 顶点在底面的射影为底面三角形的中心 PA,AB,BC,CP 中点连成的四边形是_ 备注：正三棱锥的结论是_ 8、三棱锥的常见结论 两个外心的结论 ? 若三条侧棱相等（PA=PB=PC ）则顶点 P在底面 ABC内的射影O为DABC的外心 ? 若三条侧棱与底面ABC所成的角相等（PAOPBOPCO?） , 则顶点 P 在底面 ABC内的射影O 为DABC的外心 特殊地： 若DABC为正三角形，则该射影为DABC_ 心。 1 221 cosco , s lPBAl BCABBC 如图：直线与平面所成的角为直线 与平面内 直线所成的角为PBC= ，射影与平面内直线所成的 角为ABC= ，则有 : cos - 14 - mnm nn CCmn 1 1 mmm nnn CCCmn 若DABC为直角三角形，则该射影为DABC_ 心。 两个内心的结论 ? 若三棱锥的顶点P到底面DABC的三边的距离相等，则顶点 P在底面 ABC内的射影 O为DABC的内心 ? 若三条侧棱与底面ABC所成的角相等（PAOPBOPCO?） , 则顶点 P 在底面 ABC内的射影O 为DABC的外心 三个垂心的结论 ? 若三条侧棱两两垂直，则顶点 P在底面 ABC内的射影O为DABC的垂心 ? 若三个侧面两两垂直，则顶点 P在底面 ABC内的射影O为DABC的垂心 ? 若三棱锥只有两组相对棱互相垂直，则顶点 P在底面 ABC内的射影 O为DABC的垂心，且另一组相 对棱也互相垂直。 五、概率 一、两个基本的计数原理： （1）分类计数原理加法原理：如果完成一件事，有 n 类方式， N=K 1+K2+ +Kn 种不同的方法。 （2）分步计数原理乘法原理：如果完成一件事，需要分成n 个步骤， N=K 1· K2· · Kn种不同 的方法。 二、排列数公式：其中 m 、nN* (m n) 说明：排列数公式中，当 m=n 时，有 由 1 到 n的正整数的连乘积，叫做 n 的阶乘，记作 n! 即 排列数公式中，当 mn 时，排列数公式还可以写成 三、组合数公式：其中 m nN* (m n). 说明：由于还可以写作 规定： 四、组合数的性质公式： 五、二项式定理： 二项式通项公式：（第 m+1 项） 展开式共n+1 项，各项的二项式系数为： (1)(2).(1) m n Pn nnnm (1)(2).(1).3 2 1 mn nn PPn nnnm !(1)(2).(1).321nn nnnm! n n Pn0!1 ! ! m n n P nm 1 !1!nnng mmn nnn PCPg ! ! m n n P nm ! ! m n n C mnm 1 n n C 0 1 n C (1)(2).(1) ! m m n n m m Pn nnnm C Pm ( + ) 001112220 nnnnmnmmnn nnnnn a bC a bC abC abC abC a b - =+ 1 knkk kn C abT 012 ,. n nnnn CC CC - 15 - 各项二项式系数和： 奇数项与偶数项的二项式系数和相等都为 1 2 n- 在二项式展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等 有关系数：例已知 727 0127 (12 )xaaxa xa x-=+L ? 各项系数和： 0127 aaaa+=L_ ? 常数项： 0 a=_ ? 奇数项的系数和： 0246 aaaa+=_ ? 偶数项的系数和： 137 aaa+=L_ 六、事件及概率 事件间的关系事件间的运算符号表示 包含关系 如果事件 A 发生 ，则事件 B一定发生 ，这时称事件B 包含事件 A(或称事件A 包含于事件B) B? A(或 A? B) 相等关系若 B? A，且 A? B，那么称事件A 与事件 B 相等AB 并事件 (和事件 ) 若某事件发生 当且仅当事件A 发生或事件B 发生 ，则称此事件为 事件 A 与事件 B 的并事件 (或和事件 ) AB(或 AB) 交事件 (积事件 ) 若某事件发生 当且仅当事件A 发生且事件B 发生 ，则称此事件为 事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) AB(或 AB) 互斥事件若 AB 为不可能 事件，那么称事件A 与事件 B 互斥AB? 对立事件 若 AB 为不可能 事件，AB 为必然事件 ，那么称事件A 与事 件 B 互为对立事件 A与A 012 .2 nn nnnn CCCC ()()P ABP AP BU互斥事件满足概率加法原理： I相互独立事件满足概率乘法原理：P(AB)=P(A) P(B) (0,1,2,.,) kknk nnp q kn贝努利公式：P(k)=C其中， m n 古典概型： P(A)=